1、课堂导学 三点剖析1.两个向量数量积的坐标表示【例1】 已知向量a=(4,3),b=(-1,2).(1)求a与b的夹角的余弦值；（2）若向量a-b与2a+b垂直，求的值.解：(1)ab=4(-1)+32=2,又|a|=5,|b|=,cos=.(2)a-b=(4+,3-2),2a+b=(7,8).(a-b)(2a+b),(a-b)(2a+b)=0.7(4+)+8(3-2)=0.=.温馨提示 运用数量积解决有关角度、长度、垂直问题的关键是正确地使用运算公式.2.数量积坐标表示的应用【例2】已知a、b是两个非零向量，同时满足|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.思路分析：根据向量夹角公式得
2、：cos=,须根据已知条件找到ab与a的关系.|a+b|与|a|的关系即可解决.解法1：根据|a|=|b|,有|a|2=|b|2.又由|b|=|a-b|,得|b|2=|a|2-2ab+|b|2,ab=|a|2.而|a+b|2=|a|2+2ab+|b|2=3|a|2,|a+b|=|a|.设a与a+b的夹角为，则cos=.=30解法2：设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).|a|=|b|,x12+y12=x22+y22.由|b|=|a-b|,得x1x2+y1y2=(x12+y12).即ab=(x12+y12).由|a+b|2=2(x12+y12)+2(x12+y12)=3(x12+y12)
3、,得|a+b|=.设a与a+b的夹角为,则cos=.=30.解法3：根据向量加法的几何意义，作图如右图在平面内任取一点O，作=a，=b，以、为邻边作平行四边形OACB.|a|=|b|,即|=|，平行四边形OACB为菱形，OC平分AOB.这时=a+b，=a-b.而|a|=|b|=|a-b|,即|=|=|.AOB为正三角形，则AOB=60.于是AOC=30,即a与a+b的夹角为30.温馨提示 基于平面向量的表示上的差异,也就是表示方法的不同，才产生了以上三种不同解法.对于本题的三种解法都要认真理解.3.平面向量数量积坐标表示的综合应用【例3】已知A（2，1），B（3，2），D（-1，4）.（1）求
4、证：；（2）若四边形ABCD是矩形，试确定点C的坐标并求该矩形的两对角线所成的锐角的余弦值.思路分析：本题主要考查向量垂直的等价条件及夹角公式.要证明，只需证=0.在的前提下，只要找点C使=.(1)证明：A(2,1),B(3,2),D(-1,4),=(1,1),=(-3,3),又=1(-3)+13=0,.(2)解：四边形ABCD为矩形且ABAD，=.设点C的坐标为（x,y）,则（-3，3）=（x-3,y-2）,点C坐标为（0,5）.又=（-2，4），=（-4，2），=（-2）(-4)+42=16,而|=，|=.设与的夹角为，则cos=.该矩形两对角线所成锐角的余弦值为.温馨提示(1)注意区分两
5、向量平行与垂直的条件.(2)向量的运算可以用坐标表示，向量中的位置关系（平行和垂直）也可用坐标表示，向量中的度量（模长和夹角）也可用坐标表示，而且使用起来非常方便，所以同学们要熟练掌握利用坐标法解决有关问题.各个击破类题演练1已知a=(k,-2),b=(2k,k+1),求实数k的值,使ab.解：(1)ab,ab=0.k2k+(-2)(k+1)=0,k2-k-1=0.k=.变式提升1（2005重庆文，4）设向量a=(-1,2),b=(2,-1),则（ab)(a+b）等于（ ）A.（1，1） B.（-4，-4） C.-4 D.（-2，-2）解析：（ab)(a+b）=-12+2（-1）（-1+2，2
6、-1）=-4（1，1）=（-4，-4）.答案：B类题演练2已知：a=(cos,sin),b=(cos,sin)(0),求证：a+b与a-b互相垂直.证法1：a=(cos,sin),b=(cos,sin),(a+b)=(cos+cos,sin+sin),(a-b)=(cos-cos,sin-sin).又（a+b)(a-b）=(cos+cos)(cos-cos)+(sin+sin)(sin-sin)=cos2-cos2+sin2-sin2=0,(a+b)(a-b).证法2：a=(cos,sin),b=(cos,sin),|a|2=cos2+sin2=1,|b|2=cos2+sin2=1.|a|2=
7、|b|2.(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0,(a+b)(a-b).变式提升2（1）已知向量a=(4,-3),b=(2,1)，若a+tb与b的夹角为45，求实数t的值.解：a+tb=(4,-3)+t(2,1)=(4+2t,t-3),(a+tb)b=(4+2t,t-3)(2,1)=5t+5.|a+tb|=由（a+tb）b=|a+tb|b|cos45,得5t+5=,即t2+2t-3=0,t=-3或t=1.经检验知t=-3不合题意，舍去,t=1.（2）如右图所示以原点和A（5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB，使OBA=90,求点B和向量的坐标.解：设B点坐标为(x,y),则=
8、（x,y）,=(x-5,y-2).,x(x-5)+y(y-2)=0.x2+y2-5x-2y=0又|=|,x2+y2=(x-5)2+(y-2)2,即10x+4y=29.由，得或B点坐标为（，）或（，）.=(,-)或=（-，）.类题演练3已知直角三角形的两直角边长分别为4和6，试用向量方法求两直角边中线所成钝角的余弦值.解：建立如右图所示的坐标系，则A（4，0），B（0，6），E（2，0），F（0，3）.=(-4,3),=(2,-6),|=5,| |=,cosAOB=两中线所成钝角的余弦值为.变式提升3（1）直角坐标平面xOy中,若定点A（1，2）与动点P（x,y）满足=4，则P点的轨迹方程是_.解析：=（x,y）(1,2)=x+2y=4.答案：x+2y=4(2)已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A（1，2），B（4，1），C（0，-1），则ABC的形状为（ ）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.A、B、C均不正确解析：=（3，-1），=（-1，-3）,=3(-1)+(-1)(-3)=0,又|=|=,ABC为等腰直角三角形.答案：C