1、2.2 直接证明与间接证明22.1 综合法和分析法内 容 标 准学 科 素 养1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点2.会用综合法、分析法解决问题.发展逻辑推理提升数学运算培养数学抽象01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 综合法预习教材P3638，思考并完成以下问题阅读下面证明过程，回答问题求证：是函数 f(x)sin2x4 的一个周期证明：因为 f(x)sin2x4 sin2x24 sin2x4 f(x)，所以由周期函数的定义可知，是函数 f(x)sin2x4 的一个周期(1)本题的条件和结论各是什么？提示：条件
2、：f(x)sin2x4；结论：是 f(x)的一个周期(2)本题的证明顺序是什么？提示：从已知利用诱导公式到待证结论 知识梳理定义推证过程特点利用和某些数学、等，经过一系列的，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法PQ1 Q1Q2 Q2Q3 QnQ(P 表示、已有的、等，Q 表示)顺推证法或由因导果法已知条件定义公理定理推理论证已知条件定义公理定理所要证明的结论知识点二 分析法预习教材P3841，思考并完成以下问题阅读教材中证明基本不等式“ab2 ab(a0，b0)”的过程(1)该证明过程是从“条件”还是从“结论”开始证明的？提示：从结论开始证明的(2)该证明过程的实质是寻找使结论
3、成立的什么条件？提示：充分条件 知识梳理定义框图表示特点从要证明的，逐步寻求使它成立的，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、等)这种证明方法叫做分析法QP1 P1P2 P2P3 得到一个明显成立的条件逆推证法或执果索因法 结论出发充分条件定理定义公理思考：综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”自我检测1下列说法错误的是()(1)分析法证明是执果索因；(2)综合法证明的依据是三段论；(3)综合法的推理过程实际上
4、是寻找它的必要条件；(4)分析法证明是从结论推向已知A(1)B(2)C(3)D(4)解析：综合法是从“已知”看可知，逐步推出“未知”，推理过程的依据是三段论其逐步推理实际上是寻找它的必要条件，故(2)(3)正确分析法是执果索因，寻找结论成立的充分条件，不是从结论推向已知，因此(1)正确，(4)错误答案：D2欲证 2 3 6 7成立，只需证()A(2 3)2(6 7)2B(2 6)2(3 7)2C(2 7)2(3 6)2D(2 3 6)2(7)2解析：2 3 6 7 2 7 3 6(2 7)21，求证：a1 a12 a.证明：要证 a1 a12 a，只需证(a1 a1)2(2 a)2.只需证 2
5、a2 a214a，只需证a211，只需证 a21a2，只需证10，上式显然成立，故 a1 a12 a成立探究三 综合法和分析法的综合应用例 3 已知 a，b，c 是不全相等的正数，且 0 x1.求证：logxab2 logxbc2 logxac2 logxalogxblogxc.证明 要证明：logxab2 logxbc2 logxac2 logxalogxblogxc，只需要证明 logxab2 bc2 ac2logx(abc)由已知 0 xabc.由公式ab2 ab0，bc2 bc0，ac2 ac0，又a，b，c 是不全相等的正数，ab2 bc2 ac2 a2b2c2abc.即ab2 bc
6、2 ac2 abc 成立logxab2 logxbc2 logxac2 logxalogxblogxc 成立延伸探究 1.删掉本例条件“0 x1”，求证：lgab2 lgbc2 lgca2 lg alg blg c.证明：要证 lgab2 lgbc2 lgca2 lg alg blg c，只需证 lgab2 bc2 ca2lg(abc)，即证ab2 bc2 ca2 abc.因为 a，b，c 为不全相等的正数，所以ab2 ab0，bc2 bc0，ca2 ac0，且上述三式中等号不能同时成立，所以ab2 bc2 ca2 abc 成立，所以 lgab2 lgbc2 lgca2 lg alg blg
7、c 成立2把本例条件“0 x a b c.证明：法一：由左式推证右式abc1，且 a，b，c 为互不相等的正数，1a1b1cbcacabbcac2acab2abbc2 bcac acab abbc c a b.1a1b1c a b c.法二：由右式推证左式a，b，c 为互不相等的正数，且 abc1，abc1bc 1ac 1ab1b1c2 1a1c2 1a1b2(基本不等式)1a1b1c.方法技巧 分析综合法的解题思路分析综合法的解题思路是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论 Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P；若由 P 可推出 Q，即可得证跟踪探究 3.设 a，b(0，
8、)，且 ab.求证：a3b3a2bab2.证明：法一(分析法)：要证 a3b3a2bab2 成立，即需证(ab)(a2abb2)ab(ab)成立又因 ab0，故只需证 a2abb2ab 成立，即需证 a22abb20 成立，即需证(ab)20 成立而依题设 ab，则(ab)20 显然成立由此命题得证法二(综合法)：abab0(ab)20a22abb20a2abb2ab.a0，b0，ab0，(ab)(a2abb2)ab(ab)a3b3a2bab2.课后小结(1)综合法适用的范围定义明确的题型，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等；已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件
9、逼近欲得结论的题型(2)分析法适用的范围分析法的适用范围是已知条件不明确，或已知条件简便而结论式子较复杂的问题(3)综合法与分析法的比较比较综合法分析法推理方向顺推，由因导果逆推，执果索因表述形式形式简洁，条理清晰叙述烦琐，易出错思考的侧重点侧重于已知条件提供的信息侧重于结论提供的信息素养培优因逻辑混乱致误设向量 a(4cos，sin)，b(sin，4cos)，若 tan tan 16，求证：ab.易错分析：综合法、分析法综合应用中，易混淆已知与结论，把分析过程当成了证明过程而直接利用结论致误自我纠正：法一(分析法)：要证明 ab，而 a(4cos，sin)，b(sin，4cos)，即要证明(4cos)(4cos)sin sin，即要证 sin sin 16cos cos，即要证sin cos sin cos 16，即要证 tan tan 16，而 tan tan 16 已知，所以结论正确法二(综合法)：tan tan 16，sin cos sin cos 16，即 sin sin 16cos cos，(4cos)(4cos)sin sin，即 a(4cos，sin)与 b(sin，4cos)共线，ab.04 课时 跟踪训练