1、2010届高考数学热点：攻略立体几何本专题重点是平面的基本性质，空间直线的位置关系，直线与平面及平面与平面之间的关系。使学生建立正确的空间概念，在对图形的认识方面实现由平面到立体的过渡是学习立体几何的难点，要实现由平面向空间的过渡必须（1）有序建立图形、文字、符号三种数学语言的联系。（2）联系平面图形的知识，利用对比、引伸、联想的方法找出平面图形和立体图形的异同，以及两者的内在联系，先将立体图形转化为平面图形。本章高考命题形式比较稳定，主要考查线线、线面、面面的平行与垂直，及空间角和距离的计算，及面积、体积的计算，着重考查学生的空间想象能力，近年来在传统题型的基础上，进行了一些改革，出现了开放
2、题型及探索性题型，考查了学生综合运用知识的能力。k.s.5.u我们先来分析一下解析几何高考的命题趋势：一从近几年各地高考试题分析，立体几何题型一般是一个解答题，2至3个填空或选择题解答题一般与棱柱和棱锥相关，主要考查线线关系、线面关系和面面关系，其重点是考查空间想象能力和推理运算能力，其解题方法一般都有二种以上，并且一般都能用空间向量来求解高考试题中，立体几何侧重考查学生的空间概念、逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力.近几年凡涉及空间向量应用于立体几何的高考试题，都着重考查应用空间向量求异面直线所成的角、二面角，证明线线平行、线面平行和证明异面直线垂直和线面垂直等基本问题.二2010年高考大
3、纲对本章的考查要求：k.s.5.u1、空间几何体认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征。能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图。会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。画出某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）。了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。k.s.5.u2、点、线、面之间的位置关系理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理（1、2、3、4）和定
4、理（空间两角相等或互补）。以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。3、空间向量及其运算了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。4、空间向量的应用理解直线的方向向量与平面的法向量。能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系。能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）。能用向量方法解决
5、直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用。三复习建议：1、地位：兵家必争虽然近年来立体几何试题在命题思路和方法上不时有些出人意外之处，但总体上还是保持了稳定，所以复习备考工作有章可循，有法可依。特别是立体几何试题难度中等，大题分步设问，层次分明，使得不同层次的学生都可得到一定的分数，因而立体几何成为历年数学高考中的“兵家必争之地”。2、该部分内容宽度、厚度的把握（1）依纲靠本，控制难度.从近年高考立体几何试题的命题来源来看，很多题目是出自于课本，或略高于课本。，我们在复习备考中，一定要依纲靠本，进行一题多解和多题一解的教学，吃透教材的实质，一定要控
6、制好题目的难度，不出偏题、怪题。（2）网络完备，主干突出立体几何的复习要让学生建立起完整的知识网络，要突出这门学科的主干。如转化思想是统率立体几何的数学思想，所以要让学生牢固树立以下的思维脉络：证线面垂直或（平行），转化为证线线垂直（平行）；求两个平行平面的距离往往转化为求互相平行的直线和平面的距离，再转化为求点面之间的距离等。又如为了使学生的知识网络完备，在复习线线平行的证明方法时，要总结梳理出以下四个证明的定理：、公理4；、线面平行的性质定理；、面面平行的性质定理；、线面垂直的性质定理。同样，在归纳求点面的距离时，要总结出以下的三类常用方法：1、向量法；2、直接法；3、体积法。重点应放在向
7、量法的熟练应用上。.（3）理据充分，规范答题从近年立体几何解答题的答题情况来看，学生“会而不对，对而不全”的问题比较严重，很值得引起我们的重视。因此，在平时的训练中，我们就应当培养学生规范答题的良好习惯，要使学生在做解答题时作到“一看、二证、三求解”。（4）重视想象，识图画图立体几何是培养学生空间想象力的数学分支。在具体要求上，要把握好以下三点：、培养学生识图、想图、画图的能力（包括规范图形和非规范图形）；、培养学生将概念、性质灵活应用于图形的能力，要把文字语言、符号语言和图形语言有机结合起来；、培养学生对图形的处理能力，会把非标准图形转化为标准图形，对图形的割、补、折、展等高考长考不衰的内容
8、应重点关注。（5）重点与难点距离和角的计算. 空间向量在解决立体几何综合题中的应用.3、我们的一些做法（1）关注基础：对每一章数学基础知识，作几次系统的回顾与总结，对所学内容能按类别形成知识网络，清理考点，清理错解，清理题型，清理方法。（2）全面查缺补漏：多做、重点讲评选择题与填空题，特别是小题求解如何作基本图形反复练习，使查缺补漏工作落实到实处。（3）选题比较平和，技巧不过强，重视基础知识与基本技能。（4）热点问题（角、距离、法向量在立体几何中的应用）长抓不懈。（5）尽早复习、反复训练、注重书写、螺旋式提高。在近年高考中，对平面向量内容的考查的主要知识点和题型有：1.从知识要求来讲，应包括这
9、些方面：平面，平面的基本性质，平面图形直观图的画法（新教材改在棱柱后讲）。两条直线的位置关系。平行于同一条直线的两条直线互相平行。对应边分别平行的角。异面直线所成的角。两条异面直线互相垂直的概念。异面直线的公垂线及距离。直线和平面的位置关系。直线和平面平行的判定与性质。直线和平面垂直的判定与性质。点到平面的距离。斜线在平面上的射影。直线和平面所成的角。三垂线定理及逆定理。两个平面的位置关系。平行平面的判定和性质、平行平面间的距离。二面角及其平面角。两个平面垂直的判定与性质。棱柱（包括平行六面体）。棱锥。棱台。多面体。圆柱。圆锥。圆台。球。球冠和球缺。旋转体。体积的概念与体积公理。棱柱、圆柱的体
10、积。棱锥、圆锥的体积。棱台、圆台的体积。球的体积。2.直线和平面：（1）掌握平面的基本性质、空间两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系（特别是平行与垂直关系）以及它们所成的角和距离的概念。对于异面直线的距离，只要求会计算以给出公垂线时的距离。（2）能运用上述概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直的性质和判定，进行论证和解决有关问题。对异面直线上两点距离公式不要求记忆。（3）会用斜二侧画法画水平放置的平面图形（特别是正三角形、正四边形、正五边形、正六边形）的直观图。能够画出空间两条直线、两个平面、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。（4）理解用反证法
11、证明命题的思路，会用反证法证明一些简单的问题。3.多面体与旋转体：（1）理解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球以及有关概念和性质。了解球冠和球缺的概念。（2）掌握直棱柱、正棱锥、正棱台和圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式，并能运用这些公式进行计算。（3）了解多面体和旋转体的概念，能正确画出直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台的直观图。（4）对于截面问题，只要求会解决与几种特殊的截面（棱柱、棱锥、棱台的对角面。棱柱的直截面，圆柱、圆锥、圆台的轴截面的平行于底面的截面，球的截面）以及已给出图形或它的全部顶点的其他截面的有关问题。一、选择题（每小题 5 分）1.(2009年广东卷文)给定
12、下列四个命题： 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行；. 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是 A和 B和 C和 D和 【答案】D【解析】错, 正确, 错, 正确.故选D2.（2009广东卷理）给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行； 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直
13、的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是 A. 和 B. 和 C. 和 D. 和【解析】选D.3.（2009浙江卷理）在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是 ( )A B C D . 答案：C 【解析】取BC的中点E，则面，因此与平面所成角即为，设，则，即有4.（2009浙江卷文）设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）A若，则 B若，则 C若，则 D若，则 4C 【命题意图】此题主要考查立体几何的线面、面面的位置关系，通过对平行和垂直的考查，充分调动了立体几何中的基本元素关系【解析】对于A、B、D均可能出现，而对于C是正确的. 5.（
14、2009北京卷文）若正四棱柱的底面边长为1，与底面ABCD成60角，则到底面ABCD的距离为 ( )AB1CD【答案】D【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. 属于基础知识、基本运算的考查. 依题意，如图，故选D.6.（2009北京卷理）若正四棱柱的底面边长为1，与底面成60角，则到底面的距离为 （ ） A B1 C D【答案】D【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. （第4题解答图）属于基础知识、基本运算的考查. 依题意，如图，故选D.7. (2009山东卷理)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体
15、积为( ).A. B. C. D. 【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆柱的底面半径为1,高为2,体积为,四棱锥的底面2 2 2 正(主)视图 2 2 侧(左)视图 边长为，高为，所以体积为所以该几何体的体积为.答案:C【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力,由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地俯视图 计算出.几何体的体积.8. (2009山东卷理)已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面内的一条直线,则,反过
16、来则不一定.所以“”是“”的必要不充分条件. 答案:B.【命题立意】:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念.9. (2009山东卷文)已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面内的一条直线,则,反过来则不一定.所以“”是“”的必要不充分条件 .答案:B.【命题立意】:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念.10.（2009全国卷文） 已知正四棱柱中，=，为重点，则异面直线与所形成角的余弦值为（A） (
17、B) (C) (D) 答案：C解析：本题考查异面直线夹角求法，方法一：利用平移，CDBA,因此求EBA中ABE即可，易知EB=,AE=1,AB=,故由余弦定理求cosABE=，或由向量法可求。11.（2009全国卷文）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45角的平面截球O的表面得到圆C。若圆C的面积等于，则球O的表面积等于 答案：8解析：本题考查立体几何球面知识，注意结合平面几何知识进行运算，由12.（2009全国卷理）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ D ）（A） （B） （C） (D) 解：设的中点为D，连结D，AD，
18、易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理，易知.故选D 13.（2009全国卷理）已知二面角-l-为 ，动点P、Q分别在面、内，P到的距离为，Q到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（ C ）(A) (B)2 (C) (D)4 解:如图分别作 ，连，又当且仅当，即重合时取最小值。故答案选C。 14.（2009江西卷文）如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，错误的为. . 截面 . . 异面直线与所成的角为答案：C【解析】由，可得，故正确；由可得截面，故正确； 异面直线与所成的角等于与所成的角，故正确；综上是错误的，故选.15.（2009江西卷理）如图，正四面体的顶点，分别在两两
19、垂直的三条射线，上，则在下列命题中，错误的为 A是正三棱锥B直线平面C直线与所成的角是D二面角为 . 答案：B【解析】将原图补为正方体不难得出B为错误，故选B二、填空题（每小题 5 分）16.（2009四川卷文）如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是 。 【答案】90【解析】作BC的中点N，连接AN，则AN平面BCC1B1， 连接B1N，则B1N是AB1在平面BCC1B1的射影，B1NBM，AB1BM.即异面直线所成的角的大小是9017.（2009全国卷理）设是球的半径，是的中点，过且与成45角的平面截球的表面得到圆。若圆的面积等于，则球的表面积等于 .解
20、：设球半径为，圆的半径为， 因为。由得.故球的表面积等于.18.（2009辽宁卷理）设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。 则该几何体的体积为 【解析】这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的高为3, 体积等于2434【答案】414.（2009全国卷文）已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则球的表面积等于_.【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积，基础题。解：设球半径为，圆M的半径为，则，即由题得，所以。19.（2009四川卷文）如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是 。 【答案】90【解析】作BC的
21、中点N，连接AN，则AN平面BCC1B1，连接B1N，则B1N是AB1在平面BCC1B1的射影，B1NBM，AB1BM.即异面直线所成的角的大小是9020.（2009陕西卷文）如图球O的半径为2，圆是一小圆，A、B是圆上两点，若=，则A,B两点间的球面距离为 .答案: ABO1O 解析:由,=2由勾股定理在中则有, 又= 则 所以在，则，那么 . 由弧长公式得.21.（2009四川卷理）如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧 棱的中点，则异面直线所成的角的大小是 。 【考点定位】本小题考查异面直线的夹角，基础题。解析：不妨设棱长为2，选择基向量，则，故填写。法2：取BC中点N，连结，则面，是
22、在面上的射影，由几何知识知，由三垂线定理得，故填写。22.（2009福建卷文）如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为。则该集合体的俯视图可以是解析 解法1 由题意可知当俯视图是A时，即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，注意到题目体积是，知其是立方体的一半，可知选C. 解法2 当俯视图是A时，正方体的体积是1；当俯视图是B时，该几何体是圆柱，底面积是，高为1，则体积是；当俯视是C时，该几何是直三棱柱，故体积是，当俯视图是D时，该几何是圆柱切割而成，其体积是.故选C.23.（2009年上海卷理）如图，若正四棱柱的底面连长为2，高 为4，则异面
23、直线与AD所成角的大小是_（结果用反三角函数表示）.【答案】 【解析】因为ADA1D1，异面直线BD1与AD所成角就是BD1与A1D1所在角，即A1D1B，由勾股定理，得A1B2，tanA1D1B，所以，A1D1B。24.（2009年上海卷理）已知三个球的半径，满足，则它们的表面积，满足的等量关系是_. 【答案】【解析】，同理：，即R1，R2，R3，由得三解答题25.（2009全国卷文）（本小题满分12分）. 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABAC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE平面BCC1（）证明：AB=AC （）设二面角A-BD-C为60,求B1C与平面BCD所成的角的大小
24、解析：本题考查线面垂直证明线面夹角的求法，第一问可取BC中点F，通过证明AF平面BCC1,再证AF为BC的垂直平分线，第二问先作出线面夹角，即证四边形AFED是正方形可证平面DEF平面BDC，从而找到线面夹角求解。此题两问也可建立空间直角坐标系利用向量法求解。解法一：（）取BC中点F，连接EF，则EF，从而EFDA。ACBA1B1C1DE连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF/DE。又DE平面，故AF平面，从而AFBC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。（）作AGBD，垂足为G，连接CG。由三垂线定理知CGBD，故AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知，AGC=600. 设A
25、C=2，则AG=。又AB=2，BC=，故AF=。由得2AD=，解得AD=。故AD=AF。又ADAF，所以四边形ADEF为正方形。因为BCAF，BCAD，AFAD=A，故BC平面DEF，因此平面BCD平面DEF。连接AE、DF，设AEDF=H，则EHDF，EH平面BCD。连接CH，则ECH为与平面BCD所成的角。. 因ADEF为正方形，AD=，故EH=1，又EC=2，所以ECH=300，即与平面BCD所成的角为300.解法二：（）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系Axyz。设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则（1，0，2c）,E（，c）.于是=
26、（，0），=（-1，b,0）.由DE平面知DEBC， =0，求得b=1，所以 AB=AC。（）设平面BCD的法向量则又=（-1，1， 0），=（-1，0，c）,故 令x=1, 则y=1, z=,=(1,1, ).又平面的法向量=（0，1，0）由二面角为60知，=60，故 ，求得 于是 ， ， 所以与平面所成的角为3026.（2009江苏卷）（本小题满分14分） 如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，点在上，。 求证：（1）EF平面ABC； （2）平面平面.【解析】 本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力。满分14分。27.（2009全国卷理）（本小题满分
27、12分）（注意：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面， ，点M在侧棱上，=60（I）证明：M在侧棱的中点（II）求二面角的大小。（I）解法一：作交于N，作交于E，连ME、NB，则面，,设，则,在中，。在中由解得，从而 M为侧棱的中点M. 解法二:过作的平行线.解法三:利用向量处理. 详细可见09年高考参考答案. （II）分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。过作交于,作交于,作交于,则,面,面面,面即为所求二面角的补角.分析二：利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点，则点为AM的中点，取SA的中
28、点G，连GF，易证，则即为所求二面角.分析三：利用空间向量求。在两个半平面内分别与交线AM垂直的两个向量的夹角即可。另外：利用射影面积或利用等体积法求点到面的距离等等，这些方法也能奏效。总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会照顾双方的利益。28.（2009安徽卷理）（本小题满分13分）如图，四棱锥FABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.（I）求二面角BAFD的大小；（II）求四棱锥EABCD与四棱锥FABCD公共部分的体积.本小题主要考查直线与直线、直线与
29、平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识，考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。本小题满分13分。解：（I）（综合法）连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OGAF，G为垂足。连接BG、DG。由BDAC，BDCF得BD平面ACF，故BDAF。 于是AF平面BGD，所以BGAF，DGAF，BGD为二面角BAFD 的平面角。由， ，得， 由，得（向量法）以A为坐标原点，、方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）设平面ABF的法向量，则由得令，得，同理，可求得平面ADF的法向量。 由知，平面ABF与平面ADF
30、垂直，二面角B-AF-D的大小等于。（II）连EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD。过H作HP平面ABCD，P为垂足。因为EA平面ABCD，FC平面ABCD，所以平面ACFE平面ABCD，从而由得。又因为 故四棱锥H-ABCD的体积29.（2009安徽卷文）（本小题满分13分）如图，ABCD的边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，g和F式l上的两个不同点，且EA=ED，FB=FC， 和是平面ABCD内的两点，和都与平面ABCD垂直，（）证明：直线垂直且平分线段AD：. （）若EAD=EAB=60，EF=2
31、，求多面体ABCDEF的体积。【思路】根据空间线面关系可证线线垂直，由分割法可求得多面体体积，体现的是一种部分与整体的基本思想。【解析】(1)由于EA=ED且点E在线段AD的垂直平分线上,同理点F在线段BC的垂直平分线上.又ABCD是四方形线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线即点EF都居线段AD的垂直平分线上. . 所以,直线EF垂直平分线段AD.(2)连接EB、EC由题意知多面体ABCD可分割成正四棱锥EABCD和正四面体EBCF两部分.设AD中点为M,在RtMEE中,由于ME=1, .ABCD又BCF=VCBEF=VCBEA=VEABC多面体ABCDEF的体积为VEABCDVEB
32、CF=30.（2009江西卷文）（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，以的中点为球心、为直径的球面交于点（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角；（3）求点到平面的距离解：方法（一）：（1）证：依题设，在以为直径的球面上，则.因为平面，则，又，所以平面，则，因此有平面，所以平面平面.（）设平面与交于点，因为，所以平面，则，由（1）知，平面，则MN是PN在平面ABM上的射影，所以 就是与平面所成的角，且 所求角为（3）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由（1）知，平面于M，则|DM|就是D点到平面ABM距离.因为在RtPAD中，
33、所以为中点，则O点到平面ABM的距离等于。方法二：（1）同方法一；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则， ，设平面的一个法向量，由可得：，令，则，即.设所求角为，则，所求角的大小为. （3）设所求距离为，由，得：31.（2009江西卷理）（本小题满分12分）在四棱锥中，底面是矩形，平面，. 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.（1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成的角的大小；（3）求点到平面的距离.解：方法一：（1）依题设知，AC是所作球面的直径，则AMMC。又因为P A平面ABCD，则PACD，又CDAD，所以CD平面，则CDAM，所以A M平面PCD，所以平面ABM平面P
34、CD。（2）由（1）知，又，则是的中点可得，则设D到平面ACM的距离为，由即，可求得，设所求角为，则，。（1） 可求得PC=6。因为ANNC，由，得PN。所以。故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的。又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，由（2）可知所求距离为。方法二：（1）同方法一；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则， ，；设平面的一个法向量，由可得：，令，则。设所求角为，则， 所以所求角的大小为。（3）由条件可得，.在中，,所以,则, ，所以所求距离等于点到平面距离的，设点到平面距离为则，所以所求距离为。32.(2009湖北卷理)（本小题满分12分）（注意：
35、在试题卷上作答无效） 如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，点E是SD上的点，且（）求证：对任意的，都有（）设二面角CAED的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若，求的值 （）证法1：如图1，连接BE、BD，由地面ABCD是正方形可得ACBD。 SD平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，ACBE（）解法1：如图1，由SD平面ABCD知，DBE= , SD平面ABCD，CD平面ABCD, SDCD。 又底面ABCD是正方形， CDAD，而SD AD=D，CD平面SAD.连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DEAE于F，连接CF，则CFAE，故CD
36、F是二面角C-AE-D的平面角，即CDF=。在RtBDE中，BD=2a，DE=在RtADE中, 从而在中，. 由，得.由，解得，即为所求.（I） 证法2：以D为原点，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如 图2所示的空间直角坐标系，则 D（0，0，0），A（，0，0），B（，0），C（0，0），E（0，0）， ， 即。（II） 解法2：由（I）得.设平面ACE的法向量为n=(x，y，z)，则由得。 易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为. . 0， . 由于，解得，即为所求。33.（2009四川卷文）（本小题满分12分）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角
37、形，（I）求证：；（II）设线段、的中点分别为、，求证： （III）求二面角的大小。【解析】解法一：因为平面ABEF平面ABCD，BC平面ABCD，BCAB，平面ABEF平面ABCD=AB，所以BC平面ABEF.所以BCEF.因为ABE为等腰直角三角形，AB=AE，所以AEB=45，又因为AEF=45,所以FEB=90，即EFBE.因为BC平面ABCD, BE平面BCE,BCBE=B所以 6分（II）取BE的中点N,连结CN,MN,则MNPC PMNC为平行四边形,所以PMCN. CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内, PM平面BCE. 8分（III）由EAAB,平面ABEF平面ABCD,
38、易知EA平面ABCD.作FGAB,交BA的延长线于G,则FGEA.从而FG平面ABCD,作GHBD于H,连结FH,则由三垂线定理知BDFH. FHG为二面角F-BD-A的平面角. FA=FE,AEF=45,AEF=90, FAG=45.设AB=1,则AE=1,AF=,则在RtBGH中, GBH=45,BG=AB+AG=1+=, 在RtFGH中, , 二面角的大小为 12分 解法二: 因等腰直角三角形，所以又因为平面，所以平面，所以即两两垂直；如图建立空间直角坐标系, (I) 设，则，从而 ，于是， , 平面，平面， （II），从而 于是 ，又平面，直线不在平面内， 故平面（III）设平面的一个
39、法向量为，并设（ 即 取，则，从而（1，1，3） 取平面D的一个法向量为 故二面角的大小为34.（2009全国卷理）（本小题满分12分） 如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，平面 （I）证明：（II）设二面角为60，求与平面所成的角的大小。（I）分析一：连结BE，为直三棱柱， 为的中点，。又平面，（射影相等的两条斜线段相等）而平面，（相等的斜线段的射影相等）。分析二：取的中点，证四边形为平行四边形，进而证，得也可。分析三：利用空间向量的方法。具体解法略。（II）分析一：求与平面所成的线面角，只需求点到面的距离即可。作于，连，则，为二面角的平面角，.不妨设，则.在中，由，易得. 设点到面的距离为
40、，与平面所成的角为。利用，可求得，又可求得 即与平面所成的角为分析二：作出与平面所成的角再行求解。如图可证得，所以面。由分析一易知：四边形为正方形，连，并设交点为，则，为在面内的射影。以下略。分析三：利用空间向量的方法求出面的法向量，则与平面所成的角即为与法向量的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。k.s.5.u总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。35.（2009辽宁卷理）（本小题满分12分）如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点 。（I）若平面ABCD
41、平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦；（II）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。 （18）（I）解法一：取CD的中点G，连接MG，NG。设正方形ABCD，DCEF的边长为2， 则MGCD，MG=2，NG=.因为平面ABCD平面DCED，所以MG平面DCEF，可得MNG是MN与平面DCEF所成的角。因为MN=，所以sinMNG=为MN与平面DCEF所成角的正弦值 6分解法二： 设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.则M（1,0,2）,N(0,1,0),可得=(1,1,2). k.
42、s.5.u又=（0，0，2）为平面DCEF的法向量，可得cos(,)= 所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为cos 6分()假设直线ME与BN共面， 8分则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF。又AB/CD，所以AB/平面DCEF。面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以AB/EN。又AB/CD/EF，所以EN/EF，这与ENEF=E矛盾，故假设不成立。所以ME与BN不共面，它们是异面直线. 12分36.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的倍，P为侧棱
43、SD上的点。 k.s.5.u（）求证：ACSD； （）若SD平面PAC，求二面角P-AC-D的大小（）在（）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E， 使得BE平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。解法一： （）连BD，设AC交BD于O，由题意。在正方形ABCD中，所以,得. ()设正方形边长，则。又，所以, k.s.5.u 连，由（）知,所以, 且,所以是二面角的平面角。由,知,所以,即二面角的大小为。 （）在棱SC上存在一点E，使由（）可得，故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点即为。连BN。在中知，又由于,故平面，得,由于,故.解法二： （）；连,设交于于，由题意知.以
44、O为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图。 设底面边长为，则高。 于是 k.s.5.u 故 从而 ()由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设所求二面角为，则,所求二面角的大小为 （）在棱上存在一点使. 由（）知是平面的一个法向量， 且 设 则 而 即当时， k.s.5.u而不在平面内，故37.（2009湖北卷文）（本小题满分12分） 如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD,SDADa,点E是SD上的点，且DEa(01). ()求证：对任意的（0、1），都有ACBE:()若二面角C-AE-D的大小为600C，求的值。本小题主要考察空间直线与直线、直线与平面的
45、位置关系和二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。（满分12分） （）证发1：连接BD，由底面是正方形可得ACBD。 SD平面，BD是BE在平面ABCD上的射影，由三垂线定理得ACBE.(II)解法1：SD平面ABCD，平面， SDCD. 又底面是正方形， DD，又AD=D，CD平面SAD。过点D在平面SAD内做DFAE于F，连接CF，则CFAE， 故CFD是二面角C-AE-D 的平面角，即CFD=60在RtADE中，AD=, DE= ， AE= 。于是，DF=在RtCDF中，由cot60=得， 即=3 k.s.5.u， 解得=38.（2009湖南卷文）（本小题满分12
46、分） 如图3，在正三棱柱中，AB=4, ,点D是BC的中点，点E在AC上，且DEE.（）证明：平面平面; （）求直线AD和平面所成角的正弦值。解:（）如图所示，由正三棱柱的性质知平面.又DE平面ABC，所以DE.而DEE，,所以DE平面.又DE 平面，故平面平面. （）解法 1: 过点A作AF垂直于点,连接DF.由（）知，平面平面，k.s.5.u所以AF平面,故是直线AD和平面所成的角。 因为DE，所以DEAC.而ABC是边长为4的正三角形，于是AD=，AE=4-CE=4-=3.又因为，所以E= = 4, , .即直线AD和平面所成角的正弦值为 .解法2 : 如图所示，设O是AC的中点，以O为
47、原点建立空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是A(2,0,0,), (2,0,), D(-1, ,0), E(-1,0,0).易知=（-3，-），=（0，-，0），=（-3，0）.设是平面的一个法向量，则解得.故可取.于是 = . 由此即知，直线AD和平面所成角的正弦值为 . k.s.5.u39.（2009辽宁卷文）（本小题满分12分）如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。（I）若CD2，平面ABCD 平面DCEF，求直线MN的长；（II）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。 解 （）取CD的中点G连结MG，NG. 因为ABCD，D
48、CEF为正方形，且边长为2， 所以MGCD，MG2，. 因为平面ABCD平面DCEF， 所以MG平面DCEF，可得MGNG. 所以 6分（）假设直线ME与BN共面， k.s.5.u .8分则平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN，由已知，两正方形不共面，故平面DCEF.又ABCD，所以AB平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以ABEN.又ABCDEF,所以ENEF，这与矛盾，故假设不成立。 所以ME与BN不共面，它们是异面直线。 .12分40.（2009全国卷文）(本小题满分12分)（注决：在试题卷上作答无效） 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，点在侧棱上，。
49、 （I）证明：是侧棱的中点；求二面角的大小。（同理18） 【解析】本小题考查空间里的线线关系、二面角，综合题。（I）解法一：作交于N，作交于E，连ME、NB，则面，,设，则, k.s.5.u在中，。在中由解得，从而 M为侧棱的中点M. 解法二:过作的平行线.（II）分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。过作交于,作交于,作交于,则,面,面面,面即为所求二面角的补角.法二：利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点，则点为AM的中点，取SA的中点G，连GF，易证，则即为所求二面角.解法二、分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系Dxyz，则。SABCDMzxy k.s.5.u（）设，则，由题得，即解之个方程组得即所以是侧棱的中点。 法2：设，则又故，即k.s.5.u，解得，所以是侧棱的中点。（）由（）得，又，设分别是平面、的法向量，则且，即且分别令得，即， k.s.5.u二面角的大小。