1、课时规范练 15 导数与函数的小综合一、基础巩固组1.函数 f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是()A.(-,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+)2.(2017 山东烟台一模)已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图所示,则下列结论成立的是()A.a0,b0,c0,d0,b0,c0,d0C.a0,b0,d0D.a0,b0,c0,d03.已知函数 f(x)=x3-3x2+x 的极大值点为 m,极小值点为 n,则 m+n=()A.0B.2C.-4D.-24.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,其导函数为 f(x),若 f(x)f(x),且 f(x+1)=f(3-x
2、),f(2 019)=2,则不等式f(x)0 时,xf(x)-f(x)0 成立的 x 的取值范围是 .11.(2017 山东泰安一模)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若 g(x)=f(x+1)+5,g(x)为 g(x)的导函数,对xR,总有 g(x)2x,则 g(x)x2+4 的解集为 .二、综合提升组12.(2017 广西南宁一模,理 12)已知函数 f(x)=-x2-6x-3,g(x)=2x3+3x2-12x+9,m0,且对x(0,+),2f(x)xf(x)3f(x)恒成立,其中 f(x)为 f(x)的导函数,则()A.B.C.D.导学号 2150052314.(2017 江西
3、宜春二模,理 16)已知函数 f(x)的定义域为 R,其图象关于点(1,0)中心对称,其导函数为f(x),当 x0,则不等式 xf(x+1)f(2)的解集为 .三、创新应用组15.(2017 安徽淮南一模)如果定义在 R 上的函数 f(x)满足:对于任意 x1x2,都有x1f(x1)+x2f(x2)x1f(x2)+x2f(x1),则称 f(x)为“H 函数”.给出下列函数:y=-x3+x+1;y=3x-2(sin x-cos x);y=1-ex;f(x)=其中“H 函数”的个数为()A.3B.2C.1D.0 导学号 2150052416.(2017 安徽合肥一模)已知函数 f(x)=-x3+3
4、x2-ax-2a,若存在唯一的正整数 x0,使得 f(x0)0,则 a 的取值范围是 .课时规范练 15 导数与函数的小综合1.D 函数 f(x)=(x-3)ex的导数为 f(x)=(x-3)ex=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由导数与函数单调性的关系,得当f(x)0 时,函数 f(x)单调递增,此时由不等式 f(x)=(x-2)ex0,解得 x2.2.C 由题图可知 f(0)=d0,排除选项 A,B;f(x)=3ax2+2bx+c,且由题图知(-,x1),(x2,+)是函数的递减区间,可知 a0,排除 D.故选 C.3.B 因为函数 f(x)=x3-3x2+x 的极大值点为 m,极小
5、值点为 n,所以 m,n 为 f(x)=3x2-6x+1=0 的两根.由根与系数的关系可知 m+n=-=2.4.A 函数 f(x)是偶函数,f(x+1)=f(3-x)=f(x-3),f(x+4)=f(x),即函数 f(x)是周期为 4 的周期函数.f(2 019)=f(-1)=f(1),f(1)=2.设 g(x)=,则 g(x)=-0,故函数 g(x)是 R 上的减函数.不等式 f(x)2ex-1等价于 ,即 g(x)1,即不等式 f(x)0 时,函数 f(x)=-,可得函数的极值点为 x=1,当 x(0,1)时,函数是减函数,当 x1 时,函数是增函数,并且 f(x)0,选项 B,D 满足题
6、意.当 x0 时,函数f(x)=0,函数 g(x)在(0,+)内单调递增.g(2)=4f(2)g(e)=e2f(e)g(3)=9f(3),故选 B.7.B f(x)=x(ln x-ax),f(x)=ln x-2ax+1,由题意可知 f(x)在(0,+)内有两个不同的零点,令 f(x)=0,得 2a=,设 g(x)=,则 g(x)=-,g(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+)内单调递减.当 x0 时,g(x)-,当 x+时,g(x)0,而 g(x)max=g(1)=1,只需 02a1,即 0a 8.(0,1)(2,3)由题意知 f(x)=-x+4-=-由 f(x)=0 得 x1=1,x2=3
7、,可知 1,3 是函数 f(x)的两个极值点.则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数 f(x)在区间t,t+1上就不单调,由 t1t+1 或t3t+1,得 0t1 或 2tcb 方程 f(x)=0 无解,f(x)0 或 f(x)0 恒成立,f(x)是单调函数;由题意得x(0,+),f(f(x)-log2 015x)=2 017,且 f(x)是定义在(0,+)的单调函数,则 f(x)-log2 015x 是定值.设 t=f(x)-log2 015x,则 f(x)=t+log2 015x,f(x)是增函数.又 0log43log31cb.故答案为 acb.10.(-,-1)(0,1)
8、当 x0 时,令 F(x)=,则 F(x)=-0 时,F(x)=为减函数.f(x)为奇函数,且由 f(-1)=0,得 f(1)=0,故 F(1)=0.在区间(0,1)内,F(x)0;在(1,+)内,F(x)0,即当 0 x0;当 x1 时,f(x)0;当 x(-1,0)时,f(x)0 的解集为(-,-1)(0,1).11.(-,-1)f(x)是定义在 R 上的奇函数,f(x)的图象过原点.g(x)=f(x+1)+5,g(x)的图象过点(-1,5).令 h(x)=g(x)-x2-4,h(x)=g(x)-2x.对xR,总有 g(x)2x,h(x)在 R 上是增函数,又 h(-1)=g(-1)-1-
9、4=0,g(x)x2+4 的解集为(-,-1).12.A g(x)=2x3+3x2-12x+9,g(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1),则当 0 x1 时,g(x)1 时,g(x)0,函数 g(x)递增,当 x0 时,g(x)min=g(1)=2.f(x)=-x2-6x-3=-(x+3)2+66,作函数 y=f(x)的图象,如图所示,当 f(x)=2 时,方程的两根分别为-5 和-1,则 m 的最小值为-5,故选 A.13.B 令 g(x)=,x(0,+),则 g(x)=-x(0,+),2f(x)xf(x)3f(x)恒成立,00,函数 g(x)在(0,+)内单调递增,又 f(x)0,令 h(x)=,x(0,+),则 h(x)=-x(0,+),2f(x)xf(x)3f(x)恒成立,h(x)=-0,综上可得 ,故选 B.14.(-,-1)(1,+)设 g(x)=(x-1)f(x),当 x1 时,x-10,g(x)=f(x)+(x-1)f(x)f(2)h(x)h(1),即|x|1,解得 x1 或 x0,y=3x-2(sin x-cos x)为增函数,则其是“H 函数”;对于,y=1-ex=-ex+1,是减函数,则其不是“H 函数”;对于,f(x)=当 x0,即 g(x0)h(x0),所以由图得 x0=2,则 即 -解得 a1,所以 a 的取值范围是 ),故答案为 )