1、第12章 复数121 复数的概念基础认知自主学习【概念认知】1复数的概念形如abi(a，bR)的数叫作复数，其中i叫作_，满足i2 _；复数通常用字母z表示，即zabi(a，bR)，其中a与b分别叫作复数z的_与_虚数单位1实部虚部2复数的分类(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示3复数相等的充要条件在复数集Cabi|a，bR中任取两个数abi，cdi(a，b，c，dR)，我们规定：abi与cdi相等当且仅当_且_acbd【自我小测】1(1 3)i 的实部与虚部分别是()A1，3 B1 3，0C0，1 3D0，(1 3)i【解析】选 C.(1 3)i 可看作 0(1 3)ia
2、bi，所以实部 a0，虚部 b1 3.2如果(xy)ix1，则实数 x，y 的值分别为()Ax1，y1 Bx0，y1Cx1，y0 Dx0，y0【解析】选 A.因为(xy)ix1，所以xy0，x10，所以 x1，y1.3若 xii2y2i，x，yR，则复数 xyi()A2i B2iC12i D12i【解析】选 B.由 i21，得 xii21xi，则由题意得 1xiy2i，根据复数相等的充要条件得 x2，y1，故 xyi2i.4下列命题：若 aR，则(a1)i 是纯虚数；若(x21)(x23x2)i(xR)是纯虚数，则 x1；两个复数不能比较大小其中错误命题的序号是_【解析】当 a1 时，(a1)
3、i0，故错误；若(x21)(x23x2)i 是纯虚数，则x210，x23x20，即 x1，故错；两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，中忽视了这一特殊情况，故错答案：5已知 x2ix62i5x，若 xR，则 x_；若 xC，则 x_【解析】当 xR 时，由复数相等的充要条件得x25x60，x2，解得 x2；当 xC 时，令 xabi(a，bR)，则有a2b2b65a，2aba25b.解得a2，b0或a3，b1.所以 x2 或 x3i.答案：2 3i 或 26实数 x 取什么值时，复数 zx2x6(x22x15)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数【解析】(1)当 x22x150，即
4、 x3 或 x5 时，复数 z 为实数；(2)当 x22x150，即 x3 且 x5 时，复数 z 为虚数；(3)当 x2x60 且 x22x150，即 x2 时，复数 z 是纯虚数学情诊断课时测评【基础全面练】一、单选题1设 a，bR，i 是虚数单位，则“ab0”是“复数 abi 为纯虚数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解析】选 B.abi 为纯虚数，则 a0，b0，此时 ab0；反之 ab0 不能得出 a0，b0.所以“ab0”是“复数 abi 为纯虚数”的必要不充分条件2若 a，bR,且 ab，那么()Aaibi BaibiCai2bi2Db
5、i2ai2【解析】选 D.虚数不能比较大小，故 A，B 错；因为 i21，ab，所以 ai2bi2，故 C 错 D 对3如果 zm(m1)(m21)i 为纯虚数，则实数 m 的值为()A1 B0C1 D1 或 1【解析】选 B.由题意知m（m1）0，m210，解得 m0.二、填空题4以 5 i 5 的虚部为实部，以 8i2 2 i 的实部为虚部的复数是_【解析】5 i 5 的虚部为 5，8i2 2 i8 2 i 的实部为8.答案：5 8i5满足方程x22x3(9y26y1)i0的实数对(x，y)表示的点的个数为_【解析】由题意知x22x30，9y26y10，解得x3，y13或x1，y13所以实
6、数对(x，y)表示的点有3，13，1，13，共有 2 个答案：2三、解答题6已知复数 z(m23m2)(m2m6)i，则当实数 m 为何值时，复数 z(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数【解析】(1)当 m2m60，即 m3 或 m2 时，z 为实数(2)当 m2m60，即 m2 且 m3 时，z 是虚数(3)当m23m20，m2m60，即 m1 时，z 是纯虚数【综合突破练】一、选择题1已知关于 x 的方程 x2(m2i)x22i0(mR)有实根 n，且 zmni，则复数 z()A3i B3iC3i D3i【解析】选 B.由题意，知 n2(m2i)n22i0，即 n2mn2(2n2)i
7、0，所以n2mn20，2n20，解得m3，n1，所以 z3i.2已知复数 zxyix，yR，则()Az20Bz 的虚部是 yiC若 z12i，则 x1，y2Dz 为实数时，xy0【解析】选 C.对于 A 选项，取 zi，则 z210 恒成立，所以(a21)i 是纯虚数，故 B 正确；若 a0，则 ai 不是纯虚数，故 C 错误；m4 时，复数 lg(m22m7)(m25m6)i42i 是纯虚数，故 D 正确二、填空题5若 log2(x23x2)ilog2(x22x1)1，则实数 x 的值是_【思路导引】复数值大于 1，则复数必为实数，即虚部为 0，实部大于 1.【解析】因为 log2(x23x
8、2)ilog2(x22x1)1，所以log2（x23x2）1，log2（x22x1）0，即x23x22，x22x11，解得 x2.答案：26复数 zcos 2isin 2，且 2，2，若 z 是实数，则 的值为_；若 z 为纯虚数，则 的值为_【解析】zcos 2isin 2sin icos.当 z 是实数时，cos 0，因为 2，2，所以 2；当 z 为纯虚数时sin 0，cos 0，又 2，2，所以 0.答案：2 0三、解答题7已知集合 M(a3)(b21)i，8，集合 N3i，(a21)(b2)i，且 MNM，MN，求整数 a，b 的值【解析】若 MN3i，则(a3)(b21)i3i，即 a30 且 b213，即 a3，b2.当 a3，b2 时，M3i，8，N3i，8，MNM，不合题意，舍去；当 a3，b2 时，M3i，8，N3i，84i，符合题意，所以 a3，b2.若 MN8，则 8(a21)(b2)i，即 a218 且 b20，得 a3，b2.当 a3，b2 时，不合题意，舍去；当 a3，b2 时，M63i，8，N3i，8，符合题意所以 a3，b2.若 MN(a3)(b21)i(a21)(b2)i，则a3a21，b21b2，即a2a40，b2b30，此方程组无整数解综上可得 a3，b2 或 a3，b2.