1、课后集训基础达标1.已知a=(1,),b=(+1,-1),则a与b的夹角为（ ）A. B. C. D.解析：ab=+1+3-=4.|a|=2,|b|=.cosa,b=.a、b夹角为,应选A.答案：A2.已知a=(2,-3),b=(-5,8),则（a+b）b等于（ ）A.-34 B.34 C.55 D.-55解析：（a+b）b=ab+|b|2=2(-5)+（-3）8+=55.应选C.答案：C3.已知A（2a,0）,B(0,1-a2),则|是（ ）A.(1+a2)2 B.1+a2 C.1+a2 D.a2解析：=(-2a,1-a2),|=1+a2.应选B.答案：B4.下列命题中正确命题的序号是（ ）
2、+=0（a+b）c=ac+bc若a=(m,4),|a|=,则m=若的起点为A（2，1），终点为B（-2，4），则与x轴正向所夹角的余弦值是A. B. C. D.解析：+=+=2.不正确，显然正确，数量积对加法满足分配律.若a=(m,4)|a|=,则m2+16=23.m=,不正确.=（-4，3），=（4，-3）.取x轴正向一单位向量i=(1,0),则与x轴正向余弦值cos=.正确.应选C.答案：C5.以A（2，5），B（5，2），C（10，7）为顶点的三角形的形状是（ ）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形解析：=（-3，3），=（5，5），=-35+35
3、=0,B=90,但|.ABC为直角三角形.应选B.答案：B6.若a=(4,2),则与a垂直的单位向量的坐标为_.解析：设所求向量为b=(x,y),则ba,且|b|=1,所以解得或所以b=(,-)或（-，）答案：(,-)或（-，）综合运用7.已知a=(sin,),b=(1,),其中(,),则一定有（ ）A.ab B.ab C.a与b的夹角为45 D.|a|=|b|解析：因为，ab=sin+=sin+=sin+|sin|,(,).sin0,|sin|-sin.ab=0,ab.答案：B8.若向量e1=(x,2x),e2=(-3x,2),且e1与e2的夹角为钝角，则x的取值范围为_.解析：e1、e2的
4、夹角为钝角，e1e20,即-3x2+4x0,解得：x0或x,当=时，e1=e2(0)即（x,2x）=(-3x,2)=(-3x,2),解得x=-13.当e1、e2夹角为钝角时，x的取值范围是（-,）(,0)(,+).答案：（-,）(,0)(,+)9.若在ABC中，=（-2，3），=（1，m），且ABC的一个内角为直角，求m的值.解：若A=90,则=0.即-2+3m=0,m=.当B=90时，=+=（2，-3）+（1，m）=（3，m-3）.=0. m=5.当C=90时，=（-1，-m）（-3，3-m）=m2-3m+3=0.=9-120,C不可能为直角.拓展探究10.(2004湖北，19)如右图，在R
5、tABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与的夹角取何值时，的值最大？并求出这个最大值.思路分析：解答本题的关键是要结合图形，利用向量的三角形法则找出向量之间的关系；或建立适当的坐标系，利用向量的坐标形式来解答.解法1：,=0,=-,=-,=-, =(-)(-)=-+=-a2-+=-a2+(-)=-a2+12=-a2+a2cos.故当cos=1,即=0(与方向相同)时，最大，其最大值为0.解法2：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴，建立如右图所示的平面直角坐标系.设|AB|=c，|AC|=b，则A（0，0），B（c,0）,C(0,b),且|PQ|=2a，|BC
6、|=a.设点P的坐标为（x,y），则Q（-x,-y）.=(x-c,y), =(-x,-y-b),=(-c,b), =(-2x,-2y).=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by.cos=,cx-by=a2cos,=-a2+a2cos,故当cos=1,即=0(与方向相同)时，最大，其最大值为0.答案：=0时，最大为0.备选习题11.已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,那么ab=_.解法1：令a=(x1,y1),b=(x2,y2),根据题意可得方程组（1）由（1）（2）解得x1=-3,x2=5,y1=4,y2=-12.a=(-3,4),b=(5,-12),ab
7、=-35+4(-12)=-63.解法2：由+得：a=-3i+4j,由-得：b=5i-12j,a=(-3,4),b=(5,-12).ab=-35+4(-12)=-63.答案：-6312.已知a=(2,3),b=(-1,-2),c=(2,1),求（ab）c和a（bc）.解：ab=2(-1)+3(-2)=-8,(ab)c=-8(2,1)=(-16,-8),bc=-12+(-2)1=-4,a(bc)=(2,3)(-4)=(-8,-12).13.平面向量a=(3,-4),b=(2,x),c=(2,y).已知ab,ac,求b,c及b和c的夹角.解：ab,a=(3,-4),b=(2,x),3x+8=0,x=
8、.又ac,32=4y,y=,b=(2,),c=(2,).bc=22+()=0,b与c的夹角为90.14.已知向量a=e1-e2,b=4e1+3e2,其中e1=(1,0),e2=(0,1)(1)试计算ab及|a+b|的值；（2）求向量a与b夹角的余弦值.解：(1)a=e1-e2=(1,0)-(0,1)=(1,-1),b=4e1+3e2=4(1,0)+3(0,1)=(4,3).ab=41+3(-1)=1,|a+b|=(2)由ab=|a|b|cos,cos=.15.已知a=(,-1),b=(,).(1)证明ab,(2)若存在不同时为零的实数k和t,使x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且xy，试求函数关系式k=f(t).(1)证明：ab=-1=0,ab.(2)解析：xy,a+(t2-3)b-ka+tb.=-ka2+t-k(t2-3)ab+t(t2-3)b2=0|a|=2,|b|=1,ab=0,-4k+t(t2-3)=0,k=(t3-3t).16.如右图，已知ABC中,A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC边上的高为AD，求D点和的坐标及ABC的面积.解析：设D点的坐标为（x,y）,则=（x-2,y+1）, =(x-3,y-2), =(-6,-3),由条件得：即解得：D点的坐标为(1,1),的坐标为（-1，2），SABC=|=.