1、1.2.2同角三角函数的基本关系学习目标：1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用(重点)2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明(难点)自 主 预 习探 新 知1平方关系(1)公式：sin2cos21.(2)语言叙述：同一个角的正弦、余弦的平方和等于1.2商数关系(1)公式：tan_(k，kZ)(2)语言叙述：同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切思考：对任意的角，sin22cos221是否成立？提示成立平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关基础自测1思考辨析(1)对任意角，tan 都成立()(2)因为sin2 cos2 1，所以sin2cos21成
2、立，其中，为任意角()(3)对任意角，sin cos tan 都成立()解析由同角三角函数的基本关系知(2)错，由正切函数的定义域知不能取任意角，所以(1)错，(3)错答案(1)(2)(3)2化简的结果是()AcosBsinCcosDsinC因为是第二象限角，所以cos0，所以cos.3若cos ，且为第四象限角，则tan _.因为为第四象限角，且cos ，所以sin ，所以tan .合 作 探 究攻 重 难直接应用同角三角函数关系求值(1)已知，tan 2，则cos _.(2)已知cos ，求sin ，tan 的值. 【导学号：84352041】思路探究(1)根据tan 2和sin2cos2
3、1列方程组求cos .(2)先由已知条件判断角是第几象限角，再分类讨论求sin ，tan .(1)(1)由已知得由得sin 2cos 代入得4cos2cos21，所以cos2，又，所以cos 0，所以cos .(2)cos 0，是第二或第三象限的角如果是第二象限角，那么sin ，tan .如果是第三象限角，同理可得sin ，tan .规律方法利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：(1)已知角的某一种三角函数值，求角的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系(2)若角所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角所在的象限不确定，应分类讨
4、论，一般有两组结果提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求值的符号跟踪训练1已知sin 3cos 0，求sin ，cos 的值解sin 3cos 0，sin 3cos .又sin2cos21，(3cos )2cos21，即10cos21，cos .又由sin 3cos ，可知sin 与cos 异号，角的终边在第二或第四象限当角的终边在第二象限时，cos ，sin ；当角的终边在第四象限时，cos ，sin .灵活应用同角三角函数关系式求值(1)已知sin cos ，(0，)，则tan _.(2)已知2，计算下列各式的值；sin22sin cos 1. 【导学号：8
5、4352042】思路探究(1)法一法二(2)(1)法一：(构建方程组)因为sin cos ，所以sin2cos22sin cos ，即2sin cos .因为(0，)，所以sin 0，cos 0.所以sin cos .由解得sin ，cos ，所以tan .法二：(弦化切)同法一求出sin cos ，整理得60tan2169tan 600，解得tan 或tan .由sin cos 0知|sin |cos |，故tan .(2)由2，化简，得sin 3cos ，所以tan 3.法一(换元)原式.法二(弦化切)原式.原式111.母题探究：1.将本例(1)条件“(0，)”改为“(，0)”其他条件不变
6、，结果又如何？解由例(1)求出2sin cos ，因为(，0)，所以sin 0，cos 0，所以sin cos .与sin cos 联立解得sin ，cos ，所以tan .2将本例(1)的条件“sin cos ”改为“sin cos ”其他条件不变，求cos sin .解因为sin cos 0，所以，所以cos sin 0，cos sin .规律方法1.sin cos ，sin cos ，sin cos 三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin cos )212sin cos .2已知tan m，求关于sin ，cos 的齐次式的值解决这类问题需注
7、意以下两点：(1)一定是关于sin ，cos 的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为cos 0，所以可除以cos ，这样可将被求式化为关于tan 的表示式，然后代入tan m的值，从而完成被求式的求值提醒：求sin cos 或sin cos 的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号.应用同角三角函数关系式化简(1)化简_.(2)化简.(其中是第三象限角)思路探究(1)将cos21sin2代入即可化简(2)首先将tan 化为，然后化简根式，最后约分(1)1(1)原式1.(2)原式.又因为是第三象限角，所以sin 0.所以原式1.规律方法三角函数式化简的常用方法(1)
8、化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2cos21，以降低函数次数，达到化简的目的.提醒：在应用平方关系式求sin 或cos 时，其正负号是由角所在的象限决定，不可凭空想象.跟踪训练2化简tan ，其中是第二象限角解因为是第二象限角，所以sin 0，cos 0.故tan tan tan 1.应用同角三角函数关系式证明探究问题1证明三角恒等式常用哪些方法？提示：(1)从右证到左(2)从左证到右(3)证明左右归一(
9、4)变更命题法如：欲证明，则可证MQNP，或证等2在证明sin cos 时如何巧用“1”的代换提示：在求证sin cos 时，观察等式左边有2sin cos ，它和1相加应该想到“1”的代换，即1sin2cos2，所以等式左边sin cos 右边求证：. 【导学号：84352043】思路探究解答本题可由关系式tan 将两边“切”化“弦”来证明，也可由右至左或由左至右直接证明证明法一：(切化弦)左边，右边.因为sin21cos2(1cos )(1cos )，所以，所以左边右边所以原等式成立法二：(由右至左)因为右边左边，所以原等式成立规律方法1.证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一
10、般由繁到简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(作差，作比法)2技巧感悟：朝目标奔常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)提醒：解决此类问题要有整体代换思想跟踪训练3求证：(1)；(2)2(sin6 cos6 )3(sin4 cos4 )10.证明(1)左边右边，原等式成立(2)左边2(sin2 )3(cos2 )33(sin4 cos4 )12(sin2 cos2 )(sin4 sin2 cos2 cos4 )3(sin4 cos4 )1(2sin4 2sin2 cos2 2cos4 )(3sin4 3cos4 )1(
11、sin4 2sin2 cos2 cos4 )1(sin2 cos2 )21110右边，原等式成立当 堂 达 标固 双 基1如果是第二象限的角，下列各式中成立的是()Atan Bcos Csin Dtan B由商数关系可知A，D均不正确当为第二象限角时，cos 0，sin 0，故B正确2sin ，则sin22cos2的值为() 【导学号：84352044】ABC DB因为sin ，所以cos21sin2，所以sin22cos22.3已知tan ，则的值是()AB3 CD3A因为tan ，所以.4已知是第二象限角，tan ，则cos _.因为，且sin2cos21，又因为是第二象限角，所以cos 0，所以cos .5(1)化简，其中是第二象限角(2)求证：1tan2. 【导学号：84352045】解(1)因为是第二象限角，所以sin 0，cos 0，所以sin cos 0，所以sin cos .(2)证明：1tan21.