1、54.3正切函数的性质与图象考点学习目标核心素养正切函数的定义域与值域掌握正切函数的定义域、值域数学抽象正切函数的单调性及应用会利用正切函数图象研究其单调性，并利用单调性解决其相应问题直观想象、逻辑推理正切函数的周期性与奇偶性掌握正切函数的周期性及奇偶性逻辑推理、数学运算 问题导学预习教材P209P212，并思考以下问题：1如何借助单位圆画正切函数图象？2正切函数的性质与正弦函数性质有何不同？3正切函数在定义域内是不是单调函数？函数ytan x的图象与性质解析式ytan x图象定义域值域R最小正周期奇偶性奇函数单调性在开区间(kZ)上都是增函数对称性对称中心(kZ)名师点拨(1)正切函数在每一
2、个开区间(kZ)内是增函数不能说函数在其定义域内是单调递增函数，无单调递减区间(2)画正切函数图象常用三点两线法：“三点”是指(，1)，(0，0)，(，1)，“两线”是指x和x，大致画出正切函数在(，)上的简图后向左、向右扩展即得正切曲线 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)正切函数的定义域和值域都是R.()(2)正切函数在整个定义域上是增函数()(3)正切函数在定义域内无最大值和最小值()(4)存在某个区间，使正切函数为减函数()答案：(1)(2)(3)(4) 函数f(x)tan的定义域是()A.Bx|xR，xk，kZC.D.答案：D 函数ytan的最小正周期为()A.BC2 D3答
3、案：A 函数f(x)tan x在，上的最小值为_答案： 函数ytan的单调递增区间是_答案：(k，k)，kZ正切函数的定义域、值域 (1)函数 ytan(2x)的定义域是_(2)函数ytan2x4tan x1的值域是_【解析】(1)因为 2xk(kZ)x(kZ)，所以定义域为x(2)令ttan x，则tR，故yt24t1(t2)255，所求的值域为5，)【答案】(1)(2)5，)求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数ytan x有意义，即xk，kZ.求正切型函数yAtan(x)(A0，0)的定义域时，要将“x”视为一个“整体
4、”令xk，kZ，解得x.(2)求正切函数值域的方法对于yAtan(x)的值域，可以把x看成整体，结合图象，利用单调性求值域对于与ytan x相关的二次函数，可以把tan x看成整体，利用配方法求值域 1函数y3tan(x)，x的值域为_解析：函数y3tan(x)3tan x，因为正切函数在(，上是增函数，所以3y，所以值域为(3，答案：(3，2函数ylg(tan x)的定义域为_解析：因为tan x0，所以tan x.又因为tan x时，xk(kZ)，根据正切函数图象，得kxk(kZ)答案：正切函数的单调性及其应用 (1)求ytan的单调区间(2)比较tan 与tan的大小【解】(1)由题意，
5、kxk，kZ，即kxk，kZ，所以2kx2k，kZ，故单调递增区间为(kZ)(2)tan tantan ，tantan tantantan ，因为，ytan x在上单调递增，所以tan tan ，即tan tan.(变条件)本例(1)中函数变为ytan(x)，求该函数的单调区间解：ytan(x)tan(x)，由kxk，kZ，得2kx2k，kZ，所以函数ytan(x)的单调递减区间是(2k，2k)，kZ.(1)运用正切函数单调性比较大小的方法运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内运用单调性比较大小关系(2)求函数yAtan(x)(A，都是常数)的单调区间的方法若0，由于ytan x在每
6、一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kxk，kZ，解得x的范围即可若0，可利用诱导公式先把yAtan(x)转化为yAtan(x)Atan(x)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可 1函数 f(x)tan的单调递增区间为()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ解析：选 A由 kxk(kZ)得 2kx2k(kZ)故 f(x)的单调递增区间为(kZ)2函数ytan，x的值域是_解析：因为x，所以，所以tan(1，)答案：(1，)正切函数奇偶性和周期性的应用 画出函数y|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性【解】由y|tan
7、x|，得y其图象如图所示由图象可知，函数y|tan x|是偶函数，单调递增区间为(kZ)，单调递减区间为(k，k(kZ)，周期为.正切型函数的周期性、奇偶性问题的解题策略(1)一般地，函数yAtan(x)的最小正周期为T，常常利用此公式来求周期(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(x)与f(x)的关系 已知函数ytan(x)(0)的周期为，求该函数的定义域、值域，并判断奇偶性解：ytan(x)(0)的周期为，解得2或2.因为0，所以2，故ytan(2x)tan(2x)由2xk(kZ)，解得x(kZ)，所以该函数的定义域为x
8、|x，kZ，值域为R.由于该函数的定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数1函数f(x)|tan 2x|是()A周期为的奇函数B周期为的偶函数C周期为的奇函数D周期为的偶函数解析：选D.f(x)|tan(2x)|tan 2x|f(x)为偶函数，T.2比较大小：tan _tan.解析：因为tantan，tantan ，又 0，ytan x在内单调递增，所以 tantan，即 tantan.答案：3求函数ytan(3x)的定义域、周期，并指出它的单调区间解：要使函数有意义，自变量x的取值应满足3xk(kZ)，得x(kZ)，所以函数的定义域为x|x，kZ函数的周期T.令k3xk(kZ
9、)，即x1 成立的 x 的取值范围为()A. B.C. D.解析：选 D因为 x(0，2)，由正切函数的图象，可得使 tan x1 成立的 x 的取值范围为.6函数ytan(6x)的定义域为_解析：由6xk(kZ)，得x(kZ)答案：x|x，kZ7函数ytan()，x(0，)的值域是_解析：因为0x，则，所以1tan().答案：(1，)8函数 f(x)tan的单调减区间为_解析：因为 f(x)tantan，所以原题即求函数 ytan的单调增区间由 kxk，kZ，得 kxk，kZ，即函数 f(x)tan 的单调减区间为，kZ.答案：，kZ9求函数ytan 2x的定义域、值域、周期、奇偶性和单调区
10、间解：设t2x，(1)定义域：ytan 2xtan t，要使函数ytan t有意义，必须且只需tk，kZ，即2xk，kZ，所以x，kZ.所以函数ytan 2x的定义域为x|x，kZ(2)值域：由tk，kZ知ytan t的值域为(，)，即ytan 2x的值域为(，)(3)周期：(定义法)由tan 2(x)tan(2x)tan 2x，所以ytan 2x的周期为.(公式法)正切函数ytan 2x的周期T.(4)奇偶性：定义域关于原点对称令yf(x)tan 2x，则f(x)满足：f(x)tan(2x)tan 2xf(x)，所以ytan 2x为奇函数(5)单调区间：ytan t的单调递增区间为(k，k)
11、，kZ，所以ytan 2x的单调递增区间为(，)，kZ.10比较下列两个正切值的大小：(1)tan 167，tan 173；(2)tan，tan.解：(1)因为90167173180，ytan x在(90，180)上为增函数，所以tan 167tan 173.(2)因为tantan，tantan，且0，ytan x在上为增函数，所以tantan，即tantan. B能力提升11已知函数ytan x在内是减函数，则()A01 B10C1 D1解析：选B.因为ytan x在内是减函数，所以0且T.所以|1，即10.12函数ytan满足下列哪些条件_(填序号)在上单调递增；为奇函数；以为最小正周期；
12、定义域为.解析：令x，则，所以ytan在上单调递增正确；tantan，故ytan为奇函数；T2，所以不正确；由k，kZ，得x2k，kZ，所以不正确答案：13画出函数y|tan x|tan x的图象，并根据图象求出函数的定义域、值域、单调区间、最小正周期解：因为y|tan x|tan x所以画出函数y|tan x|tan x的图象，如图所示：则该函数的定义域是，值域是0，)，单调递增区间是k，k)，kZ，最小正周期是.14设函数 f(x)tan.(1)求函数的定义域、最小正周期和单调区间(2)求不等式 f(x) 的解集解：(1)根据函数 f(x)tan，可得k，kZ，得 x2k，kZ.故函数的定义域为.它的最小正周期为2.令 kk，kZ，得 2kx2k，kZ.故函数的增区间为，kZ.(2)求不等式 f(x) ，即 tan ，所以 kk，kZ，求得 2kx2k，kZ，故不等式的解集为，kZ. C拓展探究15设函数y10tan(2k1)，kN*.当x在任意两个连续整数间(包括整数本身)变化时至少有两次失去意义，求k的最小正整数值解：由题意可得，当x在任意两个连续整数间(包括整数本身)变化时，至少包含函数的2个周期，故函数的最小正周期T满足T，即，求得k，故k的最小正整数值为17.
