1、解三角形的实际应用举例教学设计一、教材依据本节教材选自普通高中课程标准实验教科书数学(必修5)(北师大版)，第58页第二章解三角形：第3小节解三角形的实际应用举例的第一课时。二、设计思想【设计理念】 理念之一是让学生体验应用正弦定理、余弦定理解决实际测量问题的历程。首先，分析、探讨一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离如何测量，初步感受两个定理的应用；然后，分组探讨怎样测量两个不可到达的点之间的距离，体验合作、交流、成功的快乐。理念之二是倡导学生自主探索、合作交流等学习数学的方式，培养学生分析问题、解决问题的能力以及交流合作的能力。总之，本节课将充分体现以“学生为本”的教学观念，实现课程理
2、念、教学方式和学生学习方式的转变。【教材分析】 “解三角形”既是高中数学的基本内容，又有较强的应用性，也是培养学生的应用意识，提高学生分析问题、解决问题的能力非常好的载体，教学中结合具体问题，教给学生解答应用题的基本方法、步骤和建模思想。 【学情分析】 学生学习解三角形的实际应用举例之前，已经掌握了利用正、余弦定理解三角形的方法，具备一定的分析问题的能力；但学生应用数学的意识不强，创造能力较弱，往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，因此，小组讨论时学生必须在老师的指导下进行。根据普通高中数学课程标准(实验)的指导思想，针对教材内容重难点和学生实际情况的分析，
3、本节教学应该帮助学生解决好的问题是，将距离测量问题合理、正确的转化为解三角形问题。三、教学目标（一）课标要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。（二）三维教学目标【知识与技能】通过对实例的解决，能够运用两个定理等解决两种类型的距离测量问题：一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离；两个不可到达的点之间的距离。【过程与方法】经历将距离测量问题转化为解三角形问题的过程，认识实际应用问题的研究方法：分析建模求解检验。【情感、态度与价值观】体验将具体的实际问题转化为抽象的数学问题的过程与方法，培养分析问题、解决问题的能力。通过问题的解决方法的多样性，发展学
4、生的创新意识，以及交流与合作的能力，并体会数学的应用价值；同时，在教学过程中激发学生的探索精神，在小组探究中体验成功的愉悦感。四、教学重点分析距离测量问题的实际背景，并将其转化为数学模型，利用正、余弦定理等知识解三角形。五、教学难点如何从实际问题中抽象出数学问题，从而找到距离测量的方法。六、教学准备 制作PPT 七、教学过程1 复习回顾、创设情景1.1提问：（1） 对正弦定理、余弦定理有什么认识？（2） 知道哪些条件可以解三角形？（3） 这些条件的共性是什么？教师强调：正弦定理可以解决的问题： 已知三角形的两角和一边，求另外的两边和一角； 已知三角形的两边和其中一边的对角，求另外的两角和一边。
5、余弦定理可以解决的问题： 已知三角形的两边和一角，求另外的两角和一边； 已知三角形的三边，求任意一角。这些条件的共性是：必须已知三角形的一边。【设计意图】为本节学习做一些知识准备。另外，应用解三角形知识解决实际问题时，要分析和研究问题中涉及的三角形，它的哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，应该选用正弦定理还是余弦定理进行求解。1.2（情境1）（PPT投影）一个皓月当空的夜晚，我们仰望星空，在遐想之际，或许会问，遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？ 要想知道这样一个“仰望星空”的问题是如何解决的，请让我们先脚踏实地地从身边的一些测量问题做起。【设计意图】从学生现有知识水平和认知能力出发，创设问题情
6、景，让学生产生认知冲突，进行必要的启发，将学生思维引上自主探索、合作交流的“再创造”征程。2 提出问题，猜想建构（情境2） （PPT投影）如图所示，设A、B两点在河的两岸，要测量A、B两点的距离，测量者在A的同侧（无法过河），给你测量工具：卷尺、经纬仪。请设计一个方案，包括：（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；（2）用文字和公式写出计算A、B两点的距离的步骤。【设计意图】激发学生的好奇心，使学生初步体验如何将实际问题转化为数学问题。同时，培养学生探寻解决实际问题的方法与策略。教师：向学生介绍经纬仪及用其测量的使用方法。学生活动：首先独立思考，然后交流讨论，最后代表讲解。注：方
7、法1 取一测量点（如图），构造，可测量的距离及的大小，设，则。方法2 任取一测量点（如图），构造，可测量的距离及、的大小，设，应用正弦定理，易得。教师请学生点评：对方法1中的点位置可能表示怀疑。教师点评： 方法1中的点在以为直径的圆周上； 在实际测量中，首先要“可测”，然后再考虑“可算”。【设计意图】让学生体会在实际测量中，要考虑“可操作性”。首先要“可测”，然后再考虑“可算”。教师活动：请大家总结，你能解决哪一类测量问题呢？现在如果两个点都在河的另一岸，人又无法过河，这两点之间的距离又该如何测量呢？（提出情境3） 3 变式深化，建立模型（情境3） （PPT投影）如图所示，设A、B两点在河的对
8、岸，测量者在河的另一岸（无法过河），要测量A、B两点的距离，给你测量工具：卷尺、经纬仪。请设计一个方案，包括：（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；（2）用文字和公式写出计算A、B两点的距离的步骤。【设计意图】进一步深化将实际问题转化为数学问题的过程与方法，通过对问题的解决，使每一个学生感受数学应用的灵活性、开放性。教师活动：请大家谈谈各自的想法。学生分组交流讨论。注：方法1 取测量点、（如图），分别构造、，可测量、的大小以及、的长，分别在、中利用情境2中的方法，以正弦定理为工具算出、，然后在中利用余弦定理求出。方法2 取测量点、（如图），可测量、的大小以及的长，分别在、中利用
9、情境2中的方法，以正弦定理为工具算出、的长，然后在中利用余弦定理求出。请学生点评：方法1，图形清晰，计算方便，但要取三个不同的测量点，实际操作中工作量大；方法2，只需取两个不同的测量点，实际工作量小，但得到的图形线段交叉，给计算带来干扰。教师总结：在实际测的量问题中，要以“可测、可算”为基本原则，既要考虑测量中的实际工作量，又要兼顾计算，最好两全其美。【设计意图】 让学生感悟在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。教师活动：请大家总结，你又能解决哪一类测量问题了呢？ 4
10、 归纳总结，反思提炼提问：回顾两个测量问题的解决过程，大致可以分为几个步骤来进行？ 教师:分四个阶段（PPT投影），这就是函数的应用中涉及的“数学建模”理论。解三角形应用题的一般步骤： 分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图； 建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型； 求解：利用正弦定理或余弦定理解出三角形，求得数学模型的解； 检验：检验上述所求的结果是否具有实际意义，从而得出实际问题的解。【设计意图】让学生体会解法只是表象，思想方法才是核心。只有站在思想方法的高度进行解题，不论题目如何千变万化，自然可以做到游刃有余。也就是古人
11、说的“不畏浮云遮望眼，只缘身在最高层”。5 学以致用，提升自我教师：思考上课一开始提出的问题：怎样测算月亮与地球之间的距离？学生：这个问题实际上与情境2属同类问题。就是求一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离。因此，我们只需在地球上找两个点，算出它们的距离，然后在测出两个角，运用正弦定理就可以解决。6 布置作业，巩固强化（2009宁夏海南卷理科第17题）为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和间的距离，请设计一个方案，包括： 指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）； 用文字和公式写出计算间的距离的步骤。【设计意
12、图】 培养学生应用数学知识解决实际问题的能力。八、板书设计解三角形的实际应用举例情境2分析情境3分析【设计意图】 给学生呈现本节重点研究内容，同时进行简洁美的教育。九、教学反思上述教学设计及具体教学实施过程我认为有以下几点意义：1、教学设计紧扣课程标准的要求，重点放在利用正弦定理和余弦定理解决具体测量问题的分析上。以实际问题展开教学，引导学生进行自主研究、合作交流，进而解决问题。2、重视学生的主体地位，在设计时，对教学的每一个环节都强调了学生的主体地位,无一不是由学生亲自参与、合作完成的，教师只是充当了指导者和合作者的角色，形成了一个自由的、开放的、探究的课堂氛围。3、充分发展学生的探究能力，尽可能设置情境让学生更多的参与，而不是简单的教师提出问题，学生解答问题。课堂上分组讨论，学生直接参与方案的探寻、数据的获取与分析、结论的得出全过程，探究能力得以充分培养。总之，这样的课堂，学生非常乐于参与，自然有了积极主动的学习态度。通过对问题的解决，使每一个学生都感受到数学应用的灵活性、开放性。同时，数学的应用价值和美学价值在这一刻获得了清晰地体现。