1、第二节两条直线的位置关系考情展望1.考查由已知两条直线平行与垂直求参数.2.考查距离的计算及对称问题.3.本节内容客观题主要考查基础知识和基本能力，主观题主要在知识交汇处命题注重考查分类讨论与数形结合思想一、两条直线的位置关系1两条直线平行与垂直(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.(2)两条直线垂直：如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1l2k1k21.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1l2.2两条直线的交点直线l1：A1xB1yC10，
2、l2：A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解1一般地，与直线AxByC0平行的直线方程可设为AxBym0；与之垂直的直线方程可设为BxAyn0.2过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.二、几种距离1两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|.2点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.3两条平行线AxByC10与AxByC20(其中C1C2)间的距离d.点到直线与两平行线间的距离的使用条件：(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式(2)求两
3、平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等1过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是()Ax2y10Bx2y10C2xy20 Dx2y10【解析】所求直线与直线x2y20平行，所求直线的斜率为，又直线过(1,0)点，则直线方程为x2y10.【答案】A2已知点(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a等于()A.B2C.1D.1【解析】由题意知1，|a1|，又a0，a1.【答案】C3已知直线l1：(3m)x4y53m，l2：2x(5m)y8平行，则实数m的值为()A7 B1 C1或7 D.【解析】l1的斜率为，纵截距为，l2的斜率为，纵截距为.又l1l2，由
4、得，m28m70，解得m1或7.m1时，2，l1与l2重合，故舍去；m7时，4，符合题意，故选A.【答案】A4若直线x2y50与直线2xmy60互相垂直，则实数m_.【解析】直线x2y50与2xmy60互相垂直，1，m1.【答案】15(2009上海高考)已知直线l1：(k3)x(4k)y10，与l2：2(k3)x2y30平行，则k的值是()A1或3 B1或5 C3或5 D1或2【解析】当k3时，两直线平行，当k3时，由两直线平行，斜率相等，得：k3，解得：k5.【答案】C6(2009课标全国卷)若直线m被两平行线l1：xy10与l2：xy30所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是153045
5、6075其中正确答案的序号是_(写出所有正确答案的序号)【解析】两平行线间的距离为d，由图知直线m与l1的夹角为30，l1的倾斜角为45，所以直线m的倾斜角等于304575或453015.故填写.【答案】考向一 139两条直线的平行与垂直已知直线l1：xmy60，直线l2：(m2)x3y2m0，问当m为何值时，l1与l2：(1)相交？(2)垂直？(3)平行？(4)重合？【思路点拨】可用两直线相交、垂直、平行、重合的充分条件【尝试解答】(1)3m(m2)即m22m30，所以m3且m1.当m3且m1时，l1与l2相交(2)要使l1l2，只要1(m2)m30即m.当m时，l1l2.(3)要使l1l2
6、，只要当m1时，l1l2.(4)由(3)知，当m3时，l1与l2重合规律方法1在研究直线平行与垂直的位置关系时，如果所给直线方程含有字母系数时，要注意利用两直线平行与垂直的充要条件：(1)l1l2A1B2A2B10且A1C2A2C10(或B1C2B2C10)；(2)l1l2A1A2B1B20，这样可以避免对字母系数进行分类讨论，防止漏解与增根.对点训练(1)a1是直线yax1和直线y(a2)x1垂直的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件(2)已知直线xa2y60与直线(a2)x3ay2a0平行，则a的值为()A0或3或1 B0或3C3或1 D0或1【解析】(1
7、)由a(a2)1得a22a10，a1，故a1是直线yax1和直线y(a2)x1垂直的充要条件(2)由3a(a2)a20得a(a22a3)0，a1或0或3.检验当a0或1时两直线平行，当a3时两直线重合【答案】(1)C(2)D考向二 140两直线的交点与距离(1)求经过直线l1：3x2y10和l2：5x2y10的交点，且垂直于直线l3：3x5y60的直线l的方程(2)已知点P(2，1)，求过点P且与原点距离为2的直线l的方程；求过点P且与原点距离最大的直线l的方程，并求最大距离【思路点拨】(1)可先求出l1与l2的交点，再用点斜式；也可利用直线系方程求解(2)分直线斜率存在和不存在两种情况求解结
8、合图形分析lOP时满足条件【尝试解答】(1)法一先解方程组得l1、l2的交点坐标为(1,2)，再由l3的斜率求出l的斜率为，于是由直线的点斜式方程求出l：y2(x1)，即5x3y10.法二由于ll3，故l是直线系5x3yC0中的一条，而l过l1、l2的交点(1,2)，故5(1)32C0，由此求出C1，故l的方程为5x3y10.法三由于l过l1、l2的交点，故l是直线系3x2y1(5x2y1)0中的一条，将其整理，得(35)x(22)y(1)0，其斜率，解得，代入直线系方程即得l的方程为5x3y10.(2)若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x2满足条件若斜率存在，设l的方程为y1k(x2)，
9、即kxy2k10.由已知，得2，解得k.此时l的方程为3x4y100.综上，可得直线l的方程为x2或3x4y100.作图可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，如图由lOP，得klkOP1，所以kl2.由点斜式得y12(x2)，2xy50.直线2xy50是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为.规律方法2求点到直线距离的最值问题的方法：(1)直接利用点到直线的距离公式建立距离关于斜率k的代数关系式求解；(2)从几何中位置关系的角度，利用几何关系求解.在解决解析几何问题时，要善于发现其中包含的几何关系，充分利用几何性质进行求解.对点训练直线l经过点P(2，5)且与点A(3
10、，2)和点B(1,6)的距离之比为12，求直线l的方程【解】当直线l与x轴垂直时，此时l的方程为x2，A到l的距离为d11，B到l的距离为d23，不符合题意，故直线l的斜率必存在直线l过点P(2，5)，设直线l的方程为y5k(x2)，即kxy2k50.A(3，2)到直线l的距离d1，B(1,6)到直线l的距离d2.d1d212，k218k170，k11，k217.所求直线方程为xy30和17xy290.考向三 141对称问题光线由点P(1,3)射出，遇直线l：xy10反射，反射光线经过点Q(4，2)，求入射光线与反射光线所在的直线方程【思路点拨】根据镜面反射的原理，先求点P关于l的对称点P，则
11、直线PQ为反射光线所在直线，点Q关于l的对称点为Q，则PQ为入射光线所在直线【尝试解答】设P(1,3)关于直线xy10的对称点为P(x1，y1)，点Q(4，2)关于直线xy10的对称点为Q(x2，y2)所以P(4,0)同理有Q(1，5)这样，反射光线所在直线为PQ，斜率k1.直线方程为x4y40.入射光线所在直线为PQ，斜率k24，直线方程为4xy10.入射光线直线方程为4xy10，反射光线直线方程为x4y40.规律方法3(1)求点M(a，b)关于直线AxByC0(AB0)的对称点N的方法：,设N(x，y)，由求出x，y，即得点N的坐标.(2)两点关于点对称，两点关于直线对称的常见结论有：,点
12、(x，y)关于x轴、y轴、直线xy0、直线xy0及原点的对称点分别为(x，y)、(x，y)、(y，x)、(y，x)和(x，y).对点训练已知点A的坐标为(4,4)，直线l的方程为3xy20，求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线l关于点A的对称直线l的方程【解】(1)设点A的坐标为(x，y)，由题意可知解得x2，y6，A点的坐标为(2,6)(2)法一在直线l上任取一点P(x，y)，其关于点A(4,4)的对称点(8x,8y)必在直线l上，即3(8x)(8y)20，即3xy180，所以所求直线的方程为3xy180.法二由题意可知ll，设l的方程为3xyc0，由题意可知，解得c18或c
13、2(舍)，所以所求直线的方程为3xy180.易错易误之十六小视斜率不存在1个示范例1个防错练已知l1：3x2ay50，l2：(3a1)xay20.求使l1l2的a的值【解】法一当直线斜率不存在，即a0时，有l1：3x50，l2：x20，符合l1l2.当直线斜率存在时，l1l2，a，经检验，a符合题意故使l1l2的a的值为0或.法二由l1l23(a)(3a1)2a0，得a0或a，经检验，a0或a均符合题意，故使l1l2的a的值为0或.【防范措施】在讨论含参数的两条直线的位置关系时，一定不要忘记两条直线的斜率是否存在的情况，否则会出现漏解.已知直线l1：axy2a0，l2：(2a1)xaya0互相垂直，则实数a的值是_【解析】因为直线l1：axy2a0，l2：(2a1)xaya0互相垂直，故有a(2a1)a(1)0，可知a的值为0或1.【答案】0或1
