1、周期性与对称性1. 函数周期性定义:若对任意,存在非零实数满足,则函数为周期为的周期函数;最小正周期:如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期。例题1、设是定义在R上以2为周期的偶函数,当时,则当时, 。例题2、设的定义为域R且,当时,;当时,则 。变式2.1 已知是定义在R上的偶函数,且,若当时,则 。变式2.2 设是定义在R上且周期为2的函数,在区间上,其中,若,则 。总结:常见周期函数模型(1) 对任意,若,则;(2) 对任意,若,则;(3) 若满足,则。例题3、函数对于任意实数满足,若,则 。例题4、函数的定义域为R,且对任意都有,若,则 。
2、变式4.1 函数对于任意都有的图像关于点(1,0)对称且,则 。变式4.2 定义在R上的奇函数满足,当时,设,则()A. B. C. D. 例题5 定义在R上的函数,则 。变式5.1 当时,;当时,;当时,则 。变式5.2 若函数对任意的都有,且,则 。2. 函数的对称性总结:的图像关于直线轴对称;的图像关于点中心对称例题6 已知在上递减,且为偶函数,则()A. B. C. D. 例题7 函数的对称中心为 。例题8 设,则 。例题9 已知函数满足,若函数与图像的交点为,则=()A. 0B. mC. 2mD. 4m变式9.1 已知函数的图像关于轴对称,若函数满足,则函数的对称中心为 。变式9.2 已知函数是奇函数,且函数的图像交点为,则 。总结:如果关于和对称,则;如果关于和对称,则;如果关于和对称,则。例题10 已知函数是定义在R上的奇函数,满足,若,则 。变式10.1 已知函数是定义在R上的奇函数,满足,且当时,若,则 。变式10.2 已知函数是定义在R上的偶函数,且为奇函数,当时,则