1、高考资源网（） 您身边的高考专家3.1函数与方程一、填空题1已知方程2x10x的根x(k，k1)，kZ，则k_.解析设f(x)2xx10，则由f(2)40，f(3)10，所以f(x)的零点在(2,3)内答案22已知a是函数f(x)2xlogx的零点，若0x0a，则f(x0)的值满足_(与零的关系)解析因为f(x)是(0，)上的增函数，且f(a)0，于是由0x0a，得f(x0)f(a)0，即f(x0)0.答案f(x0)03若函数f(x)axb的零点为2，那么函数g(x)bx2ax的零点是_解析由f(x)axb有零点2，得2ab0(a0)，代入g(x)，得g(x)2ax2axax(2x1)，它有零
2、点x0和x.答案0，4设函数y(x)xln x(x0)，则函数f(x)在区间(0,1)，(1，)内的零点个数分别为_解析设yx与yln x，作图象可知f(x)在区间(0,1)内无零点，在(1，)内仅有两个零点答案0,25若函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，则不等式af(2x)0的解集是_解析f(x)x2axb的两个零点是2,3.2,3是方程x2axb0的两根，由根与系数的关系知f(x)x2x6.不等式af(2x)0，即(4x22x6)02x2x30，解集为.答案6.已知函数有且只有一个零点,则实数m的值为 . 解析 由题知:方程只有一个零点.令 方程只有一个正根. 由图象(图略)可知
3、m=-2. 答案 -2 7已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范围是_解析画出图象，令g(x)f(x)m0，即f(x)与ym的图象的交点有3个，0m1.答案(0,1)8偶函数f(x)在区间为(a0)上是单调，函数，且f(0)f(a)0，则方程f(x)0在区间内根的个数是_解析由f(0)f(a)0，且f(x)在(a0)上单调，知f(x)0在上有一根，又函数f(x)为偶函数，f(x)0在上也有一根所以f(x)0在区间内有两个根答案29设函数f(x)x2axa3，g(x)ax2a.若存在x0R，使得f(x0)0与g(x0)0同时成立，则实数a的取值范围是_解析g(x)a
4、x2aa(x2)，当a0时，x2，由f(2)0，得42aa30，a7，舍去；当a0时，x2，由f(2)0，得42aa30，a7.综上，a(7，)答案(7，)10.若二次函数中ac0,则函数的零点个数是_个解析 令 因判别式故函数必有两个零点. 答案 211已知函数f(x)1x，g(x)1x，设F(x)f(x3)g(x3)，且函数F(x)的零点均在区间(ab，a，bZ)内，则ba的最小值为_解析由f(x)1xx2x3x2 010，则f(x)0，f(x)为增函数，又f(0)10，f(1)0，从而f(x)的零点在(1,0)上；同理g(x)为减函数，零点在(1,2)上，F(x)的零点在(4，3)和(4
5、,5)上，要区间包含上述区间(ba)min9.答案912若直角坐标平面内两点P、Q满足条件：P、Q都在函数f(x)的图象上；P、Q关于原点对称，则称点对(P，Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P，Q)与(Q，P)看作同一个“友好点对”)已知函数f(x)则f(x)的“友好点对”有_个解析根据题意：“友好点对”，可知，只须作出函数y2x24x1(x0)的图象关于原点对称的图象，看它与函数y(x0)交点个数即可如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2.即f(x)的“友好点对”有：2个答案213已知函数f(x)x2(1k)xk的一个零点在(2,3)内，则实数k的取值范围是_解析因为(1k)2
6、4k(1k)20对一切kR恒成立，又k1时，f(x)的零点x1(2,3)，故要使函数f(x)x2(1k)xk的一个零点在(2,3)内，则必有f(2)f(3)0，即2k3.答案(2,3)二、解答题14若函数f(x)ax2x1有且仅有一个零点，求实数a的取值范围解析(1)当a0时，函数f(x)x1为一次函数，则1是函数的零点，即函数仅有一个零点(2)当a0时，函数f(x)ax2x1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2x10有两个相等实根14a0，解得a.综上，当a0或a时，函数仅有一个零点15关于x的方程mx22(m3)x2m140有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m的取值范
7、围解析令f(x)mx22(m3)x2m14，依题意得或即或解得m0，即实数m的取值范围是.16已知函数f(x)4xm2x1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点思路分析由题意可知，方程4xm2x10仅有一个实根，再利用换元法求解解析f(x)4xm2x1有且仅有一个零点，即方程(2x)2m2x10仅有一个实根设2xt(t0)，则t2mt10.当0时，即m240，m2时，t1；m2时，t1(不合题意，舍去)，2x1，x0符合题意当0时，即m2或m2时，t2mt10有两正或两负根，即f(x)有两个零点或没有零点这种情况不符合题意综上可知：m2时，f(x)有唯一零点，该零点为x0.【点评】 方
8、程的思想是与函数思想密切相关的，函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题来解决，本题就是函数的零点的问题转化为方程根的问题17已知a是实数，函数f(x)2ax22x3a，如果函数yf(x)在区间上有零点，求a的取值范围解析当a0时，函数f(x)2x3的零点x当a0时，函数f(x)在上的零点可能有一个与两个这两种情况函数在区间上只有一个零点，则有或解得1a5或a.函数在区间上有两个零点，则有或解得a或a5.综上，得a的取值范围是5，)18(1)m为何值时，f(x)x22mx3m4.有且仅有一个零点；有两个零点且均比1大；(2)若函数f(x)|4xx2|a有4个零点，求实数a的取值范围解析(1)f(x)x22mx3m4有且仅有一个零点方程f(x)0有两个相等实根0，即4m24(3m4)0，即m23m40，m4或m1.法一设f(x)的两个零点分别为x1，x2，则x1x22m，x1x23m4.由题意，知5m1.故m的取值范围为(5，1)法二由题意，知即5m1.m的取值范围为(5，1)(2)令f(x)0，得|4xx2|a0，则|4xx2|a.令g(x)|4xx2|，h(x)a.作出g(x)，h(x)的图象由图象可知，当0a4，即4a0时，g(x)与h(x)的图象有4个交点， - 6 - 版权所有高考资源网
