1、第二章函数、导数及其应用第10讲 变化率与导数、导数的计算一、必记3个知识点1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数：称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .(2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)(3)函数f(x)的导函数：称函数f(x)为f(x)的导函数2基本初等函数的导数公式(sin x)cos_x，(cos x)sin_x，(ax)
2、axln_a，(ex)ex，(logax)，(ln x).3导数的运算法则(1)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)二、必明3个易误区1利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆2求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者3曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别考点一利用导数的定义求函数的导数利用导数的定义求函数的导数：(1)yx2； (2)f(x).解：(1)因为2xx，所以y(2xx)2x.(2)因为所以y.定义法求函数的导数的三个步骤一差：求函
3、数的改变量yf(xx)f(x)二比：求平均变化率.三极限：取极限，得导数yf(x).考点二导数的运算求下列函数的导数(1)yx2sin x； (2)y.(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)y.1求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错2有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量已知f(x)sin 2x，记fn1(x)fn(x)(nN*)，则f1f2f2 013f2 014_.解析：由题意，可
4、知f2(x)f1(x)(sin 2x)2cos 2x；f3(x)f2(x)(2cos 2x)4sin 2x；f4(x)f3(x)(4sin 2x)8cos 2x；f5(x)f4(x)(8cos 2x)16sin 2x；故f4k1(x)24ksin 2x，f4k2(x)24k1cos 2x，f4k3(x)24k2sin 2x，f4k4(x)24k3cos 2x(kN)所以f1f2f2 01420sin21cos22sin23cos24sin22 010sin22 011cos22 012sin22 013cos(2022242622 00822 01022 012)sin(2123252722
5、00922 01122 013)cos答案：考点三导数的几何意义角度一求切线方程1曲线yxex2x1在点(0，1)处的切线方程为()Ay3x1 By3x1 Cy3x1 Dy2x1解析：选A依题意得y(x1)ex2，则曲线yxex2x1在点(0，1)处的切线的斜率为(01)e023，故曲线yxex2x1在点(0，1)处的切线方程为y13x，即3xy10，故选A.角度二求切点坐标2(2013辽宁五校第二次联考)曲线y3ln xx2在点P0处的切线方程为4xy10，则点P0的坐标是()A(0,1) B(1，1) C(1,3) D(1,0)解析：选C由题意知y14，解得x1，此时41y10，解得y3，
6、点P0的坐标是(1,3)角度三求参数的值3(2014郑州第一次质量预测)直线ykx1与曲线yx3axb相切于点A(1,3)，则2ab的值为()A2 B1 C1 D2解析：选C直线ykx1与曲线yx3axb相切于点A(1,3)，且yx3axb的导数y3x2a，解得a1，b3，2ab1.导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值：kf(x0)；(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k；(3)已知过某点M(x1，f(x1)(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0)，利用k
7、求解课后作业 1(2013江西高考)若曲线yx1(R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则_.解析：由题意yx1，在点(1,2)处的切线的斜率为k，又切线过坐标原点，所以2.答案：22函数yxcos xsin x的导数为_解析：y(xcos x)(sin x)xcos xx(cos x)cos xcos xxsin xcos xxsin x.答案：xsin x 做一做1(2013全国大纲卷)已知曲线yx4ax21在点(1，a2)处切线的斜率为8，则a()A9B6 C9 D6解析：选Dy4x32ax，由导数的几何意义知在点(1，a2)处的切线斜率ky|x142a8，解得a6.2(2014济宁模
8、拟)已知f(x)x(2 012ln x)，f(x0)2 013，则x0()Ae2 B1 Cln 2 De解析：选B由题意可知f(x)2 012ln xx2 013ln x由f(x0)2 013，得ln x00，解得x01.3若曲线yx2aln x(a0)上任意一点处的切线斜率为k，若k的最小值为4，则此时该切点的坐标为()A(1,1) B(2,3) C(3,1) D(1,4)解析：选Ayx2aln x的定义域为(0，)，由导数的几何意义知y2x24，则a2，当且仅当x1时等号成立，代入曲线方程得y1，故所求的切点坐标是(1,1)4已知f(x)x22xf(1)，则f(0)_.解析：f(x)2x2
9、f(1)，f(1)22f(1)，即f(1)2.f(x)2x4.f(0)45(2014黄冈一模)已知函数f(x)x(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)，则f(0)_.解析：f(x)(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)x，f(0)(1)(2)(3)(4)(5)120.答案：1206已知点M是曲线yx32x23x1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l的倾斜角的取值范围解：(1)yx24x3(x2)211，当x2时，y1，y，斜率最小的切线过点，斜率k1，切线方程为xy0.(2)由(1)得k1，tan 1，.7函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为()
10、A2(x2a2) B2(x2a2)C3(x2a2) D3(x2a2)解析：选Cf(x)(xa)2(x2a)3(x2a2)8已知物体的运动方程为st2(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t2时的速度为()A. B. C. D.解析：选Ds2t，s|t24.9(2014济南模拟)已知曲线y12与y2x3x22x在xx0处切线的斜率的乘积为3，则x0的值为()A2 B2 C. D1解析：选D由题知y1，y23x22x2，所以两曲线在xx0处切线的斜率分别为，3x2x02，所以，所以x01.10已知f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f(x)g(x)，则f(x)与g(
11、x)满足()Af(x)g(x) Bf(x)g(x)0Cf(x)g(x)为常数函数 Df(x)g(x)为常数函数解析：选C由f(x)g(x)，得f(x)g(x)0，即0，所以f(x)g(x)C(C为常数)11已知函数f(x)x32ax23x(aR)，若函数f(x)的图像上点P(1，m)处的切线方程为3xyb0，则m的值为()A B C. D.解析：选Af(x)x32ax23x，f(x)2x24ax3，过点P(1，m)的切线斜率kf(1)14a.又点P(1，m)处的切线方程为3xyb0，14a3，a1，f(x)x32x23x.又点P在函数f(x)的图像上，mf(1).12(2013广东高考)若曲线
12、yax2ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a_.解析：因为y2ax，依题意得y|x12a10，所以a.答案：13已知函数f(x)ln xf(1)x23x4，则f(1)_.解析：f(x)2f(1)x3，f(1)12f(1)3，f(1)2，f(1)1438.14已知f1(x)sin xcos x，记f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn(x)fn1(x)(nN*，n2)，则f1f2f2 014_.解析：f2(x)f1(x)cos xsin x，f3(x)(cos xsin x)sin xcos x，f4(x)cos xsin x，f5(x)sin xcos x，以此类推，可得出
13、fn(x)fn4(x)，又f1(x)f2(x)f3(x)f4(x)0，f1f2f2 014503f1f2f3f4f1f20.答案：015求下列函数的导数(1)yxtan x； (2)y(x1)(x2)(x3)解：(1)y(xtan x)xtan xx(tan x)tan xxtan xxtan x.(2)y(x1)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x3)3x212x11.16已知函数f(x)x，g(x)a(2ln x)(a0)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在x1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线解：根据题意有曲线yf(x)在x1处的切线斜率为f(1)3
14、，曲线yg(x)在x1处的切线斜率为g(1)a.所以f(1)g(1)，即a3.曲线yf(x)在x1处的切线方程为yf(1)3(x1)，又f(1)1，得：y13(x1)，即切线方程为3xy40.曲线yg(x)在x1处的切线方程为yg(1)3(x1)又g(1)6.得y63(x1)，即切线方程为3xy90，所以，两条切线不是同一条直线17(2014东营一模)设曲线ysin x上任一点(x，y)处切线的斜率为g(x)，则函数yx2g(x)的部分图像可以为()解析：选C根据题意得g(x)cos x，yx2g(x)x2cos x为偶函数又x0时，y0，故选C.18(2013山西模拟)已知函数f(x)，其导函数记为f(x)，则f(2 012)f(2 012)f(2 012)f(2 012)_.解析：由已知得f(x)1，则f(x)令g(x)f(x)1，显然g(x)为奇函数，f(x)为偶函数，所以f(2 012)f(2 012)0，f(2 012)f(2 012)g(2 012)1g(2 012)12，所以f(2 012)f(2 012)f(2 012)f(2 012)2.答案：2