1、1 同角三角函数关系巧运用同角三角函数的用途主要体现在三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化，下面结合常见的应用类型举例分析，体会其转化作用，展现同角三角函数关系的巧运用一、知一求二例 1 已知 sin 2 55，2，则 tan _.解析 由 sin 2 55，且 sin2cos21 得 cos 55，因为2，可得 cos 55，所以 tan sin cos 2.答案 2点评 已知某角的弦函数值求其他三角函数值时，先利用平方关系求另一弦函数值，再求切函数值，需要注意的是利用平方关系时，若没有角度的限制，要注意分类讨论二、“1”的妙用例 2 证明：1sin6xcos6x1sin4xcos4
2、x32.证明 因为 sin2xcos2x1，所以 1(sin2xcos2x)3,1(sin2xcos2x)2，所以1sin6xcos6x1sin4xcos4xsin2xcos2x3sin6xcos6xsin2xcos2x2sin4xcos4x3sin4xcos2x3cos4xsin2x2sin2xcos2x3sin2xcos2x232.即原命题得证点评 本题在证明过程中，充分利用了三角函数的平方关系，对“1”进行了巧妙的代换，使问题迎刃而解三、齐次式型求值例 3 已知 tan 2，求值：(1)2sin 3cos 4sin 9cos _；(2)2sin23cos2_.解析(1)因为 cos 0，
3、分子分母同除以 cos，得2sin 3cos 4sin 9cos 2tan 34tan 92234291.(2)2sin23cos22sin23cos2sin2cos2，因为 cos20，分子分母同除以 cos2，得2sin23cos2sin2cos2 2tan23tan21 2223221 1.答案(1)1(2)1点评 这是一组在已知 tan m 的条件下，求关于 sin、cos 的齐次式值的问题解这类问题需注意以下几点：(1)一定是关于 sin、cos 的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式(2)因为 cos 0，所以分子、分母可同时除以 cosn(nN)这样可以将所求式化为关于 tan
4、的表达式，整体代入 tan m 的值求解.2 三角恒等变形中角的变换的技巧三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变形离不开角之间的变换观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变形的一种常用技巧一、利用条件中的角表示目标中的角例 1 设、为锐角，且满足 cos 45，tan()13，求 cos 的值分析 利用变换()沟通条件与欲求之间的关系解、为锐角，且 tan()130，20.sin()tan21tan2 1010，cos()1sin23 1010，sin 1cos235.cos cos(
5、)cos cos()sin sin()453 1010 35(1010)9 1050.二、利用目标中的角表示条件中的角例 2 设 为第四象限的角，若sin 3sin 135，则 tan 2_.分析 要求 tan 2 的值，注意到 sin 3sin(2)sin 2cos cos 2sin，代入到sin 3sin 135，首先求出 cos 2 的值后，再由同角三角函数之间的关系求出 tan 2.解析 由sin 3sin sin2sin sin 2cos cos 2sin sin 2cos2cos 2135，2cos2cos 212cos 2135，cos 245.为第四象限的角，2k32 2k2(
6、kZ)，4k324k4(kZ)，2 可能在第三、四象限，又cos 245，2 在第四象限，sin 235，tan 234.答案 34三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角例 3 已知 sin4x 513，0 x4，求cos 2xcos4x的值分析 转化为已知一个角4x 的三角函数值，求这个角的其余三角函数值的问题这样可以将所求式子化简，使其出现4x 这个角的三角函数解 原式sin22xcos4x2sin4x cos4xcos4x2sin4x 2cos4x，sin4x 513，且 0 x4，4x0，4.cos4x 1sin24x 1213，原式212132413.四、观察式子结构特征，灵
7、活凑出特殊角例 4 求函数 f(x)1 32sin(x20)cos(x40)的最大值分析 观察角(x40)(x20)60，可以把 x40看成(x20)60后运用公式展开，再合并化简函数 f(x)解 f(x)1 32sin(x20)cos(x20)6012sin(x20)32 sin(x20)cos(x20)cos 60sin(x20)sin 6012sin(x20)cos(x20)22 sin(x65)，当 x65k36090，即 xk360155(kZ)时，f(x)有最大值 22.3 三角函数化简求值的“主角”“变角”三角函数化简求值是学习三角的一个重要内容，而“变角”是化简的重要形式，是化
8、简求值这场大戏中的主角，它的表演套路主要有以下几招：第一招 单角化复角例 1 已知 sin 12，是第二象限的角，且 tan()3，则 tan 的值为_解析 因为 sin 12，为第二象限的角，所以 cos 32，所以 tan 33.所以 tan tan()3 33 1 3 33 2 332 33.答案 33点评 将单角用已知复角表示时，需要将复角进行适当的组合、拆分，常见的拆分组合形式如：()，()，(2)()，12()()，12()()等第二招 复角化单角例 2 化简：sin2sin 2cos()解 原式sin22cossin sin sin2cossin sin sincos cossi
9、n sin sinsin sin sin.点评 由于该式含有 2 和，这两个角都是复角，而化简的要求为最终结果皆为单角，所以化简的思路就是利用两角和与差的正弦或余弦公式展开即可第三招 复角化复角例 3 已知434，04，cos(4)35，sin(34)513，求 sin()的值解 因为434，24，所以 sin(4)1cos2445.又因为 04，34340，sin20，故原式12121cos 221212cos sin22sin2.点评 一般地，在化简求值时，遇到 1cos 2、1cos 2、1sin 2、1sin 2 常常化为平方式：2cos2、2sin2、(sin cos)2、(sin
10、cos)2.三、灵活变角例 3 已知 sin(6)13，则 cos(23 2)_.解析 cos(23 2)2cos2(3)12sin2(6)12(13)2179.答案 79点评 正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“6”表示待求角“23 2”，善于发现前者和后者的一半互余四、构造齐次弦式比，由切求弦例 4 已知 tan 12，则 cos 21sin 2的值是_解析 cos 21sin 2cos2sin2cos2sin22sin cos 1tan21tan22tan 11411421234143.答案 3点评 解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“cos 21sin 2”化为关于 sin
11、和 cos 的二次齐次弦式比五、分子、分母同乘以 2nsin 求 cos cos 2cos 4cos 8cos 2n1 的值例 5 求值：sin 10sin 30sin 50sin 70.解 原式12cos 20cos 40cos 804sin 20cos 20cos 40cos 808sin 202sin 40cos 40cos 808sin 20sin 80cos 808sin 20 116sin 160sin 20 116.点评 这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可.5 聚焦三角函数最值的求解策略一、化为 yAsin(x)B 的形式求解例 1 求函数 f(x)sin
12、4xcos4xsin2xcos2x2sin 2x的最值解 原函数变形得：f(x)sin2xcos2x2sin2xcos2x2sin 2x114sin22x2sin 2x 112sin 2x 112sin 2x2112sin 2x14sin 2x12.f(x)max34，f(x)min14.例 2 求函数 ysin2x2sin xcos x3cos2x 的最小值，并写出 y 取最小值时 x 的集合解 原函数化简得：ysin 2xcos 2x2 2sin2x4 2.当 2x42k32，kZ，即 xk58，kZ 时，ymin2 2.此时 x 的集合为x|xk58，kZ点评 形如 yasin2xbsi
13、n xcos xccos2xd(a，b，c，d 为常数)的式子，都能转化成yAsin(2x)B 的形式求最值二、利用正弦、余弦函数的有界性求解例 3 求函数 y2sin x12sin x1的值域解 原函数整理得 sin x y12y1.|sin x|1，y12y1 1，解出 y13或 y3.即函数的值域为，13 3，)例 4 求函数 ysin x3cos x4的值域解 原函数整理得 sin xycos x4y3，y21sin(x)4y3，sin(x)4y31y2.|sin(x)|1，解不等式4y31y2 1 得：122 615y122 615.即值域为122 615，122 615.点评 对于
14、形如 yasin xbcsin xd或 yasin xbccos xd的这类函数，均可利用三角函数中弦函数的有界性去求最值三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值例 5 设关于 x 的函数 ycos 2x2acos x2a 的最小值为 f(a)，写出 f(a)的表达式解 ycos 2x2acos x2a2cos2x2acos x(2a1)2cos xa22a22 2a1.当a21，即 a1，即 a2 时，f(a)ymin14a，此时 cos x1.综上所述，f(a)1a2.点评 形如 yasin2xbsin xc 的三角函数可转化为二次函数 yat2btc 在区间1,1上的最值问题解决例 6
15、 试求函数 ysin xcos x2sin xcos x2 的最值解 设 sin xcos xt，t 2，2，则 2sin xcos xt21，原函数变为 yt2t1，t2，2，当 t12时，ymin34；当 t 2时，ymax3 2.点评 一般地，既含 sin xcos x(或 sin xcos x)又含 sin xcos x 的三角函数采用换元法可以转化为 t 的二次函数解最值注意以下结论的运用，设 sin xcos xt，则 sin xcos x12(t21)；sin xcos xt，则 sin xcos x12(1t2)四、利用函数的单调性求解例 7 求函数 y1sin x3sin x
16、2sin x的最值解 ysin2x4sin x3sin x2sin x221sin x2(sin x2)1sin x2，令 tsin x2，则 t1,3，yt1t.利用函数单调性的定义易证函数 yt1t在1,3上为增函数故当 t1 即 sin x1 时，ymin0；当 t3 即 sin x1 时，ymax83.例 8 在 RtABC 内有一内接正方形，它的一条边在斜边 BC 上，设 ABa，ABC，ABC的面积为 P，正方形面积为 Q.求PQ的最小值解 ACatan，P12ABAC12a2tan.设正方形边长为 x，AGxcos，BC acos.BC 边上的高 hasin，AGABhxh，即x
17、cos aasin xasin ，xasin 1sin cos，Qx2a2sin21sin cos 2.从而PQ sin 2cos 1sin cos 2sin22sin 224sin 21sin 241sin 2.易知函数 y1tt4在区间(0,1上是减少的，所以当 sin 21 时，PQ min94.点评 一些复杂的三角函数最值问题，可以通过适当换元转化为简单的代数函数后，利用函数单调性巧妙解决6 三角恒等变形一章易错问题盘点一、求角时选择三角函数类型不当而致错例 1 已知 sin 55，sin 1010，和 都是锐角，求 的值错解 因为 和 都是锐角，且 sin 55，sin 1010，所
18、以 cos 2 55，cos 3 1010，sin()sin cos cos sin 55 3 1010 2 55 1010 22.因为，0，2，则(0，)所以 4或34.剖析 由 sin 55，sin 1010，和 都是锐角，可以知道 和 都是定值，因此 也是定值，因此上述解法出现两个答案，其中就有一个是错误的这是因为 sin()在第一、第二象限没有区分度，应选择计算 cos()的值正解 因为 和 都是锐角，且 sin 55，sin 1010，所以 cos 2 55，cos 3 1010，cos()cos cos sin sin 2 55 3 1010 55 1010 22.因为，0，2，则
19、(0，)，所以 4.温馨点评 根据条件求角，主要有两步：1求角的某种三角函数值；2确定角的范围，从而确定所求角的值.完成第一步一般要选择相对角的范围区分度比较大的三角函数，且确定范围要尽量缩小.二、忽视条件中隐含的角的范围而致错例 2 已知 tan26tan 70，tan26tan 70，、(0，)，且，求 的值错解 由题意知 tan、tan 是方程 x26x70 的两根，由根与系数的关系得：tan tan 6 tan tan 7 tan()tan tan 1tan tan 6171.0，0，02，4或 54.剖析 由知 tan 0，tan 0，角、都是钝角上述解法忽视了这一隐含条件正解 由t
20、an tan 6，tan tan 7易知tan 0，tan 0.、(0，)，2，2.0，B0，2，且 sin B1213.由 sin A35，得 cos A45，当 cos A45时，cos A23.sin B1213 32，B0，2，B3.故当 cos A45时，AB，与 A、B 是ABC 的内角矛盾cos A45，cos Ccos(AB)sin Asin Bcos Acos B1665.温馨点评 涉及三角形中的内角问题时，一定要注意内角和 ABC180这一隐含条件.尤其是由内角正弦值确定角的大小时，要防止角的增解出现.四、忽略三角函数的定义域而致错例 4 判断函数 f(x)1sin xco
21、s x1sin xcos x的奇偶性错解 f(x)1sin xcos x1sin xcos x12sin x2cos x212sin2x212sin x2cos x22cos2x212sin x2cos x2sin x22cos x2sin x2cos x2tan x2，由此得 f(x)tanx2 tan x2f(x)，因此函数 f(x)为奇函数剖析 运用公式后所得函数 f(x)tan x2的定义域为x|xR，x2k，kZ.两函数的定义域不同，变形后的函数定义域扩大致错正解 事实上，由 1sin xcos x0 可得sin xcos x1，即 2sinx4 1，从而 sinx4 22，所以 x
22、42k54 且 x42k74(kZ)，故函数 f(x)的定义域是x|x2k，且x2k32，kZ，显然该定义域不关于原点对称所以函数 f(x)为非奇非偶函数温馨点评 判断函数的奇偶性，首先要看定义域，若定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数上述解法正是由于忽视了对函数定义域这一隐含条件的考虑致错五、误用公式 asin xbcos x a2b2sin(x)而致错例 5 若函数 f(x)sin(x)cos(x)，xR 是偶函数，求 的值错解 f(x)sin(x)cos(x)，f(0)sin cos 2sin4.f(x)sin(x)cos(x)是偶函数，|f(0)|f(x)max 2.f(0)
23、2sin4 2，sin4 1，4k2，kZ.即 k4，kZ.剖析 因为 x 与 x 是不同的角，所以函数 f(x)的最大值不是 2，上述解答把 f(x)的最大值误当作 2来处理正解 因为 f(x)sin(x)cos(x)是偶函数，所以 f(x)f(x)对一切 xR 恒成立即 sin(x)cos(x)sin(x)cos(x)恒成立sin(x)sin(x)cos(x)cos(x)0.2sin xcos 2sin xsin 0 恒成立即 2sin x(cos sin)0 恒成立cos sin 0.cos sin 2sin4 0，4k，即 k4，kZ.温馨点评 注意公式 asin xbcos xr(a
24、2b2)sinx的左端是同角 x.当三角函数式不符合这一特征时，不能使用该公式.,例如：函数 fxsinxr(3)cosxxR的最大值不是 2.7 平面向量与三角函数的交汇题型大全平面向量与三角函数的交汇是当今高考命题的一个热点，这是因为此类试题既新颖而精巧，又符合在知识的“交汇处”构题的命题思想这类试题解答的关键是利用向量的平行、垂直、夹角、模、数量积公式将问题转化为三角问题，然后联想相关的三角函数知识求解一、平面向量平行与三角函数交汇例 1 已知 a(2cos x2 3sin x,1)，b(y，cos x)，且 ab.若 f(x)是 y 关于 x 的函数，则 f(x)的最小正周期为_解析
25、由 ab 得 2cos2x2 3sin xcos xy0，即 y2cos2x2 3sin xcos xcos 2x 3sin 2x12sin(2x6)1，所以 f(x)2sin(2x6)1，所以函数 f(x)的最小正周期 T22.答案 点评 解答平面向量平行与三角函数的交汇试题一般先用平面向量平行的条件求涉及到三角函数的解析式或某角的函数值，然后再利用三角知识求解二、平面向量垂直与三角函数交汇例 2 已知向量 a(4,5cos)，b(3，4tan)，(0，2)，若 ab，则 cos(24)_.解析 因为 ab，所以 435cos(4tan)0，解得 sin 35.又因为(0，2)，所以 cos
26、 45.cos 212sin2 725，sin 22sin cos 2425，于是 cos(24)cos 2cos4sin 2sin417 250.答案 17 250点评 解答平面向量垂直与三角函数的交汇试题通常先利用平面向量垂直的条件将向量问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的知识进行处理三、平面向量夹角与三角函数交汇例 3 已知向量 m(sin，1cos)(0)与向量 n(2,0)的夹角为3，则 _.解析 由条件得|m|sin21cos 2 22cos，|n|2，mn2sin，于是由平面向量的夹角公式得 cos 3 mn|m|n|2sin 2 22cos 12，整理得 2cos2cos
27、10，解得 cos 12或 cos 1(舍去)因为 0，所以 23.答案 23点评 解答平面向量的夹角与三角函数的交汇试题主要利用平面向量的夹角公式建立某角的三角函数的方程或不等式，然后由三角函数的知识求解四、平面向量的模与三角函数交汇例 4 若向量 a(cos，sin)，b(3，1)，则|2ab|的最大值为_解析 由条件可得|a|1，|b|2，ab 3cos sin，则|2ab|2ab|24a2b24ab84 3cos sin 88cos64，所以|2ab|的最大值为 4.答案 4点评 解答平面向量的模与三角函数交汇的题目一般要用到向量的模的性质|a|2a2.如果是求模的大小，则一般可直接求
28、解；如果是求模的最值，则常常先建立模关于某角的三角函数，然后利用三角函数的有界性求解五、平面向量数量积与三角函数交汇例 5 若函数 f(x)2sin(6x3)(2x10)的图像与 x 轴交于点 A，过点 A 的直线 l 与函数的图像交于 B、C 两点，则(OB OC)OA 等于()A32 B16C16 D32解析 由 f(x)0，解得 x4，即 A(4,0)，过点 A 的直线 l 与函数的图像交于 B、C 两点，根据对称性可知，A 是 BC 的中点，所以OB OC 2OA，所以(OB OC)OA 2OA OA 2|OA|224232，答案 D点评 平面向量数量积与三角函数的综合主要体现为两类：(1)利用三角函数给出向量的坐标形式，然后求数量积，解答时利用数量积公式可直接解决(2)给出三角函数图像，求图像上相关点构成的向量之间的数量积，解答时关键是求涉及到的向量的模、以及它们的夹角
