1、基础达标1下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是()A1，B1，2，3，4，C1，D1，解析：选C根据定义，属于无穷数列的是选项A、B、C(用省略号)，属于递增数列的是选项C、D，故同时满足要求的是选项C2数列，的第10项是()A BC D解析：选C所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子很容易归纳出数列an的通项公式an(1)n1，故a10.3(2014湖南十二校联考)已知数列an的前n项和Sn满足：SnSmSnm(m，nN*)且a16，那么a10()A10 B60C6 D54解析：选C由SnSmSnm，得S1S9S10.又由于a10S1
2、0S9S1a16，故a106.4(2014陕西西安模拟)已知Sn是数列an的前n项和，SnSn1an1(nN*)，则此数列是()A递增数列 B递减数列C常数列 D摆动数列解析：选CSnSn1an1，当n2时，Sn1Snan.两式相减得anan1an1an，an0(n2)当n1时，a1(a1a2)a2，a10，an0(nN*)5已知数列an满足a133，an1an2n，则的最小值为()A BC10 D21解析：选B由已知条件可知：当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)33242(n1)n2n33，又n1时，a133适合，ann2n33.又n1，令f(n)n1，f(n)在1，5上
3、为减函数，f(n)在6，)上为增函数，又f(5)，f(6)，则f(5)f(6)，故f(n)的最小值为.6已知数列，则5是数列的第_项解析：易知数列的一个通项公式为an.令5，即，4n175，故n19.答案：197(2014天津六校第三次联考)数列an中，已知a11，a22，an1anan2(nN*)，则a7_解析：由已知an1anan2，a11，a22，能够计算出a31，a41，a52，a61，a71.答案：18(2014江苏连云港调研)在数列an中，已知a12，a23，当n2时，an1是anan1的个位数，则 a2 014_. 解析：数列an的前几项依次是2，3，6，8，8，4，2，8，6，
4、8，8，去掉前两项，构成一个周期为6的数列，2 014233562，a2 0148.答案：89已知anan1(n2)，a11.(1)写出这个数列的前5项；(2)由(1)中前5项推测数列的通项公式并证明解：(1)a11，a2a1，a3a2，a4a3，a5a4.(2)猜想an.证明如下：由已知得a2a1，a3a2，anan1，所以ana1.从而an112.10已知数列an的前n项和Sn2n12.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnanan1，求数列bn的通项公式解：(1)当n1时，a1S12222；当n2时，anSnSn12n12(2n2)2n12n2n；因为a1也适合此等式，所以an2n(n
5、N*)(2)因为bnanan1，且an2n，an12n1，所以bn2n2n132n.能力提升1(2014安徽池州一模)数列an的通项公式an2nsinncos，前n项和为Sn，则S2 015()A1 008 B1 008C2 015 D2 015解析：选Ban2nsinncosnsin.由函数ysinx的周期是4，且a11，a2200，a33(1)3，a4400，归纳可知数列an的每相邻四项之和是一个常数2，所以S2 015(2)1031 008.2对于数列an，“an1|an|(n1，2，)”是“an为递增数列”的()A必要不充分条件B充分不必要条件C必要条件D既不充分也不必要条件解析：选B
6、当an1|an|(n1，2，)时，|an|an，an1an，an为递增数列当an为递增数列时，若该数列为2，0，1，则a2|a1|不成立，即知：an1|an|(n1，2，)不一定成立综上知，“an1|an|(n1，2，)”是“an为递增数列”的充分不必要条件3(2014辽宁大连测试)数列an满足：a13a25a3(2n1)an(n1)3n13(nN*)，则数列an的通项公式an_解析：a13a25a3(2n3)an1(2n1)an(n1)3n13，把n换成n1得，a13a25a3(2n3)an1(n2)3n3，两式相减得an3n.答案：3n4下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式
7、是_解析：从题图中可观察星星的构成规律，n1时，有1个，n2时，有3个；n3时，有6个；n4时，有10个；an1234n.答案：an5已知数列an的前n项和Snn21，数列bn满足bn，且前n项和为Tn，设cnT2n1Tn.(1)求数列bn的通项公式；(2)判断数列cn的增减性解：(1)a12，anSnSn12n1(n2)，bn.(2)cnbn1bn2b2n1，cn1cn0，即cn1cn，cn是递减数列6(选做题)(2014江西重点中学联考)已知数列an中，a12，anan12n0(n2，nN*)(1)写出a2，a3的值(只写结果)，并求出数列an的通项公式；(2)设bn，若对任意的正整数n，当m1，1时，不等式t22mtbn(nN*)恒成立，求实数t的取值范围解：(1)a26，a312.当n2时，anan12n，an1an22(n1)，a3a223，a2a122，由累加法可知ana1(n2)(n1)，ann(n1)，经验证，当n1时，a1212也成立，则数列an的通项公式为ann(n1)，nN*.(2)，bn.令cn2n，则cn为递增数列，(bn)maxb1.当m1，1时，不等式t22mtbn(nN*)恒成立，即t22mt对m1，1恒成立，解得t(，2)(2，)