1、第一章1.4一、选择题(每小题5分，共20分)1要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高应为()AcmB100 cmC20 cm Dcm解析：设高为h，体积为V，则底面半径r2202h2400h2，Vr2h(400hh3)，V(4003h2)，令V0，得h或h(舍)答案：A2某厂生产某产品x(万件)的总成本C(x)1 200x3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100万件这样的产品单价为50万元，产量定为多少时总利润最大()A23万件 B25万件C50万件 D75万件解析：设单价为a，由题意知a2且502，k50210025104，a2，即a，总利润ya
2、xC(x)x500x31 200，y250xx2，令y0得x25，产量定为25万件时总利润最大答案：B3用长为24 m的钢筋做成一个长方体形框架，若这个长方体框架的底面为正方形，则这个长方体体积的最大值为()A8 m3 B12 m3C16 m3 D24 m3解析：设长方体的底面边长为x，则高为(62x)m，0x3，则Vx2(62x)6x22x3，V12x6x2，令V0得x2或x0(舍)，当x(0,2)时，V是增函数，当x(2,3)时，V是减函数，当x2时，Vmax428(m3)答案：A4某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关
3、系是R(x)则总利润最大时，每年生产的产量是()A100 B150C200 D300解析：设Q(x)表示产量为x时的总利润则Q(x)R(x)100x20 000当0x400时，Q(x)300x，令Q(x)0，则x300，当0x0，当300x400时，Q(x)400时，Q(x)1000，Q(x)单调递减Q(x)Q(400)综上Q(x)maxQ(300)故选D.答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件售价为200元，对于多于150件的订购合同，每超过1件，则每件的售价比原来减少1元试问订购_件的合同将会使公司的收益最大解析：设x表示销售的件数，
4、R表示公司的收益，则R等于每件的售价销售件数当x150时，则R(x)200(x150)x350xx2.为求最大收益的件数，不妨认为R(x)连续可导，求R(x)3502x.令R(x)0，得x175时，R有最大值答案：1756海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30海里/小时，当速度为10海里/小时时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元如果甲、乙两地相距800海里，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为_解析：由题意设燃料费y与航速x间满足yax3(0x30)，又25a103，a.设从甲地到乙地海轮的航速为v，费
5、用为y，则yav340020v2，由y40v0得v2030.答案：20海里/小时三、解答题(每小题10分，共20分)7从长为32 cm，宽为20 cm的矩形薄铁皮的四角剪去四个相等的正方形，做一个无盖的箱子，问剪去的正方形边长为多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？解析：设剪去的正方形的边长为x cm，则箱子的容积V(x)x(322x)(202x)(0x10)4x3104x2640x，V(x)12x2208x6404(3x252x160)4(3x40)(x4)令V(x)0，得x1(舍去)，x24.当0x0，当4x10时，V(x)0，所以V(x)在(0,4)内为增函数，在(4,10)内为减函数
6、因此V(x)在(0,10)内有唯一的极大值V(4)，且该极大值即为函数V(x)的最大值，其最大值V(4)4(328)(208)1 152(cm3)答：当剪去的正方形边长为4 cm时，容器的容积最大，最大容积为1 152 cm3.8某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解析：(1)因为x5时，y11，所以1011，所以a2.(2)由(1
7、)可知，该商品每日的销售量y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x6.从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可知，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大(10分)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面
8、和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解析：(1)设需新建n个桥墩，则(n1)xm，即n1.所以yf(x)256n(n1)(2)x256(2)xm2m256.(2)由(1)知，f(x)mx(x512)令f(x)0，得x512，所以x64.当0x64时，f(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64x0，f(x)在区间(64,640)内为增函数所以f(x)在x64处取得最小值，此时n119.故需新建9个桥墩才能使y最小