1、第2课时 余弦定理(2)学情诊断课时测评一、单选题1在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若(a2b2c2)tan Cab，则角 C 的值为()A6B3C6 或56 D3 或23【解析】选 C.在 ABC 中，由已知等式整理得a2b2c22ab12tan C，即 cos C cos C2sin C.因为 cos C0，所以 sin C12，因为 C 为 ABC 内角，所以 C6 或56.2已知 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 b cos Cc cos Ba sin A，则 ABC 的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定【解析
2、】选 B.因为 b cos Cc cos Ba sin A，所以由余弦定理得 ba2b2c22abca2c2b22aca sin A，整理，得 aa sin A，所以 sin A1.又 A(0，)，所以 A2.故 ABC 为直角三角形3若三条线段的长分别为 5，6，7，则用这三条线段()A能组成直角三角形 B能组成锐角三角形C能组成钝角三角形 D不能组成三角形【解析】选 B.因为三条线段的长为 5，6，7，满足任意两边之和大于第三边，故能组成三角形，又因为三角形最大边对应的角的余弦值 cos 52627225615 0，所以最大角为锐角，所以能组成锐角三角形4如果等腰三角形的周长是底边长的 5
3、 倍，那么它的顶角的余弦值为()A 518 B34 C 32 D78【解析】选 D.设顶角为 C，因为周长 l5c，所以 ab2c，由余弦定理得 cos Ca2b2c22ab4c24c2c222c2c78.5如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状()A是锐角三角形 B是直角三角形C是钝角三角形 D由增加的长度确定【解析】选 A.设原直角三角形三边分别为 a，b，c，且 a2b2c2，则 c 为最大边，设增加的长度为 x，则新三角形的三边长分别为 ax，bx，cx，且 cx 所对的角最大，而(ax)2(bx)2(cx)2x22(abc)x0.由余弦定理知新三角形最大角的余弦值为（
4、ax）2（bx）2（cx）22（ax）（bx）0，最大角为锐角，所以新三角形为锐角三角形二、填空题6在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，ba1c2，且 cos C45，则 ABC 的周长为_；ABC 是_三角形【解析】由余弦定理得 cos Ca2b2c22aba2（a1）2（a1）22a（a1）45，解得 a4.所以 b5，c3.所以 ABC 的周长为 12.因为 b2a2c2，所以 ABC 为直角三角形答案：12 直角7在 ABC 中，若 b2，c2 3，C23，则 a_；ABC 的面积为_【解析】因为 c2a2b22ab cos C，所以(2 3)2a2222a2
5、cos 23，所以 a22a80，即(a4)(a2)0，所以 a2 或 a4(舍去).所以 AB 边上的高 hb cos 60212 1，所以 ABC 的面积为12 2 3 1 3.答案：2 38在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 c2bc cos Aca cos Bab cos C，则 ABC 是_三角形【解析】由 c2bc cos Aca cos Bab cos C，得c2b2c2a22c2a2b22a2b2c22，化简得 c2a2b2，所以 C90，所以 ABC 是直角三角形答案：直角三、解答题9在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若
6、a cos Ab cos B，且 c2，sin C35，求 ABC 的面积【解析】因为在 ABC 中，a cos Ab cos B，所以由余弦定理得 ab2c2a22bcba2c2b22ac，整理得(a2b2)(a2b2c2)0，所以 a2b20 或 a2b2c20，即 ab 或 C2(舍去).因为 c2，sin C35，ab，所以 cos C45，即45 a2b2c22ab，解得 ab 10 或 ab 103.当 ab 10 时，S ABC12 ab sin C3；当 ab 103时，S ABC12 ab sin C13.10如图，海面上一走私船正以每小时 15 海里的速度沿方位角 120方
7、向航行，距离走私船 18 海里处的缉私艇测得该走私船当前的方位角为 60，并即刻以每小时 21 海里的速度径直追赶(1)求缉私艇追上走私船所需的最短时间；(2)求缉私艇用时最短的追赶方向(方位角)的余弦值【解析】(1)如图所示，在 C 点处缉私艇赶上走私船，在 ABC 中，ABC60(180120)120，AB18，设缉私艇追上走私船的最短时间为 x 小时，则 AC2AB2BC22ABBCcos ABC；即(21x)2182(15x)221815xcos 120，化简得 4x25x60，解得 x2 或 x34(不合题意，舍去)；所以缉私艇追上走私船所需的最短时间是 2 小时(2)在 ABC 中
8、，AB18，AC42，BC30，所以 cos BAC182422302218421114，所以 sin BAC211114（）5 314，cos cos(BAC60)cos BAC cos 60sin BAC sin 601114 12 5 314 3217，所以缉私艇用时最短的追赶方向(方位角)的余弦值是17.一、选择题1在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，A3，a 6，若 abc cos Bc cos A，且 ab，则 ABC 的面积为()A2 3 B 3 C 6 D323【解题指南】利用余弦定理统一成边之后判断出三角形的形状，然后求其面积【解析】选 B.因为 ab
9、c cos Bc cos A，所以 abca2c2b22accb2c2a22bc，去分母得 2a2b2b2aa2bc2bb3(b2ac2aa3)，整理得 ab(ab)(ab)(a2abb2c2)，因为 ab，所以 aba2abb2c2，即 a2b2c2 得 ABC 为直角三角形，则 S ABC12 6 63 3.2在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c.已知 bc，a22b2(1sin A)，则 A()A34 B3 C4 D6【解析】选 C.由余弦定理得 a2b2c22bc cos A2b22b2cos A，所以 2b2(1sin A)2b2(1cos A)，所以 sin A
10、cos A，即 tan A1，又 0A0)，解得：a4x，b5x，c6x，所以 abc456，所以 A 错误；由上可知：c 边最大，所以三角形中 C 角最大，所以 D 正确又 cos Ca2b2c22ab（4x）2（5x）2（6x）224x5x18 0，所以 C 角为锐角，所以 B 错误；由上可知：a 边最小，所以三角形中 A 角最小，又 cos Ac2b2a22cb（6x）2（5x）2（4x）226x5x34，所以 cos 2A2cos2A118，所以 cos2Acos C.由三角形中 C 角最大且 C 角为锐角可得 2A(0，)，C0，2，所以 2AC，所以 C 正确二、填空题4 ABC
11、的三边长分别为 AB7，BC5，CA6，则AB BC 的值为_；cos B_【解析】由余弦定理的推论知 cos BAB2BC2AC22ABBC1935，所以AB BC|AB|BC|cos(B)75193519.答案：19 19355在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 C120，c 2 a，则a，b 的大小关系为_【解析】在 ABC 中，c2a2b22ab cos 120a2b2ab.因为 c 2 a，所以 2a2a2b2ab，所以 a2b2ab0，所以 a2b2，又 a，b 均为正数，所以 ab.答案：ab6 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已
12、知 a2b24c2，cos A14，则bc _【解析】由已知得 a2b24c2，由余弦定理可得14 cos Ab2c2a22bc，所以c24c22bc14，所以3c2b 14，所以bc 32 46.答案：67在 ABC 中，已知 BC7，AC8，AB9，则 AC 边上的中线长为_【解析】由已知条件，得 cos AAB2AC2BC22ABAC92827229823.设 AC 边上的中线长为 x，由余弦定理，得 x22AC2（）AB22AC2AB cos A429224923 49，解得x7，所以所求中线长为 7.答案：7三、解答题8.在某次地震时，震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向
13、的城市B，C，D.已知B，C两城市相距20 km，C，D两城市相距34 km，C市在B，D两市之间，如图所示，某时刻C市感到地表震动，8 s后B市感到地表震动，20 s后D市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km.求震中A到B，C，D三市的距离【解析】在 ABC 中，由题意得 ABAC1.5812(km).在 ACD 中，由题意得 ADAC1.52030(km).设 ACx km，AB(12x)km，AD(30 x)km.在 ABC 中，cos ACBx2400（12x）2220 x25624x40 x323x5x，在 ACD 中，cos ACDx21 156（30 x）26
14、8x25660 x68x6415x17x.因为 B，C，D 在一条直线上，所以6415x17x323x5x，即6415x173x325，解得 x487.所以 AB1327 km，AD2587 km.即震中 A 到 B，C，D 三市的距离分别为1327 km，487 km，2587 km.9已知 ABC 同时满足下列四个条件中的三个：A3；cos B23；a7；b3.(1)请指出这三个条件，并说明理由；(2)求 ABC 的边 c.【解析】(1)ABC 同时满足，.理由如下：若 ABC 同时满足，.因为 cos B23 23.所以 AB，矛盾所以 ABC 只能同时满足.所以 ab，所以 AB，故 ABC 不满足.故 ABC 满足，.(2)因为 a2b2c22bc cos A，所以 7232c223c12.解得 c8，或 c5(舍).所以边 c 为 8.