1、福建省北京师范大学泉州附属中学2020-2021学年高一数学下学期中考试仿真测试题一（含解析）1设P，A，B，C是球O表面上的四个点，若，且，则球O的体积为（ ）A48BC12D【答案】B【分析】由题知球为以2为棱长的正方体的外接球.【详解】，且球可看作以2为棱长的正方体的外接球，设半径为,，即，球O的体积.故选：B.【点睛】本题考查外接球体积的计算，解题的关键是求出半径，属于基础题.2在中，点满足，则的值为AB6CD8【答案】A【详解】解：中，点满足，故为的中点，故选：A.3已知复数（i为虚数单位），若是纯虚数，则实数a=（ ）A BCD3【答案】A【分析】利用是纯虚数，实部为，即可得的值.
2、【详解】，若是纯虚数，则，解得：.故选：A【点睛】本题主要考查了纯虚数的定义，属于基础题.4已知，且与的夹角为，则ABCD【答案】A【分析】解：，且与的夹角为，故，故选：A5.中，角A，B，C所对应的分别为a，b，c，且，若，则的面积的最大值是A. 1B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题由已知利用正弦定理可得，由余弦定理可得，结合范围，可求A的值；再利用余弦定理，基本不等式可求，当且仅当时，取等号，利用三角形的面积公式即可求解【解答】解：由正弦定理以及得：，整理得
3、，则，求得，因为，所以由余弦定理得，因为，所以，解得，当且且仅当时取等号，所以，即面积的最大值为故选B6.已知正方体的棱长为，是底面的中心，则异面直线与所成的角为ABCD【答案】A【分析】通过平移将问题变为与所成角；根据等腰三角形三线合一可知，从而得到所成角为.【详解】原题如下图所示： 异面直线与所成角即为与所成角连接，且为中点 异面直线与所成角为【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是通过平移利用相交直线所成角来求解，属于基础题.7在中，角，的对边分别为，若，则的最小值为ABCD【答案】C【详解】解：，由正弦定理及余弦定理得：，可得：，又，当且仅当，即时取等号，即的最小值为故选：8.如图
4、，三棱柱中，侧棱垂直于底面，底面三角形是正三角形，E是BC的中点由以下论断：与是异面直线；平面；与为异面直线，且；平面则这些论断正确的序号是 A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是理解清楚题设条件，根据所学的定理，定义对所面对的问题进行证明得出结论，考查空间想象能力以及推理谁的能力，属于中档题由题意，此几何体是一个直三棱柱，且其底面是正三角形，E是中点，由这些条件对四个选项逐一判断得出正确选项【解答】解：不正确，因为与在同一个侧面中，故不是异面直线；不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，所以，故不可能存在平面；正确，因为A
5、E，为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；又，所以，故正确；不正确，因为所在的平面与平面相交，且与交线不可能平行，故A平面不正确故选A9设，为复数，下列命题中正确的是A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】BC【详解】解：由复数的形式可知，选项错误；当时，有，又，所以，故选项正确；当时，则，所以，故选项正确；当时，则，可得，所以，故选项错误故选：BC10.已知三棱柱的侧棱和底面垂直，且所有顶点都在球O的表面上，侧面的面积为则正确的结论是 A. 若的中点为E，则/平面B. 若三棱柱的体积为，则到平面的距离为3C. 若是边长为2的等边三角形，则与平面所成的角为D. 若AB=AC=
6、BC，则球O体积的最小值为【答案】AD【解析】【分析】本题考查直线与平面的平行，直线与平面所成的角，点到平面的距离，锥体的体积公式，球体的体积公式，多面体的外接球等知识点属于中档题A中取BC的中点F，连接AF，BE，先利用三棱柱的结构特征和平面与平面平行的判定定理证得平面平面，在运用平面与平面平行的性质定理即可证得平面B中根据割补思想四棱锥的体积占三棱柱体积的，结合题设侧面的面积为即可求得到平面的距离C中根据是边长为2的等边三角形结合题设可得三棱柱为正三棱柱取的中点N，连结，根据平面与平面垂直的性质定理可证得，从而有为直线与平面所成的角，通过计算即可确定与平面所成的角D中由，三棱柱的侧棱和底面
7、垂直可得三棱柱为正三棱柱，设M，N分别是，的中心，连接MN，则球心O为MN的中点设三棱柱底面边长为a，高为h，则，通过计算可得外接球的半径从而确定球O体积的最小值【解答】解：A，取BC的中点F，连接AF，BE，EF三棱柱且，四边形为平行四边形，故BE，同理又，E.平面平面，平面，平面，故A正确B，若三棱柱的体积为，如图二示四棱锥的体积为三棱柱的侧棱和底面垂直三棱柱的各侧面均垂直与上下底面即有平面平面，设到直线的距离为m，由平面与平面垂直的性质定理知：到平面的距离为m又的面积为解得到平面的距离为2，故B错误C，若是边长为2的等边三角形，则三棱柱为正三棱柱平面平面取的中点N，连结则，又，故为直线与
8、平面所成的角在三角形中易得：，在面积为矩形中，在直角三角形中故C错误D，若，三棱柱的侧棱和底面垂直可得三棱柱为正三棱柱，设M，N分别是，的中心，连接MN，则球心O为MN的中点设三棱柱底面边长为a，高为h，则，外接球的半径R满足：当且仅当时取等号故球O的体积，所以D正确故选AD11中，为边上的一点，且满足，若为边上的一点，且满足，则下列结论正确的是AB的最大值为C的最小值为D的最小值为【答案】BD【详解】解：因为，所以，所以，因为、三点共线，所以，故错误；则，则，即最大值为，当且仅当，即，时取等号，故正确；，当且仅当时取等号，所以的最小值为，故错误；，当且仅当，时取等号，所以的最小值为，故正确故
9、选：BD12.如图，点P在正方体的面对角线上运动，则正确的结论是 A. 三棱锥的体积不变B. 平面C. D. 平面平面【答案】ABD【分析】本题主要考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想，属于中档题利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解【解答】解：对于A，由题意知，又平面，平面，从而平面，故BC上任意一点到平面的距离均相等，所以以P为顶点，平面为底面，则三棱锥的体积不变，故A正确；对于B，连接，易知，又平面，平面，故A平面，由A选项证明过程可知：平面，又，且、平面，所以平面平面，又平面，故平面，故B正确；对于C，由于平面，又平
10、面，所以，若，又，DP、平面DPC，则平面DCP，又平面DCP，故BC，则P为中点，与P为动点矛盾，故C错误；对于D，连接，BD，易知平面ABCD，平面ABCD，故AC，又正方形ABCD中，且，BD、平面，故AC平面，又平面，故DB，同理可得，又，AC、平面，可得平面，又平面，故平面平面，故D正确故选ABD13是虚数单位，复数【答案】解：复数，故答案为：14已如向量，满足，若，则的最大值为_；【答案】4【详解】设，则，所以，由二次函数性质可得，即：所以所以的最大值为.故答案为：4.15在中，则的值为【答案】【详解】解：在中，故，由余弦定理可知：，即，由正弦定理可知：，由题知，故答案为：16如图
11、，在边长为的正方形中，分别是边，上的两个动点，且，为的中点，则的最大值是_【答案】【分析】建立直角坐标系，设，然后根据得，再设，根据，表示出，进而表示出，换元之后利用基本不等式求解最值.【详解】以为坐标原点，以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，设，则由可得，所以可设，因为，由可得，所以设，则，即当时，取最大值，最大值为故答案为：.17已知，分别是内角，所对的边，且满足，若为边上靠近的三等分点，求：（1）求的值；（2）求的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据，利用正弦定理化简得到，再利用余弦定理求解；（2）根据，两边平方整理得到，再利用基本不等式求解.【详解】（1）因为， 由正弦
12、定理得，即，所以由余弦定理得得.（2）由题意得，两边平方得，整理得，即，而，于是，所以，即，当且仅当取等号.所以求的最大值是18的内角，的对边分别为，已知为锐角，（1）求；（2）若，且边上的高为，求的面积【答案】（1）/6 (2)【解析】解：（1）因为，所以，由余弦定理得，所以，即，由正弦定理得，所以，因为，故，由为锐角，（2）由题意得，所以，因为，所以，由余弦定理得，解得，所以19在三角形中，D是线段上一点，且，F为线段上一点（1）若，求的值；（2）求的取值范围；【答案】（1），（2）【分析】（1）根据平面向量基本定理，由题中条件，得到，从而可求出的值，进而可求得的值；（2）根据题意先求出，
13、设，再由平面向量数量积运算，即可求得结果【详解】解：（1）因为，所以，得，因为，所以，所以，（2）因为在三角形中，所以，所以，由题意得，所以，因为，所以，所以的取值范围为20已知函数的最大值为2，且的最小正周期为（）若，求的最小值和最大值；（）设的内角、的对应边分别为、，为的中点，若，求的面积【答案】（1） 2；- （2）解：，由题意得，即，则，因为，所以，因为，所以，所以，故函数的最大值2，最小值由得，由，得，由为三角形内角得，因为为的中点，所以，所以，所以，解得或（舍，故的面积21.某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB为地面，CD，CE为路灯灯杆，在E处安装路灯，且路
14、灯的照明张角已知 当M，D重合时，求路灯在路面的照明宽度MN；求此路灯在路面上的照明宽度MN的最小值【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，考查了正弦定理，余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题直接利用余弦定理和三角函数关系式的恒等变换的应用求出结果；利用余弦定理和正弦定理的应用及相关的运算的应用求出结果【答案】路灯在路面的照明宽度为；照明宽度MN的最小值为【解析】解：当重合时，由余弦定理知，所以，因为，所以，因为，所以，因为，所以，在中，由正弦定理可知，解得；易知E到地面的距离，由三角形面积公式可知，所以，又由余弦定理可知，当且仅当时，等号成
15、立，所以，解得22如图，在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，点，分别是棱，上的动点，且.（1）求证：；（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求直线与平面所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）设，过点作，使，连接，过作，且使，先证明四边形为为平行四边形，通过勾股定理得，进而得结果；（2）如图建立空间直角坐标系，根据锥体体积公式以及二次函数性质得，分别是棱，的中点时合乎题意，通过向量法即可得到线面角的正切值.【详解】不妨设，.（1）如图，过点作，使，连接，过作，且使，连接，.则四边形，为平行四边形，故，且，故四边形为为平行四边形，则.又，所以，即，则.（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴轴轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，.因为，所以当取最大值时，三棱锥的体积取得最大值.因为，所以当，即，分别是棱，的中点时，三棱锥的体积取得最大值，此时，.则，.设平面的法向量为，由得取，得，则.设直线与平面所成角为，则，所以.故直线与平面所成角的正切值为.