1、真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华第1讲 三角函数的图象与性质 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华高考定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查.2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华真 题 感 悟 1.(2015山东卷)要得到函数 ysin4x3 的图象，只需将函数 ysin 4x 的图象()A.向左平移 12个单位B.向右平移
2、 12个单位C.向左平移3个单位D.向右平移3个单位解析 ysin4x3 sin4x 12，要得到函数 ysin4x3 的图象，只需将函数 ysin 4x 的图象向右平移 12个单位.B真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华2.(2015四川卷)下列函数中，最小正周期为 的奇函数是()A.ysin2x2B.ycos2x2C.ysin 2xcos 2xD.ysin xcos x解析 ysin2x2 cos 2x 为偶函数，ycos2x2 sin 2x是周期为的奇函数，故选 B.B真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华3.(2015全国卷)函数 f(x)cos(x)的部分图象如
3、图所示，则f(x)的单调递减区间为()A.k14，k34，kZB.2k14，2k34，kZC.k14，k34，kZD.2k14，2k34，kZ真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华解析 由图象知T254141，T2.，又 cos4 0，42，4，由 2kx42k，kZ，2k14x2k34，kZ，由选项知 D 正确.答案 D 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华4.(2015浙江卷)函数 f(x)sin2 xsin xcos x1 的最小正周期是_，最小值是_.解析 函数 f(x)sin2xsin xcos x11cos 2x212sin 2x122 sin2x4 32.最
4、小正周期为.最小值为3 22.答案 3 22真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华考 点 整 合 1.三角函数的图象及常用性质(表中kZ)ysin xycos xytan x图象增区间22k，22k2k，2k2k，2k真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华减区间22k，32 2k2k，2k无对称轴xk2xk无对称中心(k，0)2k，0k2，02.三角函数的两种常见变换 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华3.正弦型函数yAsin(x)的对称中心是函数图象与x轴的交点，对称轴是过函数图象的最高点或者最低点且与x轴垂直
5、的直线；正切型函数yAtan(x)的图象是中心对称图形，不是轴对称图形.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【例 11】(2015湖北卷)某同学用“五点法”画函数 f(x)Asin(x)0，|2 在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：热点一 三角函数的图象 微题型1 三角函数的图象变换及应用x02322x356Asin(x)0550真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数 f(x)的解析式；(2)将 yf(x)图象上所有点向左平移6个单位长度，得到 yg(x)的图象，求 yg(x)的图象离原点 O 最近的对称中心.解(
6、1)根据表中已知数据，解得 A5，2，6.数据补全如下表：x02322x123712561312Asin(x)05050真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华且函数表达式为 f(x)5sin2x6.(2)由(1)知 f(x)5sin2x6，因此 g(x)5sin2x6 6 5sin2x6.因为 ysin x 的对称中心为(k，0)，kZ.令 2x6k，解得 xk2 12，kZ.即 yg(x)图象的对称中心为k2 12，0，kZ，其中离原点 O 最近的对称中心为 12，0.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华探究提高 三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，
7、后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【例 12】(2015太原模拟)函数 yAsin(x)(0，|2，xR)的部分图象如图所示，则函数表达式为()A.y4sin8x4B.y4sin8x4C.y4sin8x4D.y4sin8x4微题型2 由三角函数图象求其解析式 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华解析 由图象知T26(2)8，T16，A4.2T 2168，y4sin8x.把点(6，0)代入得：860，得 34，y4sin8x34，又|2，y4sin8x4.答案 A 真题感悟考点
8、整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华探究提高 已知图象求函数 yAsinx(A0，0)的解析式时，常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求 A；由函数的周期确定；确定 常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【训练 1】已知函数 y2sin2x3.(1)用五点法作出一个周期内的图象；(2)说明 y2sin2x3 的图象可由 ysin x 的图象经过怎样的变换而得到.解(1)列表2x302322x612371256y02020真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升
9、华描点连线(2)把 ysin x 的图象向左平移3个单位，得到 ysinx3 的图象，再把所得到的函数图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到 ysin2x3 的图象，再把所得图象的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的 2 倍，得到 y2sin2x3 的图象.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【例 21】(2015西安第一中学模拟)设函数 f(x)2cos2 xsin 2xa(aR).(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)当 x0，6 时，f(x)的最大值为 2，求 a 的值，并求出 yf(x)(xR)的对称轴方程.热点二 三角函数的性质 微题型1 考查
10、三角函数的单调性、对称性 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华解(1)f(x)2cos2 xsin 2xa1cos 2xsin 2xa 2sin2x4 1a，则 f(x)的最小正周期 T22，且当 2k22x42k2(kZ)时 f(x)单调递增，即k38，k8(kZ)为 f(x)的单调递增区间.(2)当 x0，6 时，则42x4712，当 2x42，即 x8时 sin2x4 1.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华所以 f(x)max 21a2a1 2.由 2x4k2(kZ)，得 xk2 8(kZ)，即 xk2 8(kZ)为 f(x)的对称轴.探究提高 对于函数yAsi
11、n(x)(A0，0)单调区间的求解，其基本方法是将x作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为yAsin(x)的增区间(或减区间)，但是当A0，0时，需先利用诱导公式变形为yAsin(x)，则yAsin(x)的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【例 22】(2015济南模拟)设函数 f(x)sin2x2 3sin xcos xcos2x(xR)的图象关于直线 x 对称，其中，为常数，且 12，1.(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)若 yf(x)的图象经过点4，0，求函数 f(x)在 x0，2 上的值域.微
12、题型2 考查三角函数在闭区间上的最值(或值域)真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华解(1)因为 f(x)sin2x2 3sin xcos xcos2xcos2x 3sin 2x2sin2x6，由直线 x 是 yf(x)图象的一条对称轴，可得 sin26 1，所以 26k2(kZ)，即 k213(kZ).又 12，1，kZ，所以 k1，故 56.所以 f(x)的最小正周期是65.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(2)由 yf(x)的图象过点4，0，得 f4 0，即 2sin5626 2sin4 2，即 2，故 f(x)2sin53x6 2.x0，2，53x66，23，
13、函数 f(x)的值域为1 2，2 2.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华探究提高 求三角函数最值的两条思路：(1)将问题化为yAsin(x)B的形式，结合三角函数的性质或图象求解；(2)将问题化为关于sin x或cos x的二次函数的形式，借助二次函数的性质或图象求解.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【训练 2】(2015河南名校联考)已知函数 f(x)cos2x3 sin2xcos2x.(1)求函数 f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程；(2)设函数 g(x)f(x)2f(x)，求 g(x)的值域.解(1)f(x)12cos 2x 32 sin 2xcos
14、2xsin2x6.则 f(x)的最小正周期为，由 2x6k2(kZ)，得 xk2 3(kZ)，所以函数图象的对称轴方程为 xk2 3(kZ).真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(2)g(x)f(x)2 f(x)sin22x6 sin 2x6 sin2x6 12214.当 sin2x6 12时，g(x)取得最小值14，当 sin2x6 1 时，g(x)取得最大值 2，所以 g(x)的值域为14，2.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华1.(1)ysin x 与 ysin x 的单调性正好相反，ycos x 与 ycos x 的单调性也同样相反.(2)y|sin x|与
15、y|cos x|的周期是，ysin|x|不是周期函数，ycos|x|是周期函数.(3)对于函数 ytan x，不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间k2，k2(kZ)上为增函数.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华2.运用整体换元法求解单调区间与对称性类比 ysin x 的性质，只需将 yAsin(x)中的“x”看成 ysin x 中的“x”，采用整体代入求解.(1)令 xk2(kZ)，可求得对称轴方程；(2)令 xk(kZ)，可求得对称中心的横坐标；(3)将 x 看作整体，可求得 yAsin(x)的单调区间，注意 的符号.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华3.奇偶性(1)函数 yAsin(x)，xR 是奇函数 k(kZ)；函数yAsin(x)，xR 是偶函数 k2(kZ)；(2)函数 yAcos(x)，xR 是奇函数 k2(kZ)；函数 yAcos(x)，xR 是偶函数 k(kZ)；(3)函数 yAtan(x)，xR 是奇函数 k2(kZ).真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华4.已知函数 yAsin(x)B(A0，0)的图象求解析式(1)Aymaxymin2，Bymaxymin2.(2)由函数的周期 T 求，2T.(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.