1、河北省衡水中学2019届高三数学上学期期末考试试题 文（含解析）第I卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法可求出集合，然后进行交集的运算即可【详解】因为，；故选：【点睛】本题考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，同时考查了一元二次不等式的求解，属于基础题2. 已知，且第三象限角，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由平方关系求出，再由商数关系求得【详解】，且第三象限角，故选：C【
2、点睛】本题考查同角间的三角函数关系，在应用平方关系求值时需确定角的范围3. 已知椭圆，若长轴长为8，离心率为，则此椭圆的标准方程为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据长轴长求出，由离心率为求出，从而求出，问题得解【详解】因为椭圆长轴长为8，所以，即，又离心率为，所以，解得：，则=，所以椭圆的标准方程为：故选D【点睛】本题主要考查了椭圆的性质，属于基础题4. 下列函数中，既是偶函数，又在内单调递增的函数为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用偶函数定义排除，再利用单调性排除，从而得到答案【详解】及不满足，所以它们不为偶函数，从而排除A.C又当时，=，此函数在内递
3、减，排除B故选D【点睛】本题考查了偶函数定义及函数单调性判断，属于基础题5. “”是“直线的倾斜角大于”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由直线的倾斜角大于得到不等式，求出的范围，从而利用充分条件，必要条件的定义得解【详解】设直线的倾斜角为，直线可化为，所以由直线的倾斜角大于可得：或，即：或，所以 或，但或 故选A【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件的概念，还考查了倾斜角与斜率的关系，属于基础题6. 设m，n是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】B【解析】
4、【分析】在正方体中举例来一一排除【详解】如下图正方体中，对于A，令直线，直线，平面,平面,但平面与平面不平行，所以A错误对于C，令直线，直线，平面,平面,但平面与平面不平行，所以C错误对于D，令直线，直线，平面,平面,但平面与平面不垂直，所以D错误故选B【点睛】本题主要考查了面面垂直，平行的判定，可在正方体中举例一一排除，或者直接证明某个选项正确7. 已知等差数列的前n项和为，若A. 22B. 33C. 44D. 55【答案】C【解析】【分析】由等差数列的通项公式表示出，得到，再表示出，整理得解【详解】设等差数列的首项为，公差为，则可化为：，整理得：，故选C【点睛】本题考查了等差数列的通项公式
5、及前项和公式，属于基础题8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】由三视图还原，可知该几何体是半圆柱,利用公式求其表面积即可【详解】由三视图还原，可知该几何体是半圆柱,半圆柱的底面半径为，高为2，=故选：A【点睛】本题主要考查了三视图-长对正、宽平齐、高相等得到实物图中的数据，由三视图还原实物图处理问题还考查了表面积计算，属于基础题9. 已知圆，过点M(1，1)的直线l与圆C交于A、B两点，弦长最短时直线l的方程为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】列出弦长：（圆心到直线的距离为），当最大时，最短，此时直线与MC连线垂直，
6、求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程即可【详解】由题可知圆，所以圆心为，半径为，设圆心到直线的距离为，直线得斜率为则，当直线与MC连线垂直时，最大为，此时最短，且所以直线得斜率为：，又，所以，所以直线的方程为：，即： 故选D【点睛】本题考查了圆的弦长计算，直线垂直关系及直线方程求法，还考查了转化思想及函数思想，属于中档题10. 已知函数，若函数在定义域R上单调递增，则实数的取值范围为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由函数在定义域R上单调递增列不等式组求解【详解】因为函数，若函数在定义域R上单调递增，则，解得：故选B【点睛】本题考查了分段函数的单调性，要保证各分段内是单调递增
7、，还要使得分界处满足递增特点11. 已知函数（且）图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】C【解析】【分析】由对数函数的图象得出点坐标，代入直线方程得的关系，从而用凑出基本不等式形式后可求得最小值【详解】令，点在直线上，则，即，当且仅当，即时等号成立故选：C【点睛】本题考查对数函数的性质，考查点在直线上，考查用基本不等式求最小值是一道综合题，属于中档题12. 如图，已知、双曲线的左、右焦点，A、B为双曲线上关于原点对称的两点，且满足，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】连接，得矩形，在直角中用表示出，然后
8、由双曲线的定义列式后求得离心率【详解】连接，由及双曲线的对称性知是矩形，由，则，离心率为，故选：A【点睛】本题考查求双曲线的离心率，列出关于关系式是题关键本题利用双曲线的对称性构造矩形，然后结合双曲线定义得出关系式，求得离心率第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题.每小题5分，共20分.13. 已知向量，若，则_.【答案】-2【解析】【分析】可先求出，根据即可得出，解出即可【详解】因为向量， 所以；故答案为：【点睛】考查向量坐标的加法和数乘运算，考查平行向量的坐标关系，属于基础题14. 已知实数满足约束条件则的最大值为_【答案】1【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目
9、标函数的几何意义，进行求最值即可【详解】由z=x-2y得 作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线，的截距最小，此时z最大，由 ，得A（1，0）代入目标函数z=x-2y，得z=1-20=1，故答案为1【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法15. 如图，在正方体中，直线与平面所成的角等于_【答案】【解析】【详解】正方体中，连接交于点M，连接，由题可得：，,所以直线平面,所以直线与平面所成的角等于,设正方体的边长为，所以，所以,所以【点睛】本题主要考查了线面角知识，关键是作出线面角对应的平面角，然后再说明该角就是
10、对应的线面角，根据图形解三角形即可16. 定义在R上的函数，满足时，则方程上的实数根之和为_【答案】【解析】【分析】由可判断函数是奇函数且函数图像关于直线对称，还可得函数是周期为4的函数，求方程在一个周期内的根，再利用周期性求得所有满足要求的实数根，问题得解【详解】因为，所以=，即：所以函数的周期为4时，所以当时，因为函数在上单调递增，所以在上有且只有一解，时，无解即内只有一解：因为函数满足：所以函数的图像关于直线对称，可得：所以在内的解有两个，即在一个周期内满足的解有两个，由函数的周期为4可得：，所以方程上的实数根分别为，其和为：.【点睛】本题主要考查了奇函数的定义，函数的轴对称性及单调性，
11、周期性，考查了转化思想只需要求出一个周期内的满足的解即可利用周期性求出所有的解，从而解决问题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数(1)求函数的单调递增区间；(2)将函数的图象向右平移个单位，在纵坐标不变的前提下，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，求函数的最值【答案】（1） ； （2） .【解析】【分析】（1）化简函数为，求出使得最大的一个自变量，利用正弦型函数图像的特点写出单调增区间即可（2）求出将函数的图象向右平移个单位，横坐标缩短为原来的倍后得到的函数的表达式，再利用正弦函数性质求出函数的最值即可【详解】（1）因为，所以=,令，解得： ，即，所
12、以函数的单调递增区间为：（2）函数的图象向右平移个单位，横坐标缩短为原来的倍后得到：，所以，当时，此时的最大值为，最小值为【点睛】（1）本题考查了（或）类型函数的单调区间问题，先利用条件确定好，再求出使的的值，从往前半个周期即是函数的一个增区间，从往后半个周期即是函数的一个减区间，即可求得函数的增区间为，函数的减区间为（2）考查了平移，伸缩变换知识，还考查了三角函数的性质，转化思想属于中档题，计算要认真18. 已知数列的前n项和为，且(1)求证：数列是等比数列；(2)记，求数列的前n项和【答案】（1）见解析； （2）.【解析】【分析】（1）利用赋值法列方程，作差，变形即可证明（2）利用条件（1
13、）求出，从而求出，根据形式，利用列项相消法求和【详解】（1）因为，所以，两方程作差得：，整理得：，从而，所以数列是等比数列，公比为（2）令，则可化为：，解得：，因为数列是等比数列，所以，所以，所以=，所以=，所以=【点睛】（1）主要考查了赋值法，法及等比数列概念，注意计算不要错误（2）考查了等比数列的通项公式及对数运算，裂项相消法求和法，注意常见的裂项方式19. 已知分别为三个内角A，B，C的对边，且(1)求cosA的值；(2)若是BC边上一点，且满足BD=3DC，求的面积【答案】（1） ； （2） .【解析】【分析】（1）将化简可得：，再化简可得，从而求得（2）求得，根据BD=3DC，求得的
14、比例关系，从而求解【详解】（1）由正弦定理可得：，代入可得：，整理得：，所以，即，整理得：.（2）因为，所以，所以，因为BD=3DC，所以，所以【点睛】（1）主要考查了正弦定理及两角和的正弦公式，计算比较简单（2）主要考查了同角三角函数基本关系，三角形面积公式及转化思想20. 如图1，菱形ABCD中，AB=2，以对角线BD为折痕把ABD折起，使点A到达如图2所示点E的位置，使.(1)求证：；(2)求三棱锥EBCD的体积【答案】（1）见解析； （2） .【解析】分析】（1）先证明,再证明平面,从而证明（2）把三棱锥EBCD拆分成两个三棱锥，求体积和即可【详解】（1）菱形ABCD中可得：，以对角线
15、BD为折痕把ABD折起，使点A到达如图2所示点E的位置，则，,又交于点，所以平面，又平面，所以（2）由（1）得平面，所以,菱形ABCD中，AB=2，求得：,所以=【点睛】（1）主要考查了线面垂直的判定及线面垂直的性质，考查了转化思想（2）主要考查了分割求和方法及体积计算，转化思想，属于基础题，计算一定要细心21. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且，直线AO，BO分别交直线于点M，N.(1)求抛物线C的方程；(2)求的最小值【答案】（1） ； （2）2 .【解析】【分析】（1）设，及直线的方程为：，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理表示出，从而表示出，代入即可
16、求得，问题得解（2）表示出直线的方程，从而表示出点的坐标，从而表示出，消元即可得到的函数表达式，从而转化成求函数的最小值即可【详解】（1）抛物线的焦点为F，设直线的方程为：，联立直线与抛物线的方程可得：，整理得：，所以，=，因为，且，所以，即，解得：所以抛物线C的方程为：（2）直线的方程为：，直线的方程为：，联立得： ，所以，联立得：，所以，所以=，所以=，当时，等号成立所以的最小值为2.【点睛】（1）主要考查了设而不求方法，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理表示出，还考查了数量积的坐标运算，方程思想，转化思想，计算量较大，需要小心谨慎（2）主要考查了转化思想，直线交点求法，利用（1）中的结论
17、表示出三角形面积，把问题转化成函数的最值问题处理，计算量较大，属于较难题22. 已知函数(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)若，讨论函数的极值点的个数【答案】（1） ； （2）当或，存在两个极值点；当时，存在一个极值点；当时，没有极值点.【解析】【分析】（1）求出及，求得切线的斜率即可求得切线方程（2）求出，对的情况分4类讨论，即四种情况分别求得在各个区间的正负，由此判断单调性，从而可判断极值点的个数【详解】（1）因为，所以，所以，所以函数在点处的切线方程为：，即（2）可化为：，所以=，当时，时，时，此时存在一个极值点；当时，则，时，时，时，此时存在两个极值点，,当时，时，时，此时没有极值点当时，时，时，时，此时存在两个极值点及,综上所述：当或，存在两个极值点；当时，存在一个极值点；当时，没有极值点.【点睛】（1）主要考查了导数的几何意义及求导运算，直线方程知识（2）主要考查了导数的应用，极值点定义，还考查了分类讨论思想，利用导数的正负来判断原函数的增减性，从而判断极值点的个数，注意分类是以方程=0的根的个数情况及根的大小来讨论
