1、1四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推论1经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面；推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行2直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线aa，bb，我们把直线a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与
2、b所成的角范围：.3直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况4平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况5定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交，并记作a.()(2)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线()(3)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于A点，并记作A.()(4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.()(5)经过两条相交直线，有且只有一个平面()(6)没有公共点的两条直线是异面直线()1下列命题正确
3、的个数为_梯形可以确定一个平面；若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合答案2解析中两直线可以平行、相交或异面，中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，正确2已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b_.一定是异面直线 一定是相交直线不可能是平行直线 不可能是相交直线答案解析由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若bc，则ab，与已知a、b为异面直线相矛盾3两两平行的三条直线可确定_个平面答案1或3解析三直线共面确定1个，三直线不共面，每两条确定1个，可确
4、定3个4.如图所示，已知在长方体ABCDEFGH中，AB2，AD2，AE2，则BC和EG所成角的大小是_，AE和BG所成角的大小是_答案4560解析BC与EG所成的角等于EG与FG所成的角即EGF，tanEGF1，EGF45，AE与BG所成的角等于BF与BG所成的角即GBF，tanGBF，GBF60.5已知空间四边形ABCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列判断：MN(ACBD)；MN(ACBD)；MN(ACBD)；MN(ACBD)其中正确的是_答案解析如图，取BC的中点O，连结MO，NO，MN，则OMAC，ONBD，在MON中，MNOMON(ACBD)，正确题型一平面基本性质的应用例1
5、如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点证明(1)如图，连结EF，CD1，A1B.E、F分别是AB、AA1的中点，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1，E、C、D1、F四点共面(2)EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA.CE、D1F、DA三线共点思维升华公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理3及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理2是
6、证明三线共点或三点共线的依据 如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BCAD且BCAD，BEAF且BEAF，G、H分别为FA、FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？(1)证明由已知FGGA，FHHD，可得GH綊AD.又BC綊AD，GH綊BC.四边形BCHG为平行四边形(2)解BE綊AF，G是FA的中点，BE綊FG，四边形BEFG为平行四边形，EFBG.由(1)知BG綊CH，EFCH，EF与CH共面又DFH，C、D、F、E四点共面题型二判断空间两直线的位置关系例2(1)若直线l1和l2是
7、异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是_l与l1，l2都不相交；l与l1，l2都相交；l至多与l1，l2中的一条相交；l至少与l1，l2中的一条相交(2)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是_MN与CC1垂直；MN与AC垂直；MN与BD平行；MN与A1B1平行(3)在图中，G、N、M、H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)答案(1)(2)(3)解析(1)若l与l1，l2都不相交，则ll1，ll2，l1l2，这与l1和l2异面矛盾，l
8、至少与l1，l2中的一条相交(2)如图，连结B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是B1CD1的中位线，MNB1D1，CC1B1D1，ACB1D1，BDB1D1，MNCC1，MNAC，MNBD.又A1B1与B1D1相交，MN与A1B1不平行(3)图中，直线GHMN；图中，G、H、N三点共面，但M面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连结MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G、M、N共面，但H面GMN，因此GH与MN异面所以图中GH与MN异面思维升华空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的
9、性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_答案解析把正四面体的平面展开还原，如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60角，DEMN.题型三求两条异面直线所成的角例3(1)如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，AA1AB1，则异面直线AB1与BD所成的角为_答案60解析取A1C1的中点E
10、，连结B1E，ED，AE，在RtAB1E中，AB1E即为所求，设AB1，则A1A，AB1，B1E，故AB1E60.所以异面直线AB1与BD所成的角为60.(2)空间四边形ABCD中，ABCD且AB与CD所成的角为30，E、F分别为BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小解如图，取AC的中点G，连结EG、FG，则EG綊AB，FG綊CD，由ABCD知EGFG，GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角AB与CD所成的角为30，EGF30或150.由EGFG知EFG为等腰三角形，当EGF30时，GEF75；当EGF150时，GEF15.故EF与AB所成的角为
11、15或75.思维升华(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移(2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解(1)已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为_(2)直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于_答案(1)(2)60解析(1)画出正
12、四面体ABCD的直观图，如图所示设其棱长为2，取AD的中点F，连结EF，设EF的中点为O，连结CO，则EFBD，则FEC就是异面直线CE与BD所成的角ABC为等边三角形，则CEAB，易得CE，同理可得CF，故CECF.因为OEOF，所以COEF.又EOEFBD，所以cosFEC.(2)如图，可补成一个正方体，AC1BD1.BA1与AC1所成角的大小为A1BD1.又易知A1BD1为正三角形，A1BD160.即BA1与AC1成60的角15构造模型判断空间线面位置关系典例已知m，n是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题：若m，n，mn，则；若m，n，mn，则；若m，n，mn，则；若m，n
13、，则mn.其中所有正确的命题是_思维点拨构造一个长方体模型，找出适合条件的直线与平面，在长方体内判断它们的位置关系解析借助于长方体模型来解决本题，对于，可以得到平面，互相垂直，如图(1)所示，故正确；对于，平面、可能垂直，如图(2)所示，故不正确；对于，平面、可能垂直，如图(3)所示，故不正确；对于，由m，可得m，因为n，所以过n作平面，且g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为mg，所以mn，故正确答案温馨提醒(1)构造法实质上是结合题意构造合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误；(2)对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判
14、定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断方法与技巧1主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理2可知这些点在交线上，因此共线2判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面3求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决根据空间等角
15、定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解失误与防范1正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”2不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件3两条异面直线所成角的范围是(0，90A组专项基础训练(时间：40分钟)1在下列命题中，不是公理的是_平行于同一个平面的两个平面相互平行；过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内；如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案解析是面面平行的性
16、质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的2若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是_l1l4；l1l4；l1与l4既不垂直也不平行；l1与l4的位置关系不确定答案解析在如图所示的长方体中，不妨设l2为直线AA1，l3为直线CC1，则直线l1，l4可以是AB，BC；也可以是AB，CD；也可以是AB，B1C1；这三组直线相交，平行，垂直，异面3设P表示一个点，a、b表示两条直线，、表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是_Pa，Pa；abP，ba；ab，a，Pb，Pb；b，P，PPb.答案解析当aP时，Pa，P，但a
17、，错；aP时，错；如图，ab，Pb，Pa，由直线a与点P确定唯一平面，又ab，由a与b确定唯一平面，但经过直线a与点P，与重合，b，故正确；两个平面的公共点必在其交线上，故正确4设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是_答案(0，)解析此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体，长为a的棱长一定大于0且小于.5四棱锥PABCD的所有侧棱长都为，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为_答案解析因为四边形ABCD为正方形，故CDAB，则CD与PA所成的角即为AB与PA所成的角，即为PAB.在PAB内，PBPA，AB2，利用
18、余弦定理可知cosPAB.6如图所示，平面，两两相交，a，b，c为三条交线，且ab，则a与c，b与c的位置关系是_答案abc解析ab，a，b，b.又b，c，bc.abc.7如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且ABCD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_答案4解析EF与正方体左、右两侧面均平行所以与EF相交的侧面有4个8(2015浙江)如图，三棱锥ABCD中，ABACBDCD3，ADBC2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是_答案解析如图所示，连结DN，取线段DN的中点K，连结MK，CK.M为AD的中点，MKAN，KMC为异面
19、直线AN，CM所成的角ABACBDCD3，ADBC2，N为BC的中点，由勾股定理求得ANDNCM2，MK.在RtCKN中，CK.在CKM中，由余弦定理，得cosKMC.9在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有_条答案无数解析方法一在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点如图所示方法二在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面，因CD与平面不平行，所以它们相交，设它
20、们交于点Q，连结PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交10.如图，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AEEBCFFB21，CGGD31，过E、F、G的平面交AD于点H.(1)求AHHD；(2)求证：EH、FG、BD三线共点(1)解2，EFAC，EF平面ACD，而EF平面EFGH，平面EFGH平面ACDGH，EFGH，ACGH.3.AHHD31.(2)证明EFGH，且，EFGH，四边形EFGH为梯形令EHFGP，则PEH，而EH平面ABD，又PFG，FG平面BCD，平面ABD平面BCDBD，PB
21、D.EH、FG、BD三线共点B组专项能力提升(时间：30分钟)11以下四个命题中，不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；依次首尾相接的四条线段必共面正确命题的个数是_答案1解析中显然是正确的；中若A、B、C三点共线，则A、B、C、D、E五点不一定共面；构造长方体或正方体，如图显然b、c异面，故不正确；中空间四边形中四条线段不共面，故只有正确12如图，矩形ABCD中，AB2AD，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成A1DE.若M为线段A1C的中点，则在ADE翻折过程中
22、，下面四个命题中不正确的是_|BM|是定值点M在某个球面上运动存在某个位置，使DEA1C存在某个位置，使MB平面A1DE 答案解析取DC中点F，连结MF，BF，MFA1D且MFA1D，FBED且FBED，所以MFBA1DE.由余弦定理可得MB2MF2FB22MFFBcosMFB是定值，所以M是在以B为圆心，MB为半径的球上，可得A、B正确由MFA1D与FBED可得平面MBF平面A1DE，可得D正确；A1C在平面ABCD中的射影与AC重合，AC与DE不垂直，可得C不正确13已知a，b，c为三条不同的直线，且a平面，b平面，c.给出下列命题：若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；若a不
23、垂直于c，则a与b一定不垂直；若ab，则必有ac；若ab，ac，则必有.其中正确命题的个数是_答案2解析命题正确，命题错误其中命题中a与b有可能垂直；命题中当bc时，平面，有可能不垂直14.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点求证：D1、H、O三点共线证明连结BD，B1D1，如图则BDACO，BB1綊DD1，四边形BB1D1D为平行四边形，又HB1D，B1D平面BB1D1D，则H平面BB1D1D，平面ACD1平面BB1D1DOD1，HOD1.即D1、H、O三点共线15.如图所示，等腰直角三角形ABC中，A90，BC，DAAC，DAAB，若DA1，且E为DA的中点求异面直线BE与CD所成角的余弦值解如图所示，取AC的中点F，连结EF，BF，在ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，EFCD.BEF或其补角即为异面直线BE与CD所成的角在RtEAB中，ABAC1，AEAD，BE.在RtEAF中，AFAC，AE，EF.在RtBAF中，AB1，AF，BF.在等腰三角形EBF中，cosFEB.异面直线BE与CD所成角的余弦值为.