1、奇偶性1. 奇偶性的判断总结：对于已知解析式的函数奇偶性的判断，需要严格符合奇偶性的定义，先求出函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称；如果定义域关于原点对称，再比较和的关系。例题1. 判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）变式1.1 若是上的偶函数，则 。变式1.2 判断下列函数的奇偶性：（1）（2）（3）例题2. 若定义在R上的函数满足：对于任意，有，则下列说法正确的是（）A. 是奇函数B. 是偶函数C. 是奇函数D. 是偶函数变式2.1 已知函数满足：对任意实数都有，求证：为奇函数。变式2.2 对于任意实数都有，求证：为偶函数。2. 基本概念的应用总结：奇偶性的运算规律（1） 奇
2、函数奇函数=奇函数，偶函数偶函数=偶函数，奇函数偶函数=非奇非偶（2） 奇函数（）奇函数=偶函数，奇函数（）偶函数=奇函数，偶（）偶=偶（3） 复合函数内层函数和外层函数都具有奇偶性时，有偶即偶，两奇为奇例题3. 若函数是奇函数，则 。例题4. 若函数是偶函数，则 。变式4.1 若函数是奇函数，则 。变式4.2 若函数是定义在R上的奇函数，则 。例题5. 设为奇函数，且当时，则当时， 。总结：由于奇偶函数的定义域关于原点对称，给出部分区间的解析式求对称区间的解析式的题目只需将自变量转化到已知区间，再利用奇偶性求解即可。另外，任意一个定义域关于原点对称的函数都可以写成一个奇函数与偶函数之和。例题6. 证明：任意一个定义在R上的函数都可以写成一个奇函数与偶函数之和。例题7. 设函数的定义域均为R，且是奇函数，是偶函数，。（1） 求的解析式；（2） 证明：当时，。变式7.1 设，且为偶函数，为奇函数，若存在实数，当时，不等式成立，则的最小值为 。变式7.2 已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足，若，则的取值范围是 。例题8. 已知f(x)是奇函数，且当x0时，若，则 。例题9. 已知函数，则 。例题10. 设函数的最大值为M，最小值为m，则M+m= 。总结：有些函数可以写作奇函数加常数的形式，这种函数称作“部分奇函数”，例如函数g(x)为奇函数，那么会有等式成立
