1、2015-2016学年湖南省长沙市浏阳一中高三（上）入学数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1全称命题：xR，x20的否定是（）AxR，x20BxR，x20CxR，x20DxR，x202设xR，则“x23x0”是“x4”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）Af（x）=Bf（x）=Cf（x）=2x2xDf（x）=tanx4已知sin+cos=，则sin2的值为（）ABCD5对x1，x2（0，），若x2x1，且y1=，y2=，则（）Ay1=y2By1y2Cy1y2Dy1，y
2、2的大小关系不能确定6函数向左平移个单位后是奇函数，则函数f（x）在上的最小值为（）ABCD7已知f（x）=，abc，且f（a）=f（b）=f（c）=0，现给出如下结论：f（0）f（1）0；f（0）f（1）0；f（0）f（2）0；f（0）f（2）0其中正确结论的序号为（）ABCD8给出如下四个命题：若“pq”为假命题，则p，q均为假命题；命题“若ab，则2a2b1”的否命题为“若ab，则2a2b1”；命题“任意xR，x2+10”的否定是“存在x0R，”；在ABC中，“AB”是“sinAsinB”的充要条件其中不正确命题的个数是（）A4B3C2D19已知奇函数f（x）在1，0上为单调递减函数，又
3、，为锐角三角形两内角，下列结论正确的是（）Af（cos）f（cos）Bf（sin）f（sin）Cf（sin）f（cos）Df（sin）f（cos）10设函数f（x）=xsinx+cosx的图象在点（t，f（t）处切线的斜率为k，则函数k=g（t）的部分图象为（）ABCD二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11已知角的终边上一点的坐标为（sin，cos），则角的最小正值为12设函数f（x）=，若f（a）=4，则a的值等于13coscos+cossin的值是14已知函数f（x）=f（）sinx+cosx，则f（）=15定义在R上的偶函数f（x），且对任意实数x都有f（x2）=f（x），当
4、x0，1时，f（x）=x2，若在区间1，3内，函数g（x）=f（x）kxk有4个零点，则实数k的取值范围是三解答题（本大题共6小题共75分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16记函数f（x）=lg（x2x2）的定义域为集合A，函数的定义域为集合B（1）求AB和AB；（2）若C=x|4x+p0，CA，求实数p的取值范围17已知幂函数f（x）=x（mz）为偶函数，且在区间（0，+）上是单调增函数（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=f（x）+ax3+x2b（xR），其中a，bR若函数g（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围18已知函数f（x）=msinx+cosx，（m
5、0）的最大值为2（）求函数f（x）在0，上的值域；（）已知ABC外接圆半径R=，f（A）+f（B）=4sinAsinB，角A，B所对的边分别是a，b，求+的值19已知全集U=R，非空集合A=x|0，B=x|0（）当a=时，求（UBA）；（）命题p：xA，命题q：xB，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围20已知函数（I）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（II）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间上的值域21已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（x2+ax3）ex
6、（a为实数）（）当a=5时，求函数y=g（x）在x=1处的切线方程；（）求f（x）在区间t，t+2（t0）上的最小值；（）若存在两不等实根x1，x2，e，使方程g（x）=2exf（x）成立，求实数a的取值范围2015-2016学年湖南省长沙市浏阳一中高三（上）入学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1全称命题：xR，x20的否定是（）AxR，x20BxR，x20CxR，x20DxR，x20【考点】命题的否定【专题】阅读型【分析】欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：“”；：“”即可，据此分析选项可得答案【解答】解：命题：xR，x20的否定是：xR
7、，x20故选D【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“”的否定用“”了这里就有注意量词的否定形式如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”2设xR，则“x23x0”是“x4”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】计算题【分析】解不等式可得x0或x3，由集合x|x4是集合x|x0或x3的真子集可得答案【解答】解：由x23x0可解得x0或x3，因为集合x|x4是集合x|x0或x3的真子集，故“x23x0”是“x4”的必要不充分条件，故
8、选B【点评】本题考查充要条件的判断，转化为集合与集合的关系是解决问题的关键，属基础题3下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）Af（x）=Bf（x）=Cf（x）=2x2xDf（x）=tanx【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数的解析式及基本初等函数的性质，逐一分析出四个函数的单调性和奇偶性，即可得到答案【解答】解：A中，f（x）=是奇函数，但在定义域内不单调；B中，f（x）=是减函数，但不具备奇偶性；C中，f（x）2x2x既是奇函数又是减函数；D中，f（x）=tanx是奇函数，但在定义域内不单调；故选C【点评】本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，熟
9、练掌握基本初等函数的性质，及函数奇偶性和单调性的定义是解答的关键4已知sin+cos=，则sin2的值为（）ABCD【考点】三角函数的化简求值【专题】三角函数的求值【分析】利用平方关系，结合二倍角的正弦函数求解即可【解答】解：sin+cos=，可得1+sin2=，sin2=故选：D【点评】本题考查三角函数的化简求值，二倍角公式的应用，考查计算能力5对x1，x2（0，），若x2x1，且y1=，y2=，则（）Ay1=y2By1y2Cy1y2Dy1，y2的大小关系不能确定【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】导数的综合应用【分析】构造函数f（x）=，x（0，），需要两次求导判定函数的单调性即可得到
10、【解答】解：设函数f（x）=，x（0，），则f（x）=，令u（x）=xcosx（1+sinx），则u（x）=cosxxsinxcosx=xsinx0，u（x）在x（0，）单调递减，u（x）u（0）=10，f（x）0，函数f（x）在x（0，）单调递减，x2x1，y1=y2=，【点评】本题考查了构造函数法、利用导数研究函数的单调性证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6函数向左平移个单位后是奇函数，则函数f（x）在上的最小值为（）ABCD【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】计算题；三角函数的图像与性质【分析】根据图象变换规律，把
11、函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位得到函数y=sin（2（x+）的图象，要使所得到的图象对应的函数为奇函数，求得的值，然后函数f（x）在上的最小值【解答】解：把函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位得到函数y=sin（2x+）的图象，因为函数y=sin（2x+）为奇函数，故+=k，因为，故的最小值是所以函数为y=sin（2x）x，所以2x，x=0时，函数取得最小值为故选A【点评】本题考查了三角函数的图象变换以及三角函数的奇偶性，三角函数的值域的应用，属于中档题7已知f（x）=，abc，且f（a）=f（b）=f（c）=0，现给出如下结论：f（0）f（1）0；f（0）f（1）0；f
12、（0）f（2）0；f（0）f（2）0其中正确结论的序号为（）ABCD【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的零点【专题】函数的性质及应用【分析】先求出f（x），再进行因式分解，求出f（x）0和f（x）0对应x的范围，即求出函数的单调区间和极值，再由条件判断出a、b、c的具体范围和f（1）0且f（2）0，进行求解得到abc的符号，进行判断出f（0）的符号【解答】解：由题意得，f（x）=3x29x+6=3（x1）（x2），当x1或x2时，f（x）0，当1x2时，f（x）0，函数f（x）的增区间是（，1），（2，+），减区间是（1，2），函数的极大值是f（1）=，函数的极小值是f（2）=2abc，a
13、bc，且f（a）=f（b）=f（c）=0，a1b2c，f（1）0且f（2）0，解得2，f（0）=abc0，则f（0）f（1）0、f（0）f（2）0，故选D【点评】本题考查了函数的零点与方程的根关系，利用导数求出函数的单调区间和极值等，考查了分析、解决问题的能力8给出如下四个命题：若“pq”为假命题，则p，q均为假命题；命题“若ab，则2a2b1”的否命题为“若ab，则2a2b1”；命题“任意xR，x2+10”的否定是“存在x0R，”；在ABC中，“AB”是“sinAsinB”的充要条件其中不正确命题的个数是（）A4B3C2D1【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假【专题】综合题【分析】若
14、“pq”为假命题，则p、q至少一个是假命题，所以错误；“若ab，则2a2b1”的否命题为“若ab，则2a2b1”；所以正确；“任意xR，x2+10”的否定是“存在x0R，”；所以正确；ABC中，“AB”“ab”；由正弦定理得“ab”“sinAsinB”；“AB”“sinAsinB”所以正确；【解答】对于，若“pq”为假命题，所以p、q至少一个是假命题，所以错误；对于，命题“若ab，则2a2b1”的否命题为“若ab，则2a2b1”；所以正确；对于，命题“任意xR，x2+10”的否定是“存在x0R，”；所以正确；对于，ABC中，“AB”“ab”；由正弦定理得“ab”“sinAsinB”；“AB”“
15、sinAsinB”所以正确；所以其中不正确命题的个数是1故选D【点评】本题考查复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系：“pq”有假则假，全真则真；：“pq”有真则真，全假则假；“p”真假相反；考查命题的否定与否命题的区别以及考查三角形中正弦定理9已知奇函数f（x）在1，0上为单调递减函数，又，为锐角三角形两内角，下列结论正确的是（）Af（cos）f（cos）Bf（sin）f（sin）Cf（sin）f（cos）Df（sin）f（cos）【考点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质【专题】函数的性质及应用【分析】由“奇函数y=f（x）在1，0上为单调递减函数”可知f（x）在0，1上为单调递减函数
16、，再由“、为锐角三角形的两内角”可得到+，转化为0，两边再取正弦，可得1sinsin（）=cos0，由函数的单调性可得结论【解答】解：奇函数y=f（x）在1，0上为单调递减函数f（x）在0，1上为单调递减函数，f（x）在1，1上为单调递减函数，又、为锐角三角形的两内角，+，0，1sinsin（）=cos0，f（sin）f（cos），故选：D【点评】题主要考查奇偶性和单调性的综合运用，还考查了三角函数的单调性属中档题10设函数f（x）=xsinx+cosx的图象在点（t，f（t）处切线的斜率为k，则函数k=g（t）的部分图象为（）ABCD【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】先对函数f（x）进
17、行求导运算，根据在点（t，f（t）处切线的斜率为在点（t，f（t）处的导数值，可得答案【解答】解：f（x）=xsinx+cosxf（x）=（xsinx）+（cosx）=x（sinx）+（x）sinx+（cosx）=xcosx+sinxsinx=xcosxk=g（t）=tcost根据y=cosx的图象可知g（t）应该为奇函数，且当x0时g（t）0故选B【点评】本题主要考查函数的导数和在某点处切线斜率的关系属基础题二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11已知角的终边上一点的坐标为（sin，cos），则角的最小正值为【考点】任意角的三角函数的定义【专题】三角函数的求值【分析】由条件利用任意
18、角的三角函数的定义求得tan的值，可得角的最小正值【解答】解：角的终边上一点的坐标为（sin，cos），即（，），则由任意角的三角函数的定义，可得tan=，则角的最小正值为，故答案为：【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，根据三角函数的值求角，属于基础题12设函数f（x）=，若f（a）=4，则a的值等于2【考点】函数的零点【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】利用分段函数，结合f（a）=4，求出a的值【解答】解：a3时，a2a+2=4，a=1或2，不合题意；a3时，2a=4，a=2，合题意故答案为：2【点评】本题考查函数值的计算，正确运用分段函数是关键13coscos+cossin的值
19、是【考点】两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数【专题】三角函数的求值【分析】由条件利用诱导公式、两角和的正弦公式求得所给式子的值【解答】解：coscos+cossin=sincos+cossin=sin（+）=sin=，故答案为：【点评】本题主要考查诱导公式、两角和的正弦公式的应用，属于基础题14已知函数f（x）=f（）sinx+cosx，则f（）=0【考点】导数的运算【专题】导数的概念及应用【分析】求函数的导数，先求出f（）的值即可得到结论【解答】解：函数的导数为f（x）=f（）cosxsinx，令x=，得f（）=f（）cossin=1，则f（x）=sinx+cosx，则f（）=sin
20、+cos=，故答案为：0【点评】本题主要考查函数值的计算，求函数的导数，求出f（）的值是解决本题的关键15定义在R上的偶函数f（x），且对任意实数x都有f（x2）=f（x），当x0，1时，f（x）=x2，若在区间1，3内，函数g（x）=f（x）kxk有4个零点，则实数k的取值范围是（0，【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质；根的存在性及根的个数判断【专题】函数的性质及应用【分析】由题意可得函数是周期等于2的函数，当x0，1时，f（x）=x2，可得当x1，0时，f（x）=x2再由函数g（x）=f（x）kxk有4个零点，可得函数f（x）的图象和直线y=kx+k=k（x+1）有4个交点，数形结合可
21、得则实数k的取值范围【解答】解：由函数满足对任意实数x都有f（x2）=f（x），可得函数是周期等于2的函数再根据f（x）是偶函数，当x0，1时，f（x）=x2，可得当x1，0时，f（x）=x2函数g（x）=f（x）kxk有4个零点，可得函数f（x）的图象和直线y=kx+k=k（x+1）有4个交点，如图所示：则由题意可得，A（1，0）、D（3，1），且 0kkAD=，则实数k的取值范围是（0，【点评】本题主要考查函数的奇偶性和周期性的应用，函数的零点和方程的根的关系，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题三解答题（本大题共6小题共75分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16记函数
22、f（x）=lg（x2x2）的定义域为集合A，函数的定义域为集合B（1）求AB和AB；（2）若C=x|4x+p0，CA，求实数p的取值范围【考点】并集及其运算；集合的包含关系判断及应用；交集及其运算【专题】计算题【分析】（1）利用真数大于零、偶次根式的被开方数非负列不等式是解决本题的关键；准确求解一元二次不等式、含绝对值的不等式是解决本题的前提（2）用字母p表示出集合C，借助数轴分析列出关于实数p的不等式是解决本题的关键【解答】解：（1）依题意，得A=x|x2x20=x|x1或x2，B=x|3|x|0=x|3x3，AB=x|3x1或2x3，AB=R（2）由4x+p0，得，而CA，p4【点评】本小
23、题主要考查了函数定义域的求解，不等式的基本解法，集合交并运算的求解考查学生等价转化的思想、数形结合的思想17已知幂函数f（x）=x（mz）为偶函数，且在区间（0，+）上是单调增函数（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=f（x）+ax3+x2b（xR），其中a，bR若函数g（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；幂函数的概念、解析式、定义域、值域【专题】计算题；函数思想；方程思想；导数的综合应用【分析】（1）利用f（x）在区间（0，+）上是单调增函数，推出m的不等式没任何求出m值，求出函数的解析式（2）求出函数的g（x），为使g（x）仅在x=0处有极
24、值，必须x2+3ax+90恒成立，然后求出a的范围【解答】解：（1）f（x）在区间（0，+）上是单调增函数，m2+2m+30，即m22m30，1m3，又mZ，m=0，1，24分而m=0，2时，f（x）=x3不是偶函数，m=1时，f（x）=x4是偶函数，f（x）=x46分（2）g（x）=x（x2+3ax+9），显然x=0不是方程x2+3ax+9=0的根为使g（x）仅在x=0处有极值，必须x2+3ax+90恒成立，8分即有=9a2360，解不等式，得a2，211分这时，g（0）=b是唯一极值a2，212分【点评】本题考查函数的极值的求法，函数的恒成立条件的应用，考查转化思想以及计算能力18已知函数
25、f（x）=msinx+cosx，（m0）的最大值为2（）求函数f（x）在0，上的值域；（）已知ABC外接圆半径R=，f（A）+f（B）=4sinAsinB，角A，B所对的边分别是a，b，求+的值【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数【专题】解三角形【分析】（）由题意可得=2，求得m的值，可得f（x）=2sin（x+），再利用正弦函数的定义域和值域、单调性，求得函数f（x）在0，上的值域（）利用正弦定理化简 f（A）+f（B）=4sinAsinB可得2R（a+b）=2ab，根据ABC的外接圆半径为R=，求得+的值【解答】解：（）由题意，f（x）的最大值为=2而m0，于是m=，f（x）=2sin（
26、x+）由于函数在0，上递增，在，递减，故当x=时，函数取得最大值为2；当x=时，函数取得最小值为，函数f（x）在0，上的值域为，2（）f（A）+f（B）=4sinAsinB，由正弦定理，可得2R（a+b）=2ab，ABC的外接圆半径为R=，a+b=ab，=【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的定义域和值域，正弦定理的应用，属于中档题19已知全集U=R，非空集合A=x|0，B=x|0（）当a=时，求（UBA）；（）命题p：xA，命题q：xB，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围【考点】交、并、补集的混合运算【专题】计算题【分析】（）先求出集合A、B，再求出CUB，借助数轴求出，（C
27、UB）A（）由题意知，pq，可知AB，B=x|axa2+2对于集合A，其解集的端点是 3a+1和2，大小有三种情况，在每种情况下，求出集合A，借助数轴列出AB时区间端点间的大小关系，解不等式组求出a的范围【解答】解：（）当时，（2分）CUB=，（CUB）A=（4分）（）由q是p的必要条件，即pq，可知AB（6分）由a2+2a，得 B=x|axa2+2（8分）当3a+12，即时，A=x|2x3a+1，再由，解得当3a+1=2，即a=时，A=，不符合题意；当3a+12，即时，A=x|3a+1x2，再由，解得综上，（12分）【点评】本题考查2个集合间的交、并、补运算方法以及AB时2个区间端点之间的大
28、小关系（借助数轴列出不等关系），体现了分类讨论的数学思想20已知函数（I）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（II）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间上的值域【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦；函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】三角函数的图像与性质【分析】（I）f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦哈斯公式化简，后两项变形后利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出的值代入周期公式即可求出函数的最小正周期，根
29、据正弦函数的单调递增区间即可得到f（x）的递增区间；（II）由第一问确定的f（x）解析式，利用平移规律得到平移后的函数解析式g（x），由x的范围求出4x的范围，求出g（x）的最小值与最大值，即可得出g（x）的值域【解答】解：（I）f（x）=2sinxcosx+2sin2x1=sin2xcos2x=2sin（2x），函数f（x）的最小正周期为T=；由+2k2x+2k，kZ，解得：+kx+k，kZ，则f（x）的单调递增区间为+k， +k，kZ；（II）函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，得到y=2sin（4x），再把所得的图象向左平移个单位得到g（x）=2cos4x，
30、当x，时，4x，当x=0时，g（x）max=2；当x=时，g（x）min=1，y=g（x）在区间，上的值域为1，2【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的单调性，余弦函数的定义域与值域，以及平移规律，熟练掌握公式是解本题的关键21已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（x2+ax3）ex（a为实数）（）当a=5时，求函数y=g（x）在x=1处的切线方程；（）求f（x）在区间t，t+2（t0）上的最小值；（）若存在两不等实根x1，x2，e，使方程g（x）=2exf（x）成立，求实数a的取值范围【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函
31、数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的综合应用【分析】（）把a=5代入函数g（x）的解析式，求出导数，得到g（1）和g（1），由直线方程的点斜式得切线方程；（）利用导数求出函数f（x）在t，t+2上的单调区间，求出极值和区间端点值，比较大小后得到f（x）在区间t，t+2（t0）上的最小值；（）把f（x）和g（x）的解析式代入g（x）=2exf（x），分离变量a，然后构造函数，由导数求出其在，e上的最大值和最小值，则实数a的取值范围可求【解答】解：（）当a=5时，g（x）=（x2+5x3）ex，g（1）=eg（x）=（x2+3x+2）ex，故切线的斜率为g（1）=4e切线方程为：
32、ye=4e（x1），即y=4ex3e；（）f（x）=lnx+1，xf（x）0+f（x）单调递减极小值（最小值）单调递增当时，在区间（t，t+2）上f（x）为增函数，f（x）min=f（t）=tlnt； 当时，在区间上f（x）为减函数，在区间上f（x）为增函数，； （） 由g（x）=2exf（x），可得：2xlnx=x2+ax3，令，x1（1，e）h（x）0+h（x）单调递减极小值（最小值）单调递增，h（1）=4，h（e）=使方程g（x）=2exf（x）存在两不等实根的实数a的取值范围为【点评】本题考查了导数在求函数最值中的应用，关键在于由导函数的符号确定原函数的单调性，考查利用构造函数法求解含字母系数的范围问题，解答的技巧是分类字母系数，是高考试卷中的压轴题