1、极坐标与参数方程1(2021年高考全国甲卷理科)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点【答案】（1）；（2）P的轨迹的参数方程为（为参数），C与没有公共点解析：（1）由曲线C的极坐标方程可得，将代入可得，即，即曲线C的直角坐标方程为；（2）设，设，则，即，故P的轨迹的参数方程为（为参数）曲线C的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为2，则圆心距为，两圆内含，故曲线C与没有公共点2(2021年高考全国乙卷理科)在直角坐标
2、系中，的圆心为，半径为1(1)写出的一个参数方程;(2)过点作的两条切线以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程【答案】（1），（为参数）；（2）或解析：（1）由题意，的普通方程为，所以参数方程为，（为参数）（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于1可得，解得，所以切线方程为或，将，代入化简得或3(2020年高考数学课标卷理科)在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为(1)当时，是什么曲线？(2)当时，求与的公共点的直角坐标【答案】（1）曲线表示以坐标原点为圆心，半径
3、为1的圆；（2）【解析】（1）当时，曲线的参数方程为为参数），两式平方相加得，所以曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）当时，曲线的参数方程为为参数）， 所以，曲线的参数方程化为为参数），两式相加得曲线方程为，得，平方得，曲线的极坐标方程为，曲线直角坐标方程为，联立方程，整理得，解得或（舍去），公共点的直角坐标为4(2020年高考数学课标卷理科)已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：(为参数)，C2：(t为参数)(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系设C1，C2交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程【答案】（1
4、）；（2）解析：（1）由得的普通方程为：；由得：，两式作差可得的普通方程为：（2）由得：，即；设所求圆圆心的直角坐标为，其中，则，解得：，所求圆的半径，所求圆的直角坐标方程为：，即，所求圆的极坐标方程为5(2020年高考数学课标卷理科)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数且t1)，C与坐标轴交于A、B两点(1)求；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程【答案】（1）（2）解析：（1）令，则，解得或（舍），则，即令，则，解得或（舍），则，即；（2）由（1）可知，则直线的方程为，即由可得，直线的极坐标方程为6(2019年高考数学课标卷理科)如图，
5、在极坐标系中，弧，所在圆的圆心分别是，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧(1)分别写出，的极坐标方程；(2)曲线由，构成，若点在上，且，求的极坐标【答案】(1),；(2)或或或7(2019年高考数学课标全国卷理科)在极坐标系中，为极点，点在曲线上，直线过点且与垂直，垂足为当时，求及的极坐标方程；当在上运动且在线段上时，求点轨迹的极坐标方程【答案】，的极坐标方程为；.【官方解析】因为在上，当时，.由已知得.设为上除的任意一点.在中，经检验，点在曲线上.所以，的极坐标方程为.设，在中， ，即.因为在线段上，且，故的取值范围是.所以，点轨迹的极坐标方程为 .【解析】因为点在曲线上，所以；即，所以，因为直线
6、过点且与垂直，所以直线的直角坐标方程为，即；因此，其极坐标方程为，即的极坐标方程为；设，则，由题意，所以，故，整理得，因为在线段上，在上运动，所以，所以，点轨迹的极坐标方程为，即.8(2019年高考数学课标全国卷理科)在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为(1)求和的直角坐标方程；(2)求上的点到距离的最小值【答案】解：（1）因为，且，所以的直角坐标方程为的直角坐标方程为（2）由（1）可设的参数方程为（为参数，）上的点到的距离为当时，取得最小值7，故上的点到距离的最小值为9(2018年高考数学课标卷（理）)【选修44：坐标系
7、与参数方程】(10分)在直角坐标系中，的参数方程为(为参数)，过点，且倾斜角为的直线与交两点(1)求的取值范围；(2)求中点的轨迹的参数方程解法1（1）的直角坐标方程为当时，与交于两点；当时，则的方程为与交于两点当且仅当，解得或，即或综上可知的取值范围为（2）的参数方程为（为参数，）设对应的参数分别为，则，且，满足于是，又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程是（为参数，）方法2（1）由的参数方程，消去参数，可得：当时，直线显然与：有两个交点当时，可设直线由直线与交两点，可得，解得，所以或又，且，所以或综上可知的取值范围为（2）法一：记，设，连结，则有所以，所以即即此外点必须在圆：内所以所以，即所
8、以中点的轨迹方程为所以中点的轨迹方程的参数方程为，（为参数，且）法二：可设，联立，消去，整理可得由根与系数的关系得，所以所以所以点的轨迹的参数方程为（其中为参数，且）10(2018年高考数学课标卷（理）)选修44：坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，直线的参数方程为(为参数)(1)求和的直角坐标方程；(2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率【答案】解析：（1）曲线的直角坐标方程为当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为（2）将的参数方程带入的直角坐标方程，整理得关于的方程因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以有两个解，设为，则又由得，故，于是直线
9、的斜率11(2018年高考数学课标卷（理）)选修44：坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系中，曲线的方程为以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为(1)求的直角坐标方程；(2)若与有且仅有三个公共点，求的方程【答案】解析：（1）由，得的直角坐标方程为（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线记轴右边的射线为，轴左边的射线为由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与
10、有两个公共点当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点综上，所求的方程为12(2017年高考数学新课标卷理科)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线l的参数方程为(1)若,求与的交点坐标;(2)若上的点到的距离的最大值为,求【解析】(1)曲线的普通方程为 当时,直线的普通方程为 由解得或 从而与的交点坐标为, (2)直线的普通方程为,故上的点到的距离为 当时,的最大值为由题设得,所以; 当时,的最大值为由题设得,所以 综上,或 13(2017年高考数学课标卷理科)在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数
11、)，直线的参数方程为(为参数)设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线(1)写出的普通方程；(2)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，为与的交点，求的极径（1）由直线的参数方程为（为参数），可得由直线的参数方程为（为参数），可得联立，的方程，消去参数可得：即当时，此时两直线没有交点所以曲线的普通方程为：（2）法一：将代入，可得曲线的极坐标方程为：联立曲线与的极坐标方程整理可得所以点的极径长为法二：将代入，可得联立方程故的直角坐标为，所以故点的极径为14(2017年高考数学课标卷理科)选修4-4：坐标系与参数方程(10分) 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系
12、，曲线的极坐标方程为(1)为曲线上的动点，点在线段上，且满足,求点的轨迹的直角坐标方程；(2)设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值【基本解法】（1）解法一：设点在极坐标下坐标为由可得点的坐标为，代入曲线的极坐标方程，得：，即，两边同乘以，化成直角坐标方程为：，由题意知，所以检验得解法二：设点在直角坐标系下坐标为，曲线的直角坐标方程为，因为三点共线，所以点的坐标为，代入条件得：，因为，化简得：（2）解法一：由（1）知曲线的极坐标方程为，故可设点坐标为，由得，即最大值为解法二：在直角坐标系中，点坐标为，直线的方程为设点点坐标，则点到直线的距离所以，又因为点坐标满足方程，由柯西不等式得：，即即
13、由得，解法三：前面同解法二，又因为点坐标满足方程，故可设的坐标，即15(2016高考数学课标卷理科)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.（1）写出的普通方程和的直角坐标方程;（2）设点在上,点在上,求的最小值及此时的直角坐标. 【解析】()的普通方程为,的直角坐标方程为.()由题意,可设点的直角坐标为,因为是直线,所以的最小值,即为到的距离的最小值,.当且仅当时,取得最小值,最小值为,此时的直角坐标为.16(2016高考数学课标卷理科)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直线
14、坐标系中，圆的方程为(1)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；(2)直线的参数方程是(为参数)，与交于两点，求的斜率方法1（1）由可得圆的极坐标方程（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为设所对应的极径分别为，将的极坐标方程代入的极坐标方程得于是，由得，所以的斜率为或方法2（1）由可知圆的极坐标方程为（2）记直线的斜率为，则直线的方程为，由垂径定理及点到直线距离公式知：，即，整理得，则17(2016高考数学课标卷理科)(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在直线坐标系中，曲线的参数方程为(为参数，)在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲
15、线（1）说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；（2）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在上，求解析：(I)消去参数得到的普通方程是以为圆心，为半径的圆将代入的普通方程中，得到的极坐标方程为(II)曲线，的公共点的极坐标满足方程组若，由方程组的由已知，可得从而，解得（舍去），当时，极点也为，的公共点，在上所以法2(I)（均为参数）为以为圆心，为半径的圆方程为即为的极坐标方程(II) 两边同乘得即：化为普通方程为由题意：和的公共方程所在直线即为得：，即为，18(2015高考数学新课标2理科)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线(为参数，)，其中，
16、在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线（1）求与交点的直角坐标；（2）若与相交于点，与相交于点，求的最大值【答案】（）和；（）解析：（）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为联立解得或所以与交点的直角坐标为和（）曲线的极坐标方程为，其中因此得到极坐标为，的极坐标为所以，当时，取得最大值，最大值为19(2015高考数学新课标1理科)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中。直线:，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。（1）求，的极坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积 【答案】（）,（）分析：（）用直角坐标方程与
17、极坐标互化公式即可求得，的极坐标方程；（）将将代入即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出的面积解析：（）因为，的极坐标方程为，的极坐标方程为5分 （）将代入，得，解得=，=，|MN|=，因为的半径为1，则的面积=20(2014高考数学课标2理科)(本小题满分10)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，（1）求C的参数方程；（2）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据()中你得到的参数方程，确定D的坐标解析：（）代入得又因为，所以，C的普通方程所以C的参数方程为（）设点D，由（）知曲线C是以为圆心，以为
18、半径的上半圆，C在D处的切线与直线垂直，则，所以D的坐标为21(2014高考数学课标1理科)选修44:坐标系与参数方程已知曲线:,直线:(为参数)(1)写出曲线的参数方程,直线的普通方程;(2)过曲线上任一点作与夹角为的直线,交于点,求的最大值与最小值【答案】解析:(1)曲线C的参数方程为: (为参数), 直线的普通方程为: (2)在曲线C上任意取一点到的距离为 , 则,其中为锐角且 当时,取得最大值,最大值为; 当时,取得最小值,最小值为 22(2013高考数学新课标2理科)选修44坐标系与参数方程已知动点都在曲线(为参数)上，对应参数分别为与，为的中点(1)求的轨迹的参数方程；(2)将到坐
19、标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点解析(1)依题意有，因此的轨迹的参数方程为 (为参数，)(2)点到坐标原点的距离当，d0，故的轨迹过坐标原点23(2013高考数学新课标1理科)选修44：坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为。（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标(0,02)。解析:将消去参数，化为普通方程，即：，将代入 得，的极坐标方程为；（）的普通方程为，由解得或，与的交点的极坐标分别为（），24(2012高考数学新课标理科)选修44：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程是为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程是，正方形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点的极坐标为(1)求点的直角坐标；(2)设为上任意一点，求的取值范围解析（1）点的极坐标为 点的直角坐标为 （2）设；则