1、2015-2016学年湖南省邵阳一中高二（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，总分40分）1“x2”是“x24”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C既充分又必要条件D既不充分又不必要条件2设ab，cd，则下列不等式恒成立的是（）AacbdBacbdCDb+da+c3下列命题中，真命题是（）AxR，lgx0BxN*，（x2）20CxR，2x1DxR，x2x+104“若x2=1，则x=1或x=1”的否命题是（）A若x21，则x=1或x=1B若x2=1，则x1且x1C若x21，则x1或x1D若x21，则x1且x15若变量x，y满足约束条件，则z=x2y的最大值为（）A4B3C2D
2、16下列说法中正确的是（）A一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真C“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b20”D“ab”与“a+cb+c”不等价7已知点（3，1）和（4，6）在直线3x2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）Aa7或 a24Ba=7 或 a=24C7a24D24a78设M=（1）（1）（1），且a+b+c=1，（a、b、cR+），则M的取值范围是（）A0，B，1C1，8D8，+）二、填空题（每题5分，总分35分）9不等式的解集是10A：x1，x2是方程ax2+bx+c=0（a0）的两实数根
3、；B：x1+x2=，则A是B的条件11设0|x|3，1|y|2005，则|xy|的最大值与最小值的和是12命题“ax22ax30不成立”是真命题，则实数a的取值范围是13设a0，b0，a2+=1，则a的最大值是14由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，APB=60，则动点P的轨迹方程为15设函数f（x）=2xcosx，an是公差为的等差数列，f（a1）+f（a2）+f（a5）=5，则f（a3）2a1a5=三、解答题（总分75分）16已知命题p：|4x|6，q：x22x+1a20（a0），若非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围17过原点的直线l与圆x2+y210x
4、+24=0相交与A、B两点，（）当弦AB长为时，求直线l的方程（）求弦AB的中点M的轨迹方程18已知等比数列an中，a2=2，a5=128若bn=log2an，数列bn前n项的和为Sn（）若Sn=35，求n的值；（）求不等式Sn2bn的解集19要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表所示：类 型A规格B规格C规格第一种钢板121第二种钢板113每张钢板的面积，第一种为1m2，第二种为2m2，今需要A、B、C三种规格的成品各12、15、27块，问各截这两种钢板多少张，可得所需三种规格成品，且使所用钢板面积最小？20设函数f（x）的定义域为R，若存
5、在常数m0，使|f（x）|m|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为F函数给出下列函数：f（x）=0；f（x）=2x；f（x）=（sinx+cosx）； f（x）=；你认为上述四个函数中，哪几个是F函数，请说明理由21已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C （1）求C的方程：（2）l是与圆P，圆M都相切的条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|2015-2016学年湖南省邵阳一中高二（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，总分40分）1“x2”是“x24”的（）A
6、充分不必要条件B必要不充分条件C既充分又必要条件D既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由x24得x2或x2，则“x2”是“x24”的充分不必要条件，故选：A2设ab，cd，则下列不等式恒成立的是（）AacbdBacbdCDb+da+c【考点】不等关系与不等式【分析】本题是选择题，可采用逐一检验，利用特殊值法进行检验，很快问题得以解决【解答】解：ab，cd设a=1，b=1，c=2，d=5选项A，1（2）1（5），不成立选项B，1（2）（1）（5），不成立取选项C，不成立故选D3下列命题中，真命题是（）AxR，l
7、gx0BxN*，（x2）20CxR，2x1DxR，x2x+10【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据特称命题和全称命题的定义和性质进行判断【解答】解：A当0x1时，lgx0，A错误B当x=2时，（x2）2=0，B错误C当x=1时，21，C正确Dx2x+1=（x）2+，D错误故选：C4“若x2=1，则x=1或x=1”的否命题是（）A若x21，则x=1或x=1B若x2=1，则x1且x1C若x21，则x1或x1D若x21，则x1且x1【考点】四种命题【分析】若p则q命题的否定要注意对p和q同时否定，还要注意x=1或x=1的否定为x1且x1【解答】解：x2=1的否定为x21，x=1或x=1的否定为“
8、x1且x1”故命题“若x2=1，则x=1或x=1”的否命题是：“若x21，则“x1且x1”故选D5若变量x，y满足约束条件，则z=x2y的最大值为（）A4B3C2D1【考点】简单线性规划的应用【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x2y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可【解答】解：画出可行域（如图），z=x2yy=xz，由图可知，当直线l经过点A（1，1）时，z最大，且最大值为zmax=12（1）=3故选：B6下列说法中正确的是（）A一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真C“a2+b2=0，
9、则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b20”D“ab”与“a+cb+c”不等价【考点】命题的真假判断与应用【分析】由四种命题的等价关系可判断A，B；写出原命题的逆否命题，可判断C；利用等价命题的定义，可判断D；【解答】解：一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真，一个命题为真，则它的逆否命题一定为真，但一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题不一定为真，故A错误，B正确；“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0，则a2+b20”，故C错误；“ab”“a+cb+c”，故D错误；故选：B7已知点（3，1）和（4，6）在直线3x2y+a=0的两侧，则a的取值
10、范围是（）Aa7或 a24Ba=7 或 a=24C7a24D24a7【考点】二元一次不等式的几何意义【分析】根据二元一次不等式组表示平面区域，以及两点在直线两侧，建立不等式即可求解【解答】解：点（3，1）与B（4，6），在直线3x2y+a=0的两侧，两点对应式子3x2y+a的符号相反，即（92+a）（1212+a）0，即（a+7）（a24）0，解得7a24，故选：C8设M=（1）（1）（1），且a+b+c=1，（a、b、cR+），则M的取值范围是（）A0，B，1C1，8D8，+）【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】将M中，的分子1用a+b+c表示；通分，利用基本不等式求出M的范围【解答
11、】解：M=（1）（1）（1）=（1）（1）（1）=8故选D二、填空题（每题5分，总分35分）9不等式的解集是（2，5）【考点】一元二次不等式的解法【分析】先化简，再求解【解答】解：原不等式可化为x23x100解得2x5解集为（2，5）10A：x1，x2是方程ax2+bx+c=0（a0）的两实数根；B：x1+x2=，则A是B的充分条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次方程的根的分布与系数的关系【分析】AB验证充分性x1，x2是方程ax2+bx+c=0（a0）的两实数根，可推出x1+x2=，而必要性不一定成立，故得是充分条件【解答】解：由题意若x1，x2是方程ax2+bx+c=0
12、（a0）的两实数根，由根与系数的关系一定可以得出x1+x2=，故AB成立；若x1+x2=，成立，不能得出x1，x2是方程ax2+bx+c=0（a0）的两实数根，因为此方程有根与否要用判断式进行判断，须考虑a，b，c三个字母，故BA不一定成立；故可得，A是B的充分条件故答案为充分11设0|x|3，1|y|2005，则|xy|的最大值与最小值的和是2008【考点】简单线性规划【分析】根据不等式的性质，结合绝对值的意义进行求解即可【解答】解：0|x|3，1|y|2005，0x3或3x0，1y2005，或2005y1，要使|xy|最大，则x，y符号相反，当0x3时，2005y1，此时1y2005，则1
13、xy2008，此时|xy|的最大值为2008，当3x0时，1y2005，此时2005y1，则2008y1，此时|xy|的最大值为2008，即|xy|的最大值为2008，当x=y时，|xy|的最小值为0，则|xy|的最大值与最小值的和为2008，故答案为：200812命题“ax22ax30不成立”是真命题，则实数a的取值范围是3，0【考点】命题的真假判断与应用【分析】命题中的不等式含有字母参数，首先考虑a=0，发现此时显然命题是真命题再看当a0时，若要原命题为真命题，必须相应的二次函数图象开口向下且与x轴不相交，由此可列出关于a的不等式组，解之即得a的取值范围最后综上所述，得到正确答案【解答】解
14、：命题“ax22ax30不成立”是真命题，即对于任意的xR，不等式ax22ax30都不成立当a=0时，不等式为30，显然不成立，符合题意；当a0时，二次函数y=ax22ax3在R上恒小于或等于0，解之得3a0综上所述，得实数a的取值范围是3a0故答案为：3，013设a0，b0，a2+=1，则a的最大值是【考点】基本不等式；函数的最值及其几何意义【分析】已知a2+=1，故应用基本不等式变a为可以用a2+表示的形式，观察知除个就OK了【解答】解：a2+=1a2+=，a=a=，故答案为14由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，APB=60，则动点P的轨迹方程为x2+y2=
15、4【考点】轨迹方程；圆的切线的性质定理的证明【分析】先设点P的坐标为（x，y），则可得|PO|，根据APB=60可得AP0=30，判断出|PO|=2|OB|，把|PO|代入整理后即可得到答案【解答】解：设点P的坐标为（x，y），则|PO|=APB=60AP0=30|PO|=2|OB|=2=2即x2+y2=4故答案为：x2+y2=415设函数f（x）=2xcosx，an是公差为的等差数列，f（a1）+f（a2）+f（a5）=5，则f（a3）2a1a5=【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和【分析】由f（x）=2xcosx，又an是公差为的等差数列，可求得f（a1）+f（a2）+f（a5）
16、=10a3，由题意可求得a3，从而进行求解【解答】解：f（x）=2xcosx，可令g（x）=2x+sinx，an是公差为的等差数列，f（a1）+f（a2）+f（a5）=5g（a1）+g（a2）+g（a5）=0，则a3=，a1=，a5=f（a3）2a1a5=2=，故答案为：三、解答题（总分75分）16已知命题p：|4x|6，q：x22x+1a20（a0），若非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法；绝对值不等式的解法【分析】先解不等式分别求出p和q，再由非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围【解答】解：p：|4x|6，x10，或x
17、2，A=x|x10，或x2q：x22x+1a20，x1+a，或x1a，记B=x|x1+a，或x1a而pq，AB，即，0a317过原点的直线l与圆x2+y210x+24=0相交与A、B两点，（）当弦AB长为时，求直线l的方程（）求弦AB的中点M的轨迹方程【考点】直线与圆的位置关系【分析】（）设直线l的方程为y=kx，利用弦AB长为，可得圆心到直线的距离d=，即可求直线l的方程（）弦AB的中点M的轨迹是以OC为直径的圆在圆C内的部分，即可求弦AB的中点M的轨迹方程【解答】解：（）设直线l的方程为y=kx，即kxy=0，圆x2+y210x+24=0可化为（x5）2+y2=1，圆心坐标C（5，0），半
18、径为1，弦AB长为，圆心到直线的距离d=，=，k=直线l的方程为y=； （）弦AB的中点M的轨迹是以OC为直径的圆在圆C内的部分，方程为x2+y25x=0（）18已知等比数列an中，a2=2，a5=128若bn=log2an，数列bn前n项的和为Sn（）若Sn=35，求n的值；（）求不等式Sn2bn的解集【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式【分析】（）已知等比数列an中，设出公比为q，根据等比数列通项公式，代入a2=2，a5=128，求出公比，再利用等比数列的前n项和公式，代入Sn=35，求出n值；（）因为bn=log2an，将an代入bn，求出其通项公式，代入不等式Sn2bn求出n
19、的范围；【解答】解：（）a2=a1q=2，a5=a1q4=128得q3=64，q=4，a1=an=a1qn1=22n3，bn=log2an=log222n3=2n3bn+1bn=2（n+1）3（2n3）=2bn是以b1=1为首项，2为公差数列；Sn=35，即n22n35=0，可得（n7）（n+5）=0，即n=7；（）Sn2bn=n22n2（2n3）=n26n+603n3+，nN+，n=2，3，4，即所求不等式的解集为2，3，4；19要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表所示：类 型A规格B规格C规格第一种钢板121第二种钢板113每张钢板的面
20、积，第一种为1m2，第二种为2m2，今需要A、B、C三种规格的成品各12、15、27块，问各截这两种钢板多少张，可得所需三种规格成品，且使所用钢板面积最小？【考点】简单线性规划【分析】本题考查的知识点是简单的线性规划的应用，根据已知条件中解：设用甲种薄金属板x张，乙种薄金属板y张，则可做A种的外壳分别为3x+6y个，A种的外壳分别为5x+6y个，由题意得出约束条件，及目标函数，然后利用线性规划，求出最优解【解答】解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，所用钢板面积为zm2，则有作出可行域（如图）目标函数为z=x+2y作出一组平行直线x+2y=t（t为参数）由条件得A（）由于点A不是可行域内的
21、整数点，而在可行域内的整数点中，点（4，8）和点（6，7）使z最小，且最小值为：4+28=6+27=2020设函数f（x）的定义域为R，若存在常数m0，使|f（x）|m|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为F函数给出下列函数：f（x）=0；f（x）=2x；f（x）=（sinx+cosx）； f（x）=；你认为上述四个函数中，哪几个是F函数，请说明理由【考点】函数的值【分析】对于，由定义得都是F函数；对于，当x=0时，不可能有|f（0）|m|0|=0，故f（x）=（sinx+cosx） 不是F函数；对于，要使|f（x）|m|x|成立，必须m，当m时，f（x）=是F函数【解答】解：对于，m是任意
22、正数时都有0m|x|，f（x）=0是F函数；对于，m2时，都有|2x|m|x|，f（x）=2x是F函数；对于，当x=0时，|f（0）|=，不可能有|f（0）|m|0|=0故f（x）=（sinx+cosx） 不是F函数；对于，要使|f（x）|m|x|成立，即|m|x|，当x=0时，m可取任意正数；当x0时，只须m的最大值；因为x2+x+1=（x+）2+，所以m，因此，当m时，f（x）=是F函数21已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C （1）求C的方程：（2）l是与圆P，圆M都相切的条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆
23、P的半径最长时，求|AB|【考点】直线和圆的方程的应用【分析】（1）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（2）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|PN|=2R242=2，所以R2，当且仅当P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x2）2+y2=4分l的倾斜角为90若l的倾斜角不为90，由于M的半径1R，可知l与x轴不平行，确定Q（4，0），设l：y=k（x+4），由l与M相切，求出直线l的方程，再求|AB|【解答】解：（
24、1）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（1，0）；圆N：（x1）2+y2=9，圆心N（1，0），半径3设动圆的半径为R，动圆P与圆M外切并与圆N内切，|PM|+|PN|=R+1+（3R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，a=2，c=1，b2=a2c2=3曲线C的方程为（去掉点（2，0）（2）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|PN|=2R231=2，所以R2，当且仅当P的圆心为（2，0），R=2时，其半径最大，其方程为（x2）2+y2=4l的倾斜角为90，直线l的方程为x=0，|AB|=2若l的倾斜角不为90，由于M的半径1R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，则=，可得Q（4，0），所以可设l：y=k（x+4），由l与M相切可得： =1，解得k=直线l的方程为y=（x+4），代入，可得7x2+8x8=0，|AB|=2016年11月7日