1、 1二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧所有点组成的平面区域我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线当我们在坐标系中画不等式AxByC0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线(2)由于对直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入AxByC，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0By0C的符号即可判断AxByC0表示的直线是AxByC0哪一侧的平面区域2线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条
2、件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.重要结论(1)画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证(2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于AxByC0或AxByC0时，区
3、域为直线AxByC0的上方；当B(AxByC)0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方()(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的()(3)目标函数zaxby(b0)中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距()(4)不等式x2y20，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a_.答案解析作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)易知直线z2xy过交点A时，z取最小值，由得zmin22a1，解得a.思维升华(1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有：表示点(x，y)与原点
4、(0,0)的距离，表示点(x，y)与点(a，b)的距离；表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率(3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足条件(1)在直角坐标平面内，不等式组所表示的平面区域的面积为，则t的值为_(2) x，y满足约束条件若zyax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为_答案(1)1(2)2或1解析(1)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示由解得交点B(t，t1)，在yx1中，令x0得y1，即直线yx1与y轴的交点为C(0,1)，由平面区域的面积S，得t22t30，解得t1或t3(不合题意，舍去)(2)如图，由
5、yaxz知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a0时，要使zyax取得最大值的最优解不唯一，则a2；当a0时，要使zyax取得最大值的最优解不唯一，则a1.题型三线性规划的实际应用例6某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？解设A型、B型车辆分别为x、y辆，相应营运成本为z元，则z1
6、 600x2 400y.由题意，得x，y满足约束条件作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7,14)，R(15,6)由图可知，当直线z1 600x2 400y经过可行域的点P时，直线z1 600x2 400y在y轴上的截距最小，即z取得最小值故应配备A型车5辆、B型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小思维升华解线性规划应用问题的一般步骤：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答(2015陕西改编)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额
7、如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为_万元.甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128答案18解析设每天甲、乙的产量分别为x吨，y吨，由已知可得目标函数z3x4y，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A处取到最大值由得A(2,3)则zmax324318(万元)8含参数的线性规划问题的易错点典例已知实数x，y满足如果目标函数zxy的最小值为1，则实数m_.易错分析题目给出的区域边界“两静一动”，可先画出已知边界表示的区域，分析动直线的位置时容易出错，没有抓住直线xym和直线yx平行这个特点；另外在寻找最优点时也容易找错区
8、域的顶点解析显然，当m2，此时不等式组所表示的平面区域如图所示，平面区域为一个三角形区域，其顶点为A(1,1)，B(m1,1)，C(，)由图可知，当直线yxz经过点C时，z取得最小值，最小值为.由题意，得1，解得m5.答案5温馨提醒(1)当约束条件含有参数时，要注意根据题目条件，画出符合条件的可行域本题因含有变化的参数，可能导致可行域画不出来(2)应注意直线yxz经过的特殊点 方法与技巧1平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)2求最值：求二元一次函数zaxby (ab0)的最值，将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值最优解在顶点或边界取得3解线性
9、规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题4利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题失误与防范1画出平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化2在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值A组专项基础训练(时间：30分钟)1直线2xy100与不等式组表示的平面区域的公共点有_个答案1解析由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)直线2xy
10、100恰过点A(5,0)，且其斜率k2kAB，即直线2xy100与平面区域仅有一个公共点A(5,0)2设变量x，y满足约束条件则目标函数zx6y的最大值为_答案18解析画出约束条件的可行域如图阴影，作直线l：x6y0，平移直线l可知，直线l过点A时，目标函数zx6y取得最大值，易得A(0,3)，所以zmax06318.3设变量x，y满足约束条件则目标函数zx2y的最小值为_答案3解析由线性约束条件画出可行域(如图所示)由zx2y，得yxz，z的几何意义是直线yxz在y轴上的截距，要使z最小，需使z最小，易知当直线yxz过点A(1,1)时，z最小，最小值为3.4若不等式组表示的平面区域是一个三角
11、形，则a的取值范围是_答案(0,1解析不等式组表示的平面区域如图(阴影部分)，求得A，B两点的坐标分别为和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a取值范围是0a1或a.5某公司生产甲、乙两种桶装产品已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是_元答案2 800解析设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，则根据题意得x、y的约束条件为设获
12、利z元，则z300x400y.画出可行域如图画直线l：300x400y0，即3x4y0.平移直线l，从图中可知，当直线过点M时，目标函数取得最大值由解得即M的坐标为(4,4)，zmax300440042 800(元)6若函数y2x图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为_答案1解析在同一直角坐标系中作出函数y2x的图象及所表示的平面区域，如图阴影部分所示由图可知，当m1时，函数y2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件，故m的最大值为1.7已知实数x，y满足约束条件则的最小值是_答案1解析作出不等式组对应的平面区域如图，的几何意义是区域内的点P(x，y)与定点A(0，1)所在直线的
13、斜率，由图象可知当P位于点D(1,0)时，直线AP的斜率最小，此时的最小值为1.8已知实数x，y满足则z2x2y1的取值范围是_答案，5)解析画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，可知221z0，b0)的最大值为10，则a2b2的最小值为_答案解析因为a0，b0，所以由可行域得，如图，当目标函数过点(4,6)时z取最大值，4a6b10.a2b2的几何意义是直线4a6b10上任意一点到点(0,0)的距离的平方，那么其最小值是点(0,0)到直线4a6b10距离的平方，则a2b2的最小值是.B组专项能力提升(时间：20分钟)11已知变量x，y满足约束条件若zx2y的最大值与最小值分别为a，b
14、，且方程x2kx10在区间(b，a)上有两个不同实数解，则实数k的取值范围是_答案(，2)解析作出可行域，如图所示，则目标函数zx2y在点(1,0)处取得最大值1，在点(1,1)处取得最小值3，a1，b3，从而可知方程x2kx10在区间(3,1)上有两个不同实数解令f(x)x2kx1，则k0，可行域如图中阴影部分所示，()min，a1.16(2015浙江)若实数x，y满足x2y21，则|2xy2|6x3y|的最小值是_答案3解析满足x2y21的实数x，y表示的点(x，y)构成的区域是单位圆及其内部f(x，y)|2xy2|6x3y|2xy2|6x3y直线y2x2与圆x2y21交于A，B两点，如图所示，易得B.设z14x2y，z283x4y，分别作直线yx和yx并平移，则z14x2y在点B取得最小值为3，z283x4y在点B取得最小值为3，所以|2xy2|6x3y|的最小值是3.
