1、高考资源网（） 您身边的高考专家疱丁巧解牛知识巧学1.平面向量基本定理 平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2使a=1e1+2e2. 我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 对于平面向量基本定理应注意以下几点：(1)基底不唯一，关键是不共线；(2)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；(3)基底给定时，分解形式唯一,1，2是被a，e1，e2唯一确定的数量. 由平面向量基本定理知，平面内任意一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是唯一的.一个平面向量
2、用一组基底e1、e2表示成a=1e1+2e2的形式，我们称它为向量的分解.特别地，当e1、e2互相垂直时，就称为向量的正交分解.深化升华 对于一个平面内所有向量的基底必须是不共线的，对于一个平面向量，可以选择不同的基底，基底的选择不同，则对于同一个非零向量的表示也不同.由这个定理还可以看出，平面内任意一个向量都可以沿两个不共线的方向分解为两个向量的和.学法一得 当沿两个不共线的方向分解一个向量时，可对比于物理中力的分解.1e1+2e2叫做e1、e2的一个线性组合.由平面向量的基本定理知，若e1、e2不共线，那么由e1、e2的所有线性组合构成的集合1e1+2e2,1、2R就是平面内的全体向量，所
3、以我们把e1、e2叫做这一平面内所有向量的一组基底.平面向量基本定理虽然没有指出1、2的计算方法，但它却和平行向量、基本向量一起，深刻地揭示了平面向量的基本结构，是继续深入研究向量的基础.同时这个定理体现了化归的数学思想方法，在用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底化归，从而导致问题的解决.2.平面向量的坐标运算(1)平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系内，任意一点M可以用坐标来表示，当一个点M确定之后，也可以确定一个以原点为起点而以M为终点的向量.由于平移不改变向量的方向和大小，所以，所有向量都可以通过平移，把它的起点移到原点，此时向量的终点就对应一个坐标，我们把该点坐标称为该向量的坐
4、标.深化升华 由于向量是可以平移的，模相等方向相同的向量是相等的向量，平面内任一向量所对应的坐标是指把该向量的起点移至原点，终点所对应的坐标. 如图2-3-2，在直角坐标平面内，以原点O为起点作=a，则点A的位置由a唯一确定.图2-3-2 则向量的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示.联想发散 前面用有向线段来表示向量的几何特征，现在又用坐标将向量代数化，这样就达到了数与形的结合，为利用数形结合的思想方法解题奠定了基础. 一般地，对于向量a，当它的起点移至原点时，其终点坐标(x,y)称为向量
5、a的坐标.误区警示 一个向量对应唯一一个坐标，但是反过来，一个坐标可以对应无数个向量，这些向量是相等的.所以平面上的向量与它们坐标之间并非是一一对应的，例如，若点A不与原点重合，点B的坐标为(x,y)，则向量的坐标不是(x,y).只有以原点为起点的向量和坐标之间具有一一对应的关系. 当我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底时，任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj,特别地，i=(1,0)，j=(0,1)，0=(0,0).辨析比较 有了平面向量的坐标之后，要将点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标可
6、以不同，如A(0,1),B(2,3)，则=(2,2)；若C(1,2),D(3,4)，则=(2,2)，显然和是相等的向量，但A、B、C、D四点坐标各不相同.此外，向量和坐标之间是用“=”连接的，但点和坐标之间却无任何符号，比如“=(2,2)”和“A(0,1)”这些表示方法是正确的，但“(2,2)”和“A=(0,1)”这些表示方法却是错误的.联想发散 平面内任一向量所对应的坐标与该向量分别在x轴、y轴上的投影线段的长度有关.根据两条线段的投影长度,结合终点所在象限的符号,即可确定坐标.(2)平面向量的坐标运算 当向量用坐标表示时，向量的和、差及向量的数乘也都可以用相应的坐标来表示.若a=(x1,y
7、1),b=(x2,y2)， 则a+b=(x1+x2,y1+y2)，a-b=(x1-x2,y1-y2). 即两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.证明如下： 设基底为i、j，则a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j, 即a+b=(x1+x2,y1+y2)，同理可得a-b=(x1-x2,y1-y2).若a=(x,y)和实数，则a=(x,y). 即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.证明如下： 设基底为i、j，则a=(xi+yj)=xi+yj，即a=(x,y). 特别地，若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2
8、-x1,y2-y1). 一个向量的坐标等于该向量的终点坐标减去始点的坐标.这是因为：=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).记忆要诀 实数与向量积的坐标运算与实数与向量的积的分配律很类似.因此，可对比实数与向量的积的分配律进行记忆.深化升华 向量的坐标表示为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁,向量的坐标表示实际是向量的代数表示,使向量的运算完全代数化,为几何问题的解决又提供了一种崭新的方法.这是因为这样可以使很多几何问题的证明，转化为我们熟知的数量运算，这也是中学数学学习向量的重要目的之一.3.向量平行的坐标表示 设向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)(a0)
9、,如果ab，那么x1y2-x2y1=0;反过来，如果x1y2-x2y1=0，那么ab.证明：a=(x1,y1)，b=(x2,y2),因为a0，所以x1,y1不全为0，不妨设x10. 如果ab，则有b=a,得(x2,y2)=(x1,y1)消去，即可得x1y2-x2y1=0.但应注意消去时不能两式相除，这是因为y1,y2有可能为0. 由于x10，则=，代入即可. 反过来，如果x1y2-x2y1=0，由于x10，则有y2=y1， 则(x2,y2)=(x2,y1)=(x1,y1)，即有b=a，所以ab. 对于向量平行的坐标表示中x1y2-x2y1=0不能写成=，这是因为x1,x2有可能为0. 有了向量
10、平行的坐标表示,向量平行的条件有两种形式：ab(b0)误区警示 在定理中没有说明向量b是否是非零向量，a明确说明是非零向量，这是因为当向量b是零向量时，则存在=0使得b=a成立;而当a是零向量时，即使等式b=a成立，等式中的实数也唯一确定，定理不成立.典题热题知识点1 平面向量基本定理例1 如图2-3-3，不共线，=(tR),用,表示.图2-3-3思路分析：本题利用平面向量基本定理.解：,=+t()=(1-t)+.方法归纳 利用两个不共线的向量表示这两个向量所在平面内的任意一向量时，应把这些向量的起点平移到同一点，构造三角形，利用向量加、减法的三角形法则来处理问题.例2 设两非零向量e1和e2
11、不共线.(1)如果=e1+e2,=2e1+8e2,=3(e1-e2)，求证：A、B、D三点共线;(2)试确定实数k，使ke1+e2和e1+ke2共线.思路分析：要证明A、B、D三点共线，需证明存在,使=(e1+e2)即可.而若ke1+e2和e1+ke2共线，则一定存在，使ke1+e2=(e1+ke2).(1)证明：=e1+e2,=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=，、共线.又有公共点B，A、B、C三点共线.(2)解：ke1+e2和e1+ke2共线，存在使ke1+e2=(e1+ke2), 则(k-)e1=(k-1)e2,由于e1与e2不共线， 只能有 则k=1.方法归纳 本题是两
12、个向量共线的充要条件的应用，只需根据以其中某一点为起点，以另外两点为终点的向量a、b共线，则存在实数使得a=b(b0),然后利用待定系数法确定参数值.深化升华 由平面向量基本定理可以得到以下两条常用的性质：(1)设e1、e2是两个不共线的向量，若me1+ne2=se1+te2(m、n、s、t为实数)，则有(2)设e1、e2是两个不共线的向量，若me1=ne2,则有m=n=0.例3 如图2-3-4,设O为ABC内一点,PQBC,且=,=a,=b,=c,试求、.图2-3-4思路分析：根据条件，考虑用三角形法则求、，即由，再利用平面几何及向量知识求出、便可解决问题.解：由平面几何知识知APQABC，
13、且对应边之比为t，故=. 又A、P、B与A、Q、C分别共线，即知=,=，+=+()=a+(b-a)， 即=a+b.+()=a+(c-a)，即=a+c.方法归纳 利用三角形法则求某一向量时,选取第三个点时,应注意恰当性,如本题中,若采用,虽然也可求出、,但计算过程就显得复杂些.知识点2 平面向量的坐标运算例4 已知A(1,2),B(3,2)，向量a=(x+3,x2-3x-4)与向量相等，则x的值为_.思路解析：由于=(3，2)-(1，2)=(2，0)，a=(x+3,x2-3x-4)，则有解得x=-1.答案：-1误区警示 两个向量相等，则它们的横坐标与纵坐标分别相等.解这类题易出现只利用横坐标或纵
14、坐标相等来建立方程求解，从而导致错误，比如在本题中若只利用纵坐标相等，则可得x2-3x-4=0，解得x=-1或x=4，从而得出错误的结论.例5 (1)已知三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(x,y)的合力F1+F2+F3=0，求F3的坐标.(2)若M(3,-2),N(-5,-1)且=,求P点的坐标.思路分析：本题利用向量的坐标表示及向量的坐标运算.解：(1)由题设F1+F2+F3=0得(3,4)+(2,-5)+(x,y)=(0,0), 即F3=(-5,1).(2)设P(x,y),则(x-3,y+2)=(-8,1)=(-4,).P点坐标为(-1,-).深化升华 定义了向量的坐标后
15、，给向量的运算(加、减、向量的数乘)带来了方便，也为向量和代数建立起了联系的纽带.例6 (1)若向量a=(-1,x)与b=(-x,2)共线且方向相同，求x.(2)已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？思路分析：本题利用向量平行条件和运算及应用向量平行条件解决直线平行问题.解：(1)a=(-1,x)与b=(-x,2)共线,(-1)2-x(-x)=0.x=.a与b方向相同,x=.(2)=(1-(-1),3-(-1)=(2,4),=(2-1,7-5)=(1,2), 又22-41=0,. 又=(1-(-1),5-(-1)=(2,6),=
16、(2,4),24-260,与不平行.A、B、C不共线.AB与CD不重合.ABCD.方法归纳 当向量用坐标表示时，在解决与向量平行的有关问题时，一般利用坐标表示向量平行的条件.但如果涉及到方向问题时，要进一步进行检验.例7 已知点A(2，3)、B(5，4)、C(7，10)，若(R).(1)试求为何值时，点P在第一、三象限角平分线上.(2)试求为何值时，点P在第三象限.(3)四边形ABCP能是平行四边形吗？若能,求出相应的值;若不能,请说明理由.思路分析：本题利用平面向量的坐标运算以及向量的坐标与点坐标之间的关系.解：设P点坐标为(x,y)，则=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),=(5,
17、4)-(2,3)+(7,10)-(2,3)=(3,1)+(5,7)=(3+5,1+7). 由于(R), 所以(x-2,y-3)=(3+5,1+7). 所以即(1)若点P在第一、三象限角平分线上,则有5+5=4+7，解得=. 即当=时，点P在第一、三象限角平分线上.(2)若点P在第三象限内，则有 解得-1. 即当-1时，点P在第三象限.(3)由于=(7，10)-(5，4)=(2，6)，=(3+5,1+7)，若四边形ABCP是平行四边形，则应有此方程组无解，即不存在使，所以四边形ABCP不能是平行四边形.方法归纳 引进向量的坐标后,向量的基本运算转化为实数的基本运算,可以解方程,可以解不等式,总之
18、把问题转化为我们熟知的领域即可.误区警示 一个向量的坐标等于该向量的终点坐标减去起点坐标.而在进行向量的这种坐标运算时，容易混淆，易记成起点坐标减去终点坐标从而导致错误，例如本题中在求的坐标时，易出现=(2，3)-(x，y)=(2-x，3-y)的错误表示，从而导致本题的错解.深化升华 向量的坐标表示为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁,向量的坐标表示实际是向量的代数表示,使向量的运算完全代数化,为几何问题的解决又提供了一种崭新的方法.例8 如果向量=i-2j,=i+mj,其中i、j分别表示x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值使A、B、C三点共线.思路分析：本题利用向量平行的条件
19、解决三点共线的问题.解法一：由于A、B、C三点共线,即、共线，所以存在实数使=. 即i-2j=(i+mj)，由此可得所以m=-2.解法二：由于i=(1,0),j=(0,1)，则=i-2j=(1,0)-2(0,1)=(1,-2),=i+mj=(1,m)， 而、共线，所以有1m-1(-2)=0. 所以m=-2. 故当m=-2时，A、B、C三点共线.方法归纳 向量共线的几何表示和坐标表示形式不同但实质一样，在解决问题时要注意选择适当的方法来使用.例9 将向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系用v=f(u)表示.(1)证明对于任意向量a、b及常数m、n恒有f(ma+nb)=mf(a)+
20、nf(b)成立.(2)设a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐标.(3)求使f(c)=(p,q)(p,q为常数)的向量c的坐标.思路分析：为应用题设条件,必须将向量用坐标表示,通过坐标进行计算,从而使问题解决.(1)证明：设a=(a1,a2),b=(b1,b2), 则ma+nb=(ma1+nb1,ma2+nb2),f(ma+nb)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1),mf(a)+nf(b)=m(a2,2a2-a1)+n(b2,2b2-b1)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1).f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立.(2)解：
21、f(a)=(1,21-1)=(1,1);f(b)=(0,20-1)=(0,-1).(3)解：设c=(x,y),则f(c)=(y,2y-x)=(p,q),x=2p-q,即向量c=(2p-q,p).方法归纳 证明等式成立,可以从一边开始证得它等于另一边,也可证明左右两边等于同一式子,还可先证明一个式子成立,再推出要证明的式子成立.例10 已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？思路分析：本题利用向量共线的充要条件、共线的坐标表示及向量平行与直线平行的区别.解：=(1-(-1),3-(-1)=(2,4)，=(2-1,7-5)=(1,2)
22、， 又22-41=0，. 又=(1-(-1)，5-(-1)=(2,6)，=(2,4)，24-260，与不平行.A、B、C不共线.AB与CD不重合.ABCD.误区警示 向量平行不同于直线平行，向量平行可以共线也可以不共线，因此若向量与平行时，直线AB与CD可能平行也可能重合.例11 已知任意四边形ABCD中,E、F分别是AD、BC的中点.如图2-3-5所示,求证:=().图2-3-5思路分析：本题的证明方法比较多，可通过两个封闭图形得出，相加得出结论;也可以在平面内任选一点O，构成三角形，在三角形中利用向量加、减法的三角形法则找出关系式求解;也可以建立坐标系，利用向量的坐标运算求解.证法一:E、
23、F分别是AD、BC的中点,=0. 又, 两式相加得, 即=().证法二:如图2-3-6,在平面内任取一点O.图2-3-6E、F分别是AD、BC的中点,=()，=().=()+()=().=().证法三:建立直角坐标系,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4). 则=(x2-x1,y2-y1),=(x3-x4,y3-y4),()=(). 又E(,),F(,), 则=(-,-),=().深化升华 利用平面向量基本定理证题的关键是选好与求证的结论相关的一组基底.基底选好后，平面内的任一向量都可用这组基底表示出来.一对相反向量的和等于零向量.在进行向量的加减运算时，可设法
24、把向量转化成首尾相连的向量和的形式，有公共起点的向量的和差的形式等，以便于用向量的加减法法则去化简.问题探究材料信息探究材料：在高一物理学习中，我们学习过力的分解，一个力可以分解为平面内任意两个方向上的力.如图2-3-7，图2-3-7 拖拉机拉着耙，对耙的拉力是斜向上方的，我们可以说，这个力产生两个效果：使耙克服泥土的阻力前进，同时把耙向上提，使它不会插得太深.这两个效果相当于两个力分别产生的：一个水平的力F1使耙前进，一个竖直向上的力F2把耙上提，即力F可以用两个力F1和F2来代替，即力F被分解成两个力F1和F2.问题 利用你所学知识，能不能将上面的物理知识抽象为数学知识？这一数学知识有何作用？探究过程：由物理学知识可知力是矢量，它可以抽象为数学中的向量.因此物理学中力的分解可以抽象为数学中一个平面内的向量都可以分解为两个不共线的向量，即平面内任意一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是唯一的，因为其实际就是平面向量基本定理.这一定理是向量坐标表示的理论基础.同时这个定理体现了化归的数学思想方法，在用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底化归，从而导致问题的解决.探究结论:上面的物理知识可以抽象为数学中的平面向量基本定理，该定理是向量坐标化的理论基础，也是联系向量问题与几何问题的桥梁与纽带.高考资源网版权所有，侵权必究！