1、课堂探究探究一 简单的排列问题在“树形图”的操作中，先将元素按一定顺序排出，然后以安排哪个元素为首位为标准，进行分类，再在余下的元素中确定第二位并按顺序分类，依次一直进行到完成一个排列这样就能不重不漏地依照“树形图”写出所有的排列【典型例题1】(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成不同的两位数，一共可以组成多少个？(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列思路分析：解答时按顺序分步解决，然后利用树形图列出所有排列解：(1)由题意作树形图，如下故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个(2)由题意作树形图，如下
2、故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.规律总结 解决排列问题的步骤：(1)分清问题是否与元素的顺序有关，若与顺序有关，则是排列问题；(2)注意排列对元素或位置有无特殊要求；(3)借助排列数公式计算探究二 排列数公式(1)排列数的第一个公式An(n1)(n2)(nm1)适用于具体计算以及解当m较小时的含有排列数的方程和不等式；在运用该公式时要注意它的特点(2)排列数的第二个公式A适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具
3、体运用时，应注意先提取公因式，再计算，同时还要注意隐含条件“mn且mN*，nN*”的运用【典型例题2】(1)计算2AA；(2)计算；(3)求3A4A中的x.思路分析：(1)，(2)两题直接运用排列数的公式计算(3)用排列数的公式展开得方程，然后求解要注意x的取值范围，并检验根是否合理解：(1)2AA2432432172.(2).(3)原方程3A4A可化为，即，化简，得x219x780，解得x16，x213.由题意知解得x8.所以原方程的解为x6.规律总结 应用排列数公式时应注意以下几个方面：(1)准确展开：应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确(2)合理约分：若运算式是分式形式，则要先约
4、分后计算(3)合理组合：运算时要结合数据特点，应用乘法的交换律、结合律，进行数据的组合，可以提高运算的速度和准确性探究三 常见的排列问题涉及有约束条件的排列问题，首先考虑元素的排法或特殊位置上元素的选法，再考虑其他元素的位置(这种方法称为特殊元素法或特殊位置法)；或者，先求出无约束条件的排列数，再减去不符合条件的排列数(也叫做间接法或排除法)，这是解排列题的基本策略所谓“捆绑法”与“插空法”，实际上都是特殊元素(位置)特殊考虑的结果要求相邻的两个元素是特殊元素，先把这两个元素“捆绑”起来处理；要求不相邻的元素也是特殊元素，一般考虑用“插空法”【典型例题3】用0,1,2,3,4这五个数字，组成五
5、位数：(1)可组成多少个五位数？(2)可组成多少个无重复数字的五位数？(3)可组成多少个无重复数字的五位奇数？(4)若1和3相邻，则可组成多少个无重复数字的五位数？(5)若1和3不相邻，则可组成多少个无重复数字的五位数？(6)若1不在万位，2不在个位，则可组成多少个无重复数字的五位数？思路分析：该题目中的特殊元素为0，它不能放在首位(1)首位不为0，数字可以重复；(2)只需限制首位不为0；(3)限制末位是奇数，首位不是0；(4)把1,3看成整体进行排列；(5)可间接求，也可直接求，用插空法；(6)可从特殊位置或元素入手分析解：(1)各个数位上的数字允许重复，由分步计数原理得，共可组成45555
6、2 500个五位数(2)方法一：(优先考虑特殊位置)先排万位，从1,2,3,4中任取一个有A种方法，其余四个位置排四个数字共有A种方法，所以组成的无重复数字的五位数共有AA96(个)方法二：(优先考虑特殊元素)先排0，除首位之外的其他四个数位均可，有A种方法，其余四个数字全排，有A种方法故组成的无重复数字的五位数共有AA96(个)(3)(优先考虑特殊位置)先排个位，1和3均可，有A种方法然后从剩下的3个非0数中选一个排在万位，有A种方法，最后将剩下的3个数排在其他三个数位上，有A种方法故组成的无重复数字的五位奇数共有AAA36(个)(4)(捆绑法)若1和3相邻，则把1和3“捆绑”，看成一个整体
7、与0,2,4进行排列则共可组成无重复数字的五位数共有AAA36(个)(5)方法一：(间接法)由(2)，(4)两问可得，1和3不相邻时，共可组成无重复数字的五位数有963660(个)方法二：(插空法)先将0,2,4排好，再将1和3分别插入产生的4个空当中有AA72种排法，而当0在万位时，1,3分别插入2,4产生的3个空当中有AA12种排法所以1和3不相邻的无重复数字的五位数共有721260(个)(6)方法一：(间接法)无重复数字的所有五位数有96个，当1在万位时，有A种排法，当2在个位时，0又不能在万位，先把0排在中间三个位上，再排其余的3个数，有AA种排法，但这两种排法中都包括1在万位，2在个
8、位的排法，这种排法有A种，所以符合条件的五位数共有96AAAA60(个)方法二：(优先考虑特殊元素或位置)1排在个位时，0不能在万位，有AA18种排法1不在个位且不在万位时，先排1，有A种方法，再排剩下的数分两类一类是当2在万位时，有A种方法，另一类是2不在万位，有AAA种排法，所以1不在个位且不在万位时，有A(AAAA)42种排法，所以1不在万位，2不在个位时，共可组成无重复数字的五位数184260(个)规律总结 (1)排列问题的限制条件一般包括某些元素不能在某个位置，某个位置只能放某些元素等要先处理特殊元素或先处理特殊位置，再去排其他元素当用直接法比较麻烦时，可以先不考虑限制条件，把所有的
9、排列数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，这种方法也称为“去杂法”，但必须注意要不重复，不遗漏(2)对于某些特殊问题，可采取相对固定的特殊方法，如相邻问题，可用“捆绑法”，即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列，再进行内部排列；不相邻问题，则用“插空法”，即先排其他元素，再将不相邻元素排入形成的空位中(3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决探究四 易错辨析易错点重复排列【典型例题4】6个人站成前后三排，每排2人，有多少种不同的排法？错解一：分步完成，先安排第一排的2人，有A种排法；再安排中间一排的2人，有A种排法；余下的2人排在最后一排由分步乘法计数原理，共有AA360种不同排法错解二：分步完成，先安排第一排的2人，有A种排法；再安排中间一排的2人，有A种排法；最后安排余下的2人，有A种排法因为排在第一排，中间一排和最后一排不同，所以三排再排列，有A种排法由分步乘法计数原理，有AAAA4 320种不同排法错因分析：错解一的解答错在第3步，余下的2人还要去排最后一排的2个不同位置错解二的解答错在前三步已经分清了三排，不需要再排列了正解一：6个人站成前后三排，每排2人，分3步完成，不同的排法共有AAA720(种)正解二：此问题可看作将排成的三排“拉直”，实际上就是将6人排成一排的问题故共有A720种不同排法