1、浙江省杭州二中2020届高三数学上学期返校考试试题（含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合Ax|x1或x0，Bx|1x2，则AB（ ）A. x|0x2B. x|x2C. x|x0D. R【答案】D【解析】【分析】根据并集定义可直接求解得到结果.【详解】由或,，则由并集的定义可知,.故选：.【点睛】本题考查集合运算中的并集运算,属于基础题,难度容易.2.双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】已知双曲线方程，找出方程中，代入离心率的公式即可.【详解】因为双曲线，所以，因为，所以离心率
2、.故选：C.【点睛】本题主要考查了双曲线方程的离心率，属于基础题.3. 函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（ ）A. ab=0B. a+b=0C. a=bD. =0【答案】D【解析】考点：函数奇偶性的判断；必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：计算题分析：利用奇函数的定义“函数y=f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有xD，且f（-x）=-f（x），则这个函数叫做奇函数”建立恒等式，求出a、b的值即可解答：解：根据奇函数的定义可知f（-x）=-x|a-x|+b=-f（x）=-x|x+a|-b对任意x恒成立a=0，b=0，故选D点评：本题主要考查了函数奇偶性的判断，
3、以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题4.已知直线n与平面，若n，则“n”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析】根据课本的面面垂直的判定得到若“n，n，则“”， 若n，则n不一定垂直，进而得到答案.【详解】若“n，n，则“”， 若n，则n不一定垂直，也可能平行， 故n”是“”的充分不必要条件 故选A【点睛】这个题目考查了充分不必要条件的判断，判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命
4、题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系5.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体的侧面积为（ ）A. B. C. D. 6【答案】C【解析】【分析】判断几何体的图形，利用三视图的数据求解各侧面面积,求和即可.【详解】由三视图可知几何体是一条侧棱与底面垂直，底面是正方形，四棱锥的高为，底面正方形的对角线的长为,四棱锥的个侧面面积分别为：.所以侧面面积为:.故选:.【点睛】本题考查三视图推出几何体的判断,几何
5、体的侧面积的求法注意视图的应用,难度较易.6.设，且满足，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先利用正弦的两角和公式化简已知等式，求得+=，把sin转换为cos，利用两角和公式化简，根据的范围求得sin+sin的范围即可【详解】sincos+sincos=sin(+)=1,，+=，=，可判断出0，0,，故选：D.【点睛】本题考查两角和与差的正弦函数，掌握并灵活应用公式是解题的关键，属于中等题.7.已知定义在R上的函数f（x）满足f（2x）为奇函数，函数f（x+3）关于直线x1对称，则下列式子一定成立的是（ ）A. f（x2）f（x）B. f（x2）f（x+6）
6、C. f（x2）f（x+2）1D. f（x）+f（x+1）0【答案】B【解析】【分析】直接利用函数的奇偶性,以及函数的对称性,求出,得到结果即可【详解】令,为奇函数，,即，即的图象关于点对称，令图象关于直线对称，即，即的图象关于直线对称，用换表达式中的,可得，又，即，用换表达式中的,则，函数周期为8，故选:.【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性,函数图象的对称性,属于基础题,难度较易.8.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段AA1上的一个动点，F为线段B1C1上的一个动点，则平面EFB与底面ABCD所成的锐二面角的平面角余弦值的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析
7、】【分析】设面与底面所成的二面角的平面角为，设边长为,建立直角坐标系，设可求得平面的一个法向量为,而底面的一个法向量为,由,化简讨论即可求得范围.【详解】设面与底面所成的二面角的平面角为，如图所示，建立直角坐标系，设平面的一个法向量为,则取,而底面的一个法向量为,则,结合选项，当时, ，当时, ,时，取到，故.故选:.【点睛】本题主要考查在空间直角坐标系中二面角的求法，考查学生的转化能力和计算求解能力.难度一般.9.已知向量，满足，当，的夹角最大时，则（ ）A. 0B. 2C. D. 4【答案】D【解析】分析】先建系, 设,再结合平面向量数量积的坐标及运算性质,将，的夹角最大转化为直线与抛物线
8、相切,利用求出,即可,即可解得所求.【详解】设,因为,所以,即,为点的轨迹方程.由上图易知,当直线与抛物线相切时,的夹角最大.令,由消去得.所以,即点或时，即或时，的夹角最大.此时，.故选:.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算,考查转化与化归思想, ,将，的夹角最大转化为直线与抛物线相切,考查数形结合的解题思想,难度一般.10.已知r，s，t为整数，集合Aa|a2r+2s+2t，0rst中的数从小到大排列，组成数列an，如a17，a211，a121（ ）A. 515B. 896C. 1027D. 1792【答案】C【解析】【分析】（1）由于为整数且，下面对进行分类讨论:最小取2时，符合条
9、件同理可得,，时符合条件的的个数，最后利用加法原理计算即得【详解】为整数且最小取,此时符合条件的数有,当时,可在0,1,2中取,符合条件有的数有所以,同理 时,符合条件有的数有,时,符合条件有的数有,且,是的最小值,即时,.故选:.【点睛】本题考查组合及组合数公式,有理数指数幂的运算性质,数列的概念及简单表示法,难度较难.二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11.成书于公元一世纪的我国经典数学著作九章算术中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题，题目是：“今有池方一丈，点生其中央，出水一尺，引葭赶岸，适马岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一
10、丈（10尺），有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有1尺长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到沿岸（池塘一边的中点），则水深为_尺，芦苇长_尺.【答案】 (1). 12 (2). 13【解析】【分析】把问题转化为如图的数学几何图形，根据题意，可知EB的长为10尺，则BC=5尺，设出AB=AB=x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出方程的解即可得到芦苇的长和水深【详解】依题意画出图形,设芦苇长AB=AB=x尺,则水深AC=(x1)尺，BE=10尺,BC=5尺，在RtABC中,52+(x1)2=x2，解得x=13(尺)，水深为12尺，芦苇长为13尺.故答案为：12，13.【点睛】本题考查点、线、面
11、间的距离计算，将实际问题转化为几何问题，考查转化思想与数形结合思想的应用，属于中等题.12.已知实数x，y满足，则z4x+y的最小值是_【答案】5【解析】【分析】首先画出题中所给的约束条件对应的可行域,化目标函数所对应的直线方程,数形结合得到最优解,联立方程组求解的坐标,代入目标函数得答案.【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图所示:目标函数z4x+y可化为4x+y0，平移直线4x+y0知，当直线过点A时，z取得最小值；由，解得A（1，1）所以目标函数z4x+y的最小值是zmin41+15故答案为:.【点睛】本题主要考查线性规划的应用,结合图形并利用目标函数的几何意义,是解决此类问题的常用方
12、法,难度较易.13.在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，b1，c2acosB，则a_；cosA_【答案】 (1). 1 (2). 【解析】【分析】首先根据已知和余弦定理化简可得,则由,可得,利用展开计算即可解得.【详解】在ABC中，c2acosB2a，整理可得：ab，又b1，a1，A，cosAcoscos（）（）故答案为:.【点睛】本题考查余弦定理,和角的三角函数值计算,难度一般.14.中，则的取值范围是_，的取值范围是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据题意利用正弦定理可建立与角B的关系，求出B的范围即可得范围，利用向量数量积运算及正弦定理进行边角转化，
13、转化为只与角B有关的关系式，根据B的范围即可求解【详解】在中，则，由正弦定理可得：，由A+B+C=，可得3B+C=，即，又角B为三角形内角，所以，所以，由正弦定理可得：，所以可得，故答案为：，.【点睛】本题考查正弦定理的应用，涉及三角形边角转化，和差公式、二倍角公式，向量的数量及运算等知识，属于中等题。15.已知等比数列an满足首项a12018，公比，用表示该数列的前n项之积，则取到最大值时，n的值为_【答案】12【解析】【分析】根据等比数列的通项公式和题意求出，进而得到分析的正负,对比可得取最大值时的值【详解】等比数列an满足首项a12018，公比，2018（）n1，|an|2018（）n1
14、，an中奇数项是正数，偶数项是负数，a102018（）9，a112018（）10，用表示该数列的前n项之积，则取到最大值时，n的值为12故答案为:.【点睛】本题考查等比数列通项公式和性质,难度较难.16.已知，函数在区间1,4上的最大值是5，则a的取值范围是_【答案】【解析】，分类讨论：当时，函数的最大值，舍去；当时，此时命题成立；当时，则：或，解得：或综上可得，实数的取值范围是【名师点睛】本题利用基本不等式，由，得，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：；，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论17.已知抛物线yx2和点P（0，1），
15、若过某点C可作抛物线的两条切线，切点分别是A，B，且满足，则ABC的面积为_【答案】【解析】【分析】由可得,则有直线恒过定点,设直线方程与抛物线方程联立,即可解得弦的长,对抛物线方程求导,求得切线方程的斜率,可求得切线方程,进而解得点坐标,利用点到直线的距离公式,三角形面积公式,即可解得所求.【详解】，则3（2（），2，故直线AB过点P，且AP2PB故设直线AB：ykx+1，A（x1，y1），b（x2，y2）联立可得x2kx10，则x1x21，x1+x2k由AP2PB可得x1+2x20可得k，AB由导数y2x，可得过A，B的切线分别为y+y12x1x，y+y22x2x，联立切线方程可得C（，1
16、）C到ykx+1的距离d则ABC的面积为S故答案为: .【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题, 恒过定点的直线,求三角形面积问题,难度较难.三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18.已知函数（）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；（）将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求g（x）在区间上的值域【答案】（）最小正周期，（kZ）（）0，3【解析】【分析】()先用降幂公式,辅助角公式将化简,然后求得最小正周期和单调减区间;()先通过平移得到的解析式,由x,可计算得到,结合余弦函数的图象和单调性,可得解.【详解】（）函数1cos（2x
17、）所以函数的最小正周期为，令（kZ），整理得（kZ），所以函数的单调递减区间为（kZ）（）将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）2cos（2x）+1的图象，由于x，所以，故，所以0g（x）3，故函数值域为0，3【点睛】本题考查了三角函数的性质综合,考查了学生综合分析,转化化归,数学运算的能力,难度较易.19.如图，四棱锥PABCD的底面是梯形BCAD，ABBCCD1，AD2，（）证明；ACBP；（）求直线AD与平面APC所成角的正弦值【答案】（）见解析（）【解析】【分析】(I)取的中点,连接,通过证明平面得出;(II)以为原点建立坐标系，求出平面的法向量，通过计算与的夹角得出与平
18、面所成角【详解】（I）证明：取AC的中点M，连接PM，BM，ABBC，PAPC，ACBM，ACPM，又BMPMM，AC平面PBM，BP平面PBM，ACBP（II）解：底面ABCD是梯形BCAD，ABBCCD1，AD2，ABC120，ABBC1，AC，BM，ACCD，又ACBM，BMCDPAPC，CM，PM，PB，cosBMP，PMB120，以M为原点，以MB，MC的方向为x轴，y轴的正方向，以平面ABCD在M处的垂线为z轴建立坐标系Mxyz，如图所示：则A（0，0），C（0，0），P（，0，），D（1，0），（1，0），（0，0），（，），设平面ACP的法向量为（x，y，z），则，即，令x得（
19、，0，1），cos，直线AD与平面APC所成角的正弦值为|cos，|【点睛】本题考查异面直线垂直的证明,考查直线与平面所成角的正弦值的求法,解题时要认真审题,注意向量法的合理使用,难度一般.20.已知等比数列an的前n项和为Sn，且a1+a330，2S2是3S1和S3的等差中项（）求数列an的通项公式；（）设数列bn满足，求数列bn前n项和Tn【答案】（）an3n，nN*；（）Tn2（n+2）（）n【解析】【分析】()由,是和的等差中项,可得,化简,利用等比数列的通项公式即可得出.()由化简可得,再利用错位相减法即可求出.【详解】（）等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，且a1+a330，2
20、S2是3S1和S3的等差中项可得a1+a1q230，4S23S1+S3，即有4（a1+a1q）3a1+a1+a1q+a1q2，解得a1q3，则an3n，nN*；（）（2n+1）（）n，前n项和Tn357（2n+1）（）n，Tn357（2n+1）（）n+1，相减可得Tn1+2（）n）（2n+1）（）n+11+2（2n+1）（）n+1，化简可得Tn2（n+2）（）n【点睛】本题考查了错位相减法在数列求和中的运用,考查了等比数列的通项公式,难度一般.21.在平面直角坐标系xOy中，点F是椭圆C：1（ab0）的一个焦点，点D是椭圆上的一个动点，且|FD|1，3（）求椭圆的标准方程；（）过点P（4，0）
21、作直线交椭圆C于A，B两点，求AOB面积的最大值【答案】（）：1；（）2【解析】【分析】（）由点是椭圆上的一个动点,且可得:可解得：即可求得椭圆的标准方程;（）设由题意设直线的方程为,联立,得,由韦达定理、点到直线距离公式等,结合已知条件能求出面积的最大值【详解】（）由点D是椭圆上的一个动点，且|FD|1，3可得：ac1，a+c3，a2b2+c解得：a24，b23，所以椭圆的标准方程：1；（）显然直线AB的斜率不为零，设直线AB的方程：xmy4，A（x，y），B（x，y），联立与椭圆方程整理得：（4+3m2）y224my+360，（24m）2436（4+3m2）0，整理得m24，且y+y，yy
22、，|AB|12O到直线AB的距离d，所以SAOB|AB|d48482，当且仅当，即时等号成立，所以AOB面积的最大值：2【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题,考查椭圆的方程和性质,同时考查直线和椭圆方程联立,运用韦达定理和弦长公式,难度一般.22.定义函数f（x）（1x2）（x2+bx+c）（1）如果f（x）的图象关于x2对称，求2b+c的值；（2）若x1，1，记|f（x）|的最大值为M（b，c），当b、c变化时，求M（b，c）的最小值【答案】（1）-1（2）【解析】【分析】(1)由的图象关于直线对称,则将的图象向左移动个单位,得到函数为偶函数,化简,由偶函数性质即可得出结论.(2) 由任
23、意记的最大值为取,得， 化简可得,只需要,即可求出的最小值.【详解】（1）f（x）的图象关于直线x2对称，则将f（x）的图象向左移动2个单位，得到函数，g（x）f（x+2）1（x+2）2（x+2）2+b（x+2）+cx4（8+b）x3（19+4b）x2（28+11b+4c）x（12+6b+3c）为偶函数，解得，2b+c1；（2）对任意的x1，1，|f（x）|M（b，c），取x得，同理取x0得，|c|M（b，c），由上述三式得：2|（12）（2+c）|2M（b，c），|（12）（2+c）|M（b，c），|（12）2|（12）（2+c）|+|（12）|c|（22）M（b，c），因此，M（b，c）（当且仅当22时，取得最大值），此时b0，c，经验证，满足题意故当b0，c时，M（b，c）取得最小值，且最小值为【点睛】本题考查函数的奇偶性和最值,综合了绝对值不等式在函数中的运用,难度困难.
