1、整合提升知识网络知识回顾一、极坐标系1.极坐标与直角坐标的互化公式:2.极坐标与直角坐标的互化,常用方法有代入法、平方法等,还经常用到同乘以(或除以)等技巧.3.建立极坐标系后,给定(0)和,就可以在平面内唯一确定点M.确定的方法是:(1)由定射线.根据角确定点M所在的射线OM;(2)由取点.在射线OM上取|OM|=,点M的位置即可确定.4.给定平面内任意一点M,也可以找到它的极坐标(,)(0).特别注意:(1)一般地,极坐标(,)与(,+2k)(kZ)表示同一个点.和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.(2)如果规定0,00)且垂直于极轴的直线方程是cos=a.2.过点(a,)(
2、a0)且垂直于极轴的直线方程是cos=-a,如图(1).3.过点(a,)(a0)且平行于极轴的直线方程是sin=a,如图(2).4.过点(a,)(a0)且平行于极轴的直线方程是sin=-a,如图(3).5.过极点倾角为的直线方程是=(R).三、几种特殊位置的圆的极坐标方程1.以极点为圆心且半径为r的圆的极坐标方程=r.2.过极点且圆心坐标为(a,0)(a0)的圆的极坐标方程为=2acos.3.过极点且圆心坐标为(a,)(a0)的圆的极坐标方程为=-2acos.4.过极点且圆心坐标为(a,)(a0)的圆的极坐标方程为=2asin.四、柱坐标系如图,建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，
3、它在Oxy平面上的射影为Q，用(,)(0,02)来表示点Q在平面Oxy上的极坐标.这时点P的位置可用有序数组(,z)(zR)表示.这样，我们建立了空间的点与有序数组(,z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(,z)叫做点P的柱坐标，记作P(,z)，其中0,02,-z+.五、球坐标系如图,建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，连结OP，记|OP|=r,OP与Oz轴正向所夹的角为，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为.这样点P的位置就可以用有序数组(r,)表示.这样，空间的点与有序数组(r,)之间建立了一种对应关
4、系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r,)叫做点P的球坐标，记作P(r,)，其中r0,02,0.典例精讲【例1】极坐标方程4sin2=5表示的曲线是（ ）A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线解析:直接由所给方程判断较难，可把它化为直角坐标方程去判断.4sin2=4=2-2cos=5.2=5+2x.y2=5x+,表示抛物线.答案:D【例2】极坐标=cos(-)表示的曲线是 ( )A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆解析:=cos+sin,由于不恒等于0,方程两边同乘以,得2=cos+sin.(x2+y2)=x+y,表示圆.答案:D温馨提示 注意对称点的
5、求法，掌握特殊的对称情况.【例3】在极坐标系中,与圆=4sin相切的一条直线方程为( )A.sin=2 B.cos=2 C.cos=4 D.cos=-4解析:如右图,C的极坐标方程为=4sin,COOx,OA为直径,|OA|=4,l和圆相切,l交极轴于B(2,0),点P(,)为l上任意一点,则有cos=,得cos=2.答案:B温馨提示 求切线、求距离、求面积等问题要做到极坐标方程与普通方程的结合及灵活运用.【例4】如右图,长方体OABCDABC中，|OA|=3,|OC|=5,|OD|=3,AC与BD相交于点P，分别写出点C、B、P的柱坐标.解:求点的柱坐标,需要找到空间任意一点P在Oxy平面上
6、的射影及在平面Oxy上的极坐标(,)(0,02).C点的、为|OC|及COA,B点的、分别为|OB|=,=BOA,tanBOA=,BOA=arctan.P点的、为OE、AOE,|OE|=|OB|,AOE=AOB.C点的柱坐标为(5,0),B点的柱坐标为(,arctan,3),P点的柱坐标为(,arctan,3).类题演练1已知点M的极坐标为(-5,)，下列所给出的四个坐标中不能表示点M的坐标的是（ ）A.(5,-) B.(5,) C.(5,-) D.(-5,-)解析：注意0时确定位置.答案：A变式提升1在极坐标系中点(,)与(-,-)的位置是 ( )A.关于极轴所在直线对称 B.关于极点对称C
7、.重合 D.关于直线=(R)对称解析：点（-,-）与(,-)是同一个点，它与点（,）关于极轴对称.答案：A类题演练2点P0(0,0)(00)关于=(R)的对称点的极坐标为（ ）A.(-0,0) B.(0,-0) C.(-0,-0) D.(0,)解析:P0(0,0)(0、-0)(-0、-0).答案:C变式提升2点P(-2,)关于直线=(PR)的对称点的坐标为_.解析:点P(-2,)即为P(2,).点P、P、O组成等腰三角形,且=为POP的平分线,故为(2,).答案:(2,)类题演练3已知直线的极坐标方程sin(+)=,则极点到该直线的距离是_.解析:由sin(+)=,可得sin+cos=2,即得x+y-2=0.点O(0,0)到直线x+y-2=0的距离为d=.答案:变式提升3已知点A(3,),B(-4,),O(0,),则ABO的面积为_.解析:点B(-4,)B(4,).|OA|=3,|OB|=4,AOB=-=.S=34sin=.答案:类题演练4圆心为C(3,),半径为3的圆的极坐标方程是_.解析:如下图,设圆上任意一点为P(,),OA为圆的直径,可得=6cos(-),当P是极点,A点时也适合.答案:=6cos(-)