1、数学试题一、单选题1是A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角2已知向量，且，则（ ）A3BCD3已知，则（ ）ABCD4如果函数的图像关于点对称，那么的最小值为（ ）ABCD5在中，内角，所对的边分别为，已知，则（ ）A1BC4D136已知，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则7球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用球面几何中，球面两点之间最短的距离为经过这两点的大圆的劣弧长，称为测地线已知正三棱锥，侧棱长为，底面边长为，设球为其外接球，则球对应的球面上经过，两点的测地线长为（ ）ABCD8已
2、知是所在平面内的一动点且满足，则动点的轨迹一定通过的（ ）A重心B内心C外心D垂心二、多选题9下列命题正确的是（ ）AB若，则，四点共线C任意向量，D若向量，满足，则，共线10下列等式正确的是（ ）A BC D11若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是A的虚部为BC为纯虚数D的共轭复数为12下列结论正确的是（ ）A在中，若，则B在锐角三角形中，不等式恒成立C在中，若，则是直角三角形D在中，若，三角形面积，则三角形的外接圆半径为三、填空题13设向量，为单位正交基底，若，且，则_14在中，已知，若，则的面积为_15现有一个圆锥形礼品盒，其母线长为，底面半径为，从底面圆周上一点处出发，围绕礼品盒
3、的侧面贴一条金色彩线回到点，则所用金色彩线的最短长度为_16已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围为_四、解答题17已知平面向量，且，且与的夹角为.（1）求；（2）若与垂直，求的值.18在中，内角的对面分别为，且满足.（1）求；（2）若，求及的面积.19已知复数，且是关于的方程的一个根（1）求及；（2）若复数满足，则在复平面内对应的点的集合是什么图形？并求出该图形的面积20如图所示，有一块扇形铁皮OAB，AOB60，OA72 cm，要剪下来一个扇形环ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面).试求：(1)AD的长；com(
4、2)容器的容积参考公式： 21已知函数，（）求函数的单调区间；（）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围22如图，某小区有一空地，要规划设计成矩形，米，拟在和两个区域内各自内接一个正方形和正方形用作喷泉水池，并且这两个正方形恰好关于线段的中点成中心对称，为了美观，矩形区域除了喷泉水池其余都种植鲜花设表示矩形的面积，表示两个喷泉水池的面积之和，现将比值称为“规划指数”，请解决以下问题：（1）试用表示和；（2）当变化时，求“规划指数”取得最小值时角的大小数学参考答案1C由题，所以其终边在第三象限.2B解：因为向量，且，所以，解得.3因为所以故选：A4由题意，则，解得，当时，的最小值为.故选：B5因
5、为，由正弦定理得，又是三角形内角，所以，又，所以，所以故选：A6DA：若，则平行或异面，错误；B：若，则垂直或平行，错误；C：若，则可能平行、异面、相交，错误；D：若，则，正确.7设点是点在平面上的投影，则，点在直线上，设球的半径为因为所以，所以在直角中，解得所以，所以球对应的球面上经过，两点的测地线长为故C8A作交与点，不妨设的底边上的中线，所以，所以，因为， 则动点的轨迹一定通过的重心，9A. ,所以该选项正确；B. 若，则，四点不一定共线，所以该选项错误；C. 任意向量，所以该选项错误；D. 若向量，满足，则，所以，所以两向量的夹角为零度，所以，共线，所以该选项正确.故选：AD10解：对
6、于A选项，故错误；对于B选项，故正确；对于C选项，故正确；对于D选项，故正确；故选：BCD11因为，对于A：的虚部为，正确；对于B：模长，正确；对于C：因为，故为纯虚数，正确；对于D：的共轭复数为，错误.故选：ABC.12对于A，在中，由，利用正弦定理得，故A正确.对于B，由锐角三角形知，则，故B正确.对于C，由，利用正弦定理得，即，故，即，则是直角三角形，故C正确.对于D，解得，利用余弦定理知，所以，又因为，故D错误.故选：ABC132 因为向量，为单位正交基底，所以，即所以，即14解：因为，所以，得，所以，15解:如图，将圆锥展开，由题可知最短距离为，因为圆锥形礼品盒，其母线长为，底面半径
7、为，设，所以，即，所以在等腰三角形中，取中点，则为直角三角形，且，所以，所以.故答案为：16，因为值域为，所以，则，的最大值为，当最小时，此时，故的取值范围为，17解：（1）因为与的夹角为，所以所以所以（2）因为，所以，所以，所以，即，故.18（1）因为，由正弦定理得，因为，所以，且易知所以，又，所以.（2）由（1）知，所以在中，由余弦定理得，即，因为，解得，所以.18（1）因是关于的方程的一个根，则，化简整理得，而，解得，所以，；（2）复数满足，由(1)得，于是得在复平面内复数对应的点的集合是以原点为圆心，1和为半径的两个圆所夹的圆环，包括边界，该图形的面积.19、(1)设圆台上、下底面半径分别为r、R，ADx，则OD72x，由题意得，.即AD应取36 cm.(2)2rOD36，r6 cm，圆台的高h6.Vh(R2Rrr2)6(12212662)504(cm3)即容器的容积为504 cm3.21（1）令，解得，令，解得，故函数在上单调递增，在上单调递减.（2），令，则，故或，解得或，因为在上有两个零点，所以，解得，故实数的取值范围为.22解：（1）设正方形的边长为米，则，而，即，解得，而（2）令，记，由“对勾”函数图像得：在单调递减，当时，即时，有最小值，最小值为.