1、真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华第3讲 平面向量 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华高考定位 1.对向量的概念和线性运算的考查多以熟知的平面图形为背景，多为客观题；2.对平面向量数量积的考查多以考查角、模等问题为主，难度不大；3.还可能体现模块之间的综合性(例如与三角、解析几何等相结合).真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华真 题 感 悟 1.(2015广东卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD 是平行四边形，AB(1，2)，AD(2，1)，则AD AC()A.5B.4C.3D.2 解析 四边形 ABCD 为平行四边形，ACABAD(1
2、，2)(2，1)(3，1).AD AC23(1)15.A真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华2.(2015陕西卷)对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A.|ab|a|b|B.|ab|a|b|C.(ab)2|ab|2D.(ab)(ab)a2b2 解析 对于A，由|ab|a|b|cosa，b|a|b|恒成立；对于B，当向量a和b方向不共线时，有|ab|a|b|对于C、D容易判断恒成立.故选B.B真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华3.(2015重庆卷)已知非零向量 a，b 满足|b|4|a|，且 a(2ab)，则a 与 b 的夹角为()A.3B.2C.23D.
3、56解析 因为 a(2ab)，所以 a(2ab)2a2ab0，即 2|a|2|a|b|cosa，b0，又|b|4|a|，则上式可化为 2|a|2|a|4|a|cosa，b0 即 24cosa，b0，所以 cosa，b12，即 a，b 夹角为23.C真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华4.(2015湖北卷)已知向量OA AB，|OA|3，则OA OB _.解析 因为OA AB，所以OA AB0.所以OA OB OA(OA AB)OA 2OA AB|OA|20329.答案 9 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华考 点 整 合 1.平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：
4、向量a(a0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数，使ba.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一组基底.2.平面向量的两个充要条件 若两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(1)ababx1y2x2y10.(2)abab0 x1x2y1y20.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华3.平面向量的三个性质(1)若 a(x，y)，则|a|aa x2y2.(2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|（x2x1）2（y2y1）2.(3)若 a(x1，y
5、1)，b(x2，y2)，为 a 与 b 的夹角，则 cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21 x22y22.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华4.平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则 A，B，P 三点共线的充要条件是OP 1OA 2OB(其中 121).(2)三角形中线向量公式：若 P 为OAB 的边 AB 的中点，则向量OP 与向量OA，OB 的关系是OP 12(OA OB).(3)三角形重心坐标的求法：G 为ABC 的重心GA GB GC 0GxAxBxC3，yAyByC3.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【例 11】(1
6、)(2014新课标全国卷)设 D，E，F 分别为ABC的三边 BC，CA，AB 的中点，则EBFC()A.BCB.12ADC.ADD.12BC(2)已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD120，点 E，F 分别在边 BC，DC 上，BC3BE，DCDF.若AEAF1，则 的值为_.热点一 平面向量的有关运算 微题型1 平面向量的线性运算真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华解析(1)如图，EBFC(BECF)(12BA12BC12CA12CB)(12BA12CA)12(ABAC)AD，故选 C.(2)如图，由题意知AEAB13BCAB13AD，AFAD DFAD 1DC AD 1A
7、B，真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华由AB13AD AD 1AB 1，得131 ABAD 13AD 21AB 21，131|AB|AD|cos 12013|AD|21|AB|21，131 2212 13221221，解之得 2.答案(1)C(2)2 探究提高 选准一组基底，运用向量的加、减运算及平面向量基本定理可求.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【例 12】(2015郑州模拟)已知向量 a(3，1)，b(1，3)，c(k，7)，若(a2c)b，则 k_.微题型2 平面向量的坐标运算 解析 依题意得a2c(3，1)(2k，14)(32k，15)，因为b(1，3)
8、，(a2c)b.所以3(32k)15，解得k1.探究提高 在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是 x1y2x2y10；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b0时，ab存在唯一实数，使得ab)来判断.答案 1 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【例 13】(1)(2015浙江卷)已知 e1，e2 是平面单位向量，且 e1e212.若平面向量 b 满足 be1be21，则|b|_.(2)(2015天津卷)在等腰梯形 ABCD 中，已知 ABDC，AB2，BC1，ABC60.点 E 和
9、 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且BE23BC，DF 16DC，则AEAF的值为_.微题型3 平面向量数量积的运算 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华解析(1)因为|e1|e2|1 且 e1e212.所以e1与e2的夹角为60.又因为be1be21，所以 be1be20，即 b(e1e2)0，所以 b(e1e2).所以 b 与 e1 的夹角为 30，所以 be1|b|e1|cos 301，|b|2 33.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(2)法一 在等腰梯形 ABCD 中，ABDC，AB2，BC1，ABC60，CD1，AEABBEAB23BC，AFAD DF
10、AD 16DC，AEAFAB23BC AD 16DC ABAD AB16DC 23BCAD 23BC16DC 21cos 60216231cos 602316cos 1202918.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华法二 作 COAB 于 O，建立如图所示的平面直角坐标系，则A32，0，B12，0，C0，32，D1，32，所以 E16，33，F56，32，所以AEAF53，33 23，32 109 122918.答案(1)2 33 (2)2918探究提高 求解几何图形中的数量积问题，通过对向量的分解转化成已知向量的数量积计算是基本方法，但是如果建立合理的平面直角坐标系，把数量积的
11、计算转化成坐标运算也是一种较为简捷的方法.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【训练 1】(1)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则AEBD _.(2)(2015南京模拟)已知向量AB与AC的夹角为 120，且|AB|3，|AC|2.若APABAC，且APBC，则实数 的值为_.解析(1)法一 AEBD AD 12AB(AD AB)AD 212AB 22212222.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华法二 以 A 为原点建立平面直角坐标系(如图)，可得 A(0，0)，E(1，2)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，AE(1，2)，BD(
12、2，2)，则AEBD(1，2)(2，2)1(2)222.(2)APBC，APBC0，(ABAC)BC0，即(ABAC)(ACAB)ABACAB 2AC 2ACAB0.向量AB与AC的夹角为 120，|AB|3，|AC|2，(1)|AB|AC|cos 120940，解得 712.答案(1)2(2)712真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华热点二 平面向量与三角的交汇【例 2】已知向量 m(3sin 2x2，cos x)，n(1，2cos x)，设函数f(x)mn.(1)求 f(x)的最小正周期与单调递增区间；(2)在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，若 f(A)4
13、，b1，ABC 的面积为 32，求 a 的值.解 因为 m(3sin 2x2，cos x)，n(1，2cos x)，函数 f(x)m n，所以 f(x)3sin 2x22cos2x 3sin 2xcos 2x32sin2x6 3.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(1)f(x)的最小正周期 T22.由 2k22x62k2，kZ，得 k3xk6，kZ.所以 f(x)的单调递增区间为k3，k6，kZ.(2)因为 f(A)4，所以 2sin2A6 34，即 sin2A6 12.由于 0A，所以 2A656，真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华即 A3.又 SABC12bcs
14、in A 32 且 b1，所以 34 c 32，解得 c2.在ABC 中，由余弦定理，得 a2b2c22bccos A14212123，所以 a 3.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华探究提高 三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【训练 2】设 a
15、(cos，(1)sin)，b(cos，sin)0，02是平面上的两个向量，若向量 ab 与 ab 互相垂直.(1)求实数 的值；(2)若 ab45，且 tan 43，求 tan 的值.解(1)由题设，可得(ab)(ab)0，即|a|2|b|20，则：cos2(1)2sin2cos2sin20，所以(1)2sin2sin20，又 02，sin20，(1)210，解得：2 或 0(舍去).真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(2)由(1)及题设条件，知 abcos cos sin sin cos()45.02，20，sin()35，tan()34.tan tan()tan（）tan 1
16、tan（）tan 3443134 43 724.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华1.在解决平面向量的数量积问题中，要注意：(1)两个向量的夹角的定义；(2)两个向量的夹角的范围；(3)平面向量的数量积的几何意义；(4)向量的数量积的运算及其性质等.2.平面向量的数量积的运算有两种形式(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数字化.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华3.根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|ab|ab|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|ab|ab|等价于向量a，b互相垂直.4.两个向量夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.5.平面向量的综合运用主要体现三角函数和平面解析几何中，在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的关系，解题的关键还是三角函数问题；解析几何中向量知识只是给出几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何关系.