1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法第1课时综 合 法导思1.什么是综合法？2如何利用综合法解决问题？综合法(1)定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法(2)框图表示：用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：(1)合情推理得到的结论为什么要证明？提示：归纳推理和类比推理可以发现很多新的结论，但这些结论都不一定正确，需要进一步证明
2、(2)求差比较两个数的大小是不是综合法？提示：是，这是利用两个实数的大小与差的符号间的关系证明两个数的大小1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)综合法是演绎推理()提示：综合法的推理过程是演绎推理，它的每一步推理都是严密的逻辑推理，得到的结论是正确的(2)综合法是“由果索因”()提示：综合法是由因导果(3)应用综合法证明数学命题实际上是寻求使命题成立的充分条件()提示：应用综合法证明数学命题实际上是寻求使命题成立的必要条件2若1x10，下面不等式正确的是()A.(lg x)2lg x2lg (lg x) Blg x2(lg x)2lg (lg x)C.(lg x)2lg (lg x)lg
3、x2 Dlg (lg x)(lg x)2lg x2【解析】选D.因为1x10，所以0lg x1，于是0(lg x)2lg x0.又lg (lg x)0，所以lg (lg x)(lg x)20，则lg .【思路导引】由基本不等式，可得0，再根据对数函数的单调性得lg lg ，利用对数的运算性质，即可求解【证明】由题意，当a，b0时，有0，根据对数函数的单调性，可得lg lg ，所以lg lg ab，所以lg .2已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc.【证明】因为a，b，c是正数，所以b2c22bc，所以a(b2c2)2abc.同理，b(c2a2
4、)2abc，c(a2b2)2abc.因为a，b，c不全相等，所以b2c22bc，c2a22ca，a2b22ab三式中不能同时取到“”所以式相加得a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc. 综合法证明不等式的主要依据综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有以下几个：a20(aR)；(ab)20(a，bR)，其变形有a2b22ab，ab，a2b2；若a，b(0，)，则，特别地，2；a2b2c2abbcac(a，b，cR)，由不等式a2b22ab，a2c22ac，b2c22bc，易得a2b2c2abbcac，此结论是一个重要的不等式，在不等式的证明中使
5、用频率很高；(abc)2a2b2c22(abbcac)，体现了abc，a2b2c2与abbcac这三个式子之间的关系类型二用综合法解决三角问题(逻辑推理、数学抽象)【典例】1.在ABC中，三边a，b，c成等比数列，求证：a cos2c cos2b.【解析】因为a，b，c成等比数列，所以b2ac.因为左边(ac)(a cos Cc cos A)(ac)(ac)bbb右边，当且仅当ac时取等号，所以a cos 2c cos 2b.2证明：sin(2)sin 2sin cos ().【解析】因为sin (2)2sin cos ()sin ()2sin cos ()sin ()cos cos ()si
6、n 2sin cos ()sin ()cos cos ()sin sin ()sin .所以原命题成立【思路导引】1利用降幂公式化简a cos2c cos2，再结合余弦定理证明.2配凑角：2()，展开左边即可 证明三角等式的主要依据(1)三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式(2)和、差、倍角的三角函数公式(3)三角形中的三角函数及三角形内角和定理(4)正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin2 15cos2 15sin 15cos 15；sin2 18cos2 12sin 1
7、8cos 12；sin2(18)cos2 48sin(18)cos 48；sin2(25)cos2 55sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论【解析】(1)选择式，计算如下：sin215cos215sin15cos151sin301.(2)方法一：三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos (30).证明如下：sin2 cos2(30)sin cos (30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2co
8、s2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.方法二：三角恒等式为sin2 cos2(30)sin cos (30).证明如下：sin2 cos2(30)sin cos (30)sin (cos 30cos sin30sin )cos 2(cos 60cos 2sin60sin 2)sin cos sin2cos2cos 2sin 2sin 2(1cos 2)1cos 2cos 2.类型三用综合法证明立体几何问题(直观想象、逻辑推理)【典例】如图所示，在四面体P ABC中，ABC90，PAPBPC，D是AC的中点，求证PD垂直于平面ABC.【思路导引】根据线面垂直的判定
9、定理，要证PD平面ABC，只需在平面ABC内找到两条相交的直线，使它们分别与PD垂直即可【证明】连接BD.因为BD是RtABC斜边上的中线，所以DADBDC.又PAPBPC，且PD为PAD，PBD，PCD的公共边，所以PADPBDPCD，于是PDAPDC90，所以PDB90，所以PDAC，PDBD.因为ACBDD，所以PD平面ABC. 综合法证明问题的步骤如图所示，在四棱锥P ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点(1)求证：CDAE.(2)求证：PD平面ABE.【证明】(1)在四棱锥P ABCD中，因为PA底面ABCD，CD平面ABCD，故
10、PACD.因为ACCD，PAACA，所以CD平面PAC，而AE平面PAC，所以CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA，因为E是PC的中点，所以AEPC.由(1)知，AECD，且PCCDC，所以AE平面PCD.而PD平面PCD，所以AEPD.因为PA底面ABCD，BA平面ABCD，所以PABA，又因为ABAD，且PAADA，所以AB平面PAD，而PD面PAD，所以PDAB，又因为ABAEA，所以PD平面ABE.【补偿训练】如图所示，在四棱锥P ABCD中，ABCACD90，BACCAD60，E为PD的中点，AB1，求证：CE平面PAB.【证明】由已知条件有AC2AB2，AD2A
11、C4，CD2.如图所示，延长DC，AB，设其交于点N，连接PN，因为NACDAC60，ACCD，所以C为ND的中点，又因为E为PD的中点，所以ECPN，因为EC平面PAB，PN平面PAB，所以CE平面PAB. 1(2021贵阳高二检测)设x1，x2是方程x2px40的两个不相等的实数根，则()A2，且2B4D4，且16【解析】选C.由方程有两个不等实根知p2160，所以4.又x1x2p，所以|x1x2|p|4.2已知函数f(x)lg ，若f(a)b，则f(a)等于()AbBbCD【解析】选B.函数f(x)的定义域为x|1x1，且f(x)f(x)，所以函数f(x)为奇函数，所以f(a)f(a)b.3设A，B，则A_B(填“”或“”).【解析】由A，B，因为，可得，所以AB.故填AB.答案：4已知a，b，m是正数，求证：.【证明】由(ab)24ab，得，即，同理可得，三式相加即可得证5(2021成都高二检测)已知a、b、cR，(1)求证：4；(2)求证：9；(3)由(1)、(2)，将命题推广到一般情形(不作证明).【解析】(1)224(当且仅当ab1时取等号)；(2)339(当且仅当abc1时取等号)；(3)推广：已知a1，a2，anR则n2(当且仅当a1a2an1时取等号).关闭Word文档返回原板块