1、课时限时检测(二十四)正弦定理、余弦定理的应用举例(时间：60分钟满分：80分)命题报告考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难测量距离问题1,4,710测量高度问题2,86测量角度问题59综合应用311,12一、选择题(每小题5分，共30分)1已知A、B两地的距离为10 km，B、C两地的距离为20 km，现测得ABC120，则A，C两地的距离为()A10 kmB10 kmC10 km D10 km【解析】由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcosABC10040021020700，AC10.【答案】D2要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45，在D点测得塔顶A的
2、仰角是30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，则电视塔的高度为()图389A10 m B20 mC20 m D40 m【解析】设电视塔的高度为x m，则BCx，BDx.在BCD中，根据余弦定理得3x2x2402240xcos 120，即x220x8000，解得x20(舍去)或x40.故电视塔的高度为40 m.【答案】D3一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时()A5海里 B5海里C10海里 D10海里【解析】如图，依题意有BAC60，BAD75，所以CAD
3、CDA15，从而CDCA10，在直角三角形ABC中，得AB5，于是这艘船的速度是10(海里/小时)【答案】C4一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50方向直线航行，30分钟后到达B处在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B、C两点间的距离是()图3810A10海里 B10海里C20海里 D20海里【解析】由已知可得，BAC30，ABC105，AB20，从而ACB45.在ABC中，由正弦定理，得BCsin 3010.【答案】A5(2014南昌模拟)如图3811所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘
4、渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东30角的方向沿直线前往B处营救，则sin 的值为()图3811A. B.C. D.【解析】连接BC.在ABC中，AC10，AB20，BAC120，由余弦定理，得BC2AC2AB22ABACcos 120700，BC10，再由正弦定理，得，sin .【答案】A6某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为10 m(如图3812所示)，则旗杆的高度为()图3812A10 m B30 mC10 m
5、D10 m【解析】如图，在ABC中，ABC105，所以ACB30.由正弦定理得，所以BC2020(m)，在RtCBD中，CDBCsin 602030(m)【答案】B二、填空题(每小题5分，共15分)7已知A船在灯塔C北偏东80处，且A船到灯塔C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40处， A，B两船间的距离为3 km，则B船到灯塔C的距离为_km.【解析】如图，由已知得ACB120，AC2，AB3.设BCx，则由余弦定理得AB2BC2AC22BCACcos 120，即3222x222xcos 120即x22x50，解得x1.【答案】18(2014长沙模拟)如图3813，测量河对岸的塔高AB时，
6、可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB_.图3813【解析】设ABh，在ABC中tan 60，BCh，在BCD中，DBC1801530135，由正弦定理得，即，解得h15.【答案】159(2014昌平模拟)如图3814所示，已知树顶A离地面米，树上另一点B离地面米，某人在离地面米的C处看此树，则该人离此树_米时，看A，B的视角最大图3814【解析】过C作CFAB于点F，设ACB，BCF.由已知得AB5(米)，BF4(米)，AF9(米)则tan()，tan ，tan ().当且仅当FC，即FC6时，tan 取
7、得最大值，此时取得最大值【答案】6三、解答题(本大题共3小题，共35分)10(10分)(2014济南模拟)如图3815，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C处图3815(1)求渔船甲的速度；(2)求sin 的值【解】(1)依题意知，BAC120，AB12海里，AC10220(海里)，BCA，在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC12220221220cos 120784.解得BC28(海里)所以渔船甲的速度为1
8、4(海里/时)(2)由(1)知BC28海里，在ABC中，BCA，由正弦定理得.即sin .11(12分)(2014烟台模拟)某单位设计了一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA，AD再用一根9米长的材料弯折而成，要求A和C互补，且ABBC图3816(1)设ABx米，cos Af(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范围；(2)求四边形ABCD面积的最大值【解】(1)在ABD中，由余弦定理得BD2AB2AD22ABADcos A.同理，在CBD中，BD2BC2CD22BCCDcos C因为
9、A和C互补，所以cos Acos C，所以AB2AD22ABADcos ABC2CD22BCCDcos CBC2CD22BCCDcos A.即x2(9x)22x(9x)cos Ax2(5x)22x(5x)cos A，解得cos A，即f(x)，x(2,5)(2)四边形ABCD的面积为S(ABADBCCD)sin Ax(5x)x(9x) x(7x) .记g(x)(x24)(x214x49)，x(2,5)，则g(x)2x(x214x49)(x24)(2x14)2(x7)(2x27x4)令g(x)0，解得x4(x7或x舍去)易知函数g(x)在(2,4)上单调递增，在(4,5)上单调递减因此g(x)的
10、最大值为g(4)129108.所以S的最大值为6，即四边形ABCD的面积的最大值为6 m2.12(13分)(2014郑州模拟)某城市有一块不规则的绿地如图3817所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为ABC、ABD，经测量ADBD14，BC10，AC16，CD.图3817(1)求AB的长度；(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建设费用最低，请说明理由【解】(1)在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C16210221610cos C，在ABD中，由余弦定理及CD整理得AB2AD2BD22ADBDcos D1421422142cos C，由得：1421422142cos C16210221610cos C，整理可得，cos C，又C为三角形的内角，所以C60，又CD，ADBD，所以ABD是等边三角形，故AB14，即A、B两点的距离为14.(2)小李的设计符合要求理由如下：SABDADBDsin D，SABCACBCsin C，因为ADBDACBC，所以SABDSABC，由已知建造费用与用地面积成正比，故选择ABC建造环境标志费用较低即小李的设计符合要求