1、1数列的定义按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项2数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an1_an其中nN*递减数列an1_an常数列an1an按其他标准分类有界数列存在正数M，使|an|M摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法4数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式5已知数列an的前n项和Sn，则an【思考辨析】判断下面结论是否正确
2、(请在括号中打“”或“”)(1)所有数列的第n项都能使用公式表达()(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个()(3)1,1,1,1，不能构成一个数列()(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列()(5)如果数列an的前n项和为Sn，则对nN*，都有an1Sn1Sn.()(6)在数列an中，对于任意正整数m，n，amnamn1，若a11，则a22.()1已知数列an中，a11，3 (nN*)，则a10_.答案解析由题意得3.3，3，3，3，3，对递推式叠加得27，故a10.2把1,3,6,10,15,21，这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)
3、则第7个三角形数是_答案28解析根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是123456728.3数列an的前n项和记为Sn，a11，an12Sn1 (n1，nN*)，则数列an的通项公式是_答案an3n1解析由an12Sn1可得an2Sn11 (n2)，两式相减得an1an2an，即an13an (n2)又a22S113，a33a232a132，a43a333an3an13n1.4(教材改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an_.答案5n45已知数列an的前n项和Snn21，则an_.答案解析当n1时，a1S12，当n2时，anSnSn1n21(n1)212n1，
4、故an题型一由数列的前几项求数列的通项公式例1(1)数列0，的一个通项公式为_an(nN*) an(nN*)an(nN*) an(nN*)(2)数列an的前4项是，1，则这个数列的一个通项公式是an_.答案(1)(2)解析(1)注意到分母0,2,4,6都是偶数，对照所给项排除即可(2)数列an的前4项可变形为，故an.思维升华根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式(1)1,7，13,19，；(
5、2)0.8,0.88,0.888，；(3)，.解(1)数列中各项的符号可通过(1)n表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为an(1)n(6n5)(2)数列变为，故an.(3)各项的分母分别为21,22,23,24，易看出第2,3,4项的分子分别比分母小3.因此把第1项变为，原数列化为，故an(1)n.题型二由数列的前n项和求数列的通项公式例2设数列an的前n项和为Sn，数列Sn的前n项和为Tn，满足Tn2Snn2，nN*.(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式解(1)令n1时，T12S11，因为T1S1a1，所以a12a11，所以a11.(2)n2时，T
6、n12Sn1(n1)2，则SnTnTn12Snn22Sn1(n1)22(SnSn1)2n12an2n1.因为当n1时，a1S11也满足上式，所以Sn2an2n1(n1)，当n2时，Sn12an12(n1)1，两式相减得an2an2an12，所以an2an12(n2)，所以an22(an12)，因为a1230，所以数列an2是以3为首项，公比为2的等比数列所以an232n1，所以an32n12，当n1时也成立，所以an32n12.思维升华数列的通项an与前n项和Sn的关系是an当n1时，a1若适合SnSn1，则n1的情况可并入n2时的通项an；当n1时，a1若不适合SnSn1，则用分段函数的形式
7、表示(1)已知数列an的前n项和Sn，则a4_.(2)已知数列an的前n项和Sn3n22n1，则其通项公式为_答案(1)(2)an解析(1)a4S4S3.(2)当n1时，a1S13122112；当n2时，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，显然当n1时，不满足上式故数列的通项公式为an题型三由数列的递推关系求通项公式例3(1)设数列an中，a12，an1ann1，则通项an_.(2)数列an中，a11，an13an2，则它的一个通项公式为an_.答案(1)1(2)23n11解析(1)由题意得，当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)2(23n)21.又a1
8、21，符合上式，因此an1.(2)方法一(累乘法)an13an2，即an113(an1)，即3，所以3，3，3，3.将这些等式两边分别相乘得3n.因为a11，所以3n，即an123n1(n1)，所以an23n11(n2)，又a11也满足上式，故数列an的一个通项公式为an23n11.方法二(迭代法)an13an2，即an113(an1)32(an11)33(an21)3n(a11)23n(n1)，所以an23n11(n2)，又a11也满足上式，故数列an的一个通项公式为an23n11.思维升华已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解当出现anan1m时，构造等差数列；当
9、出现anxan1y时，构造等比数列；当出现anan1f(n)时，用累加法求解；当出现f(n)时，用累乘法求解(1)已知数列an满足a11，anan1(n2)，则an_.(2)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2an1(nN*)，则a5_.答案(1)(2)16解析(1)anan1 (n2)，an1an2，a2a1.以上(n1)个式子相乘得ana1.当n1时也满足此等式，an.(2)当n1时，S12a11，a11.当n2时，Sn12an11，an2an2an1，an2an1.an是等比数列且a11，q2，故a5a1q42416.题型四数列的性质命题点1数列的单调性例4已知数列an的前n项和Snn
10、21，数列bn满足bn，且前n项和为Tn，设cnT2n1Tn.(1)求数列bn的通项公式；(2)判断数列cn的增减性解(1)a12，anSnSn12n1(n2)bn，bn(2)cnbn1bn2b2n1，cn1cn0，cn10)，运用基本不等式得，f(x)2当且仅当x3时等号成立因为an，所以，由于nN*，不难发现当n9或10时，an最大思维升华1.解决数列的单调性问题可用以下三种方法(1)用作差比较法，根据an1an的符号判断数列an是递增数列、递减数列或是常数列(2)用作商比较法，根据(an0或an0)与1的大小关系进行判断(3)结合相应函数的图象直观判断2解决数列周期性问题的方法先根据已知
11、条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值3数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解(1)数列an满足an1a1，则数列的第2 015项为_(2)设an3n215n18，则数列an中的最大项的值是_答案(1)(2)0解析(1)由已知可得，a221，a32，a42，a521，an为周期数列且T4，a2 015a3.(2)an32，由二次函数性质，得当n2或3时，an最大，最大值为0.5数列中的新定义问题典例(1)(2015洛阳模拟)将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5,9,14,20，为“梯形数”根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差，即a2 0145_.(用式
12、子表示)(2)对于数列xn，若对任意nN*，都有xn1成立，则称数列xn为“减差数列”设bn2t，若数列b3，b4，b5，是“减差数列”，则实数t的取值范围是_思维点拨(1)观察图形，易得anan1n2(n2)可利用累加法求解(2)由“减差数列”的定义，可得关于bn的不等式，把bn的通项公式代入，化归为不等式恒成立问题求解解析(1)因为anan1n2(n2)，a15，所以a2 014(a2 014a2 013)(a2 013a2 012)(a2a1)a12 0162 0154551 0102 0135，所以a2 01451 0102 013.(2)由数列b3，b4，b5，是“减差数列”，得bn
13、1(n3)，即tt2t，即，化简得t(n2)1.当n3时，若t(n2)1恒成立，则t恒成立，又当n3时，的最大值为1，则t的取值范围是(1，)答案(1)1 0102 013(2)(1，)温馨提醒解决数列的新定义问题要做到：(1)准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，将题目所给定义转化成题目要求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆(2)方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而找到恰当的解决方法 方法与技巧1求数列通项或指定项通常用观察法(对于交错数列一般用(1)n或(1)n1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一
14、般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法2强调an与Sn的关系：an3已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握一般有两种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)利用累加法或累乘法可求数列的通项公式4数列的性质可利用函数思想进行研究失误与防范1数列anf(n)和函数yf(x)定义域不同，其单调性也有区别：yf(x)是增函数是anf(n)是递增数列的充分不必要条件2数列的通项公式可能不存在，也可能有多个3由anSnSn1求得的an是从n2开始的，要对n1时的情况进行验证A组专项基础训练(时间：40分钟)1数列，的第10项是_答案解析所给数列呈现分数形
15、式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子很容易归纳出数列an的通项公式an(1)n1，故a10.2若数列an的通项公式是an(1)n(3n2)，则a1a2a10_.答案15解析由题意知，a1a2a1014710(1)10(3102)(14)(710)(1)9(392)(1)10(3102)3515.3若Sn为数列an的前n项和，且Sn，则_.答案30解析当n2时，anSnSn1，所以5630.4若数列an满足：a119，an1an3(nN*)，而数列an的前n项和数值最大时，n的值为_答案7解析an1an3，数列an是以19为首项，3为公差的等差数列，an19
16、(n1)(3)223n.a7222110，a8222420，n7时，数列an的前n项和最大5已知数列an的通项公式为ann22n(nN*)，则“1”是“数列an为递增数列”的_条件答案充分不必要解析若数列an为递增数列，则有an1an0，即2n12对任意的nN*都成立，于是有32，.由1可推得，但反过来，由不能得到1，因此“1”是“数列an为递增数列”的充分不必要条件6已知数列an的前n项和Snn22n1(nN*)，则an_.答案解析当n2时，anSnSn12n1，当n1时，a1S14211，因此an7数列an中，已知a11，a22，an1anan2(nN*)，则a7_.答案1解析由已知an1
17、anan2，a11，a22，能够计算出a31，a41，a52，a61，a71.8已知数列an的前n项和为Sn，Sn2ann，则an_.答案2n1解析当n1时，S1a12a11，得a11，当n2时，anSnSn12ann2an1(n1)，即an2an11，an12(an11)，数列an1是首项为a112，公比为2的等比数列，an122n12n，an2n1.9数列an的通项公式是ann27n6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解(1)当n4时，a4424766.(2)令an150，即n27n6150，
18、解得n16或n9(舍去)，即150是这个数列的第16项(3)令ann27n60，解得n6或n1(舍去)所以从第7项起各项都是正数10已知数列an中，a11，前n项和Snan.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式解(1)由S2a2得3(a1a2)4a2，解得a23a13.由S3a3得3(a1a2a3)5a3，解得a3(a1a2)6.(2)由题设知a11.当n2时，有anSnSn1anan1，整理得anan1.于是a11，a2a1，a3a2，an1an2，anan1.将以上n个等式两端分别相乘，整理得an.显然，当n1时也满足上式综上可知，an的通项公式an.B组专项能力提升(时间：20分钟
19、)11已知数列an的通项公式为an(n2)n，则当an取得最大值时，n_.答案5或6解析当an取得最大值时，有解得n5或6.12数列an满足anan1(nN*)，a22，Sn是数列an的前n项和，则S21_.答案解析anan1，a22，anS2111102.13定义：称为n个正数P1，P2，Pn的“均倒数”若数列an的前n项的“均倒数”为，则数列an的通项公式为_答案an4n3解析，2n1，a1a2an(2n1)n，a1a2an1(2n3)(n1)(n2)，当n2时，an(2n1)n(2n3)(n1)4n3；a11也适合此等式，an4n3.14若数列n(n4)()n中的最大项是第k项，则k_.答案4解析由题意得所以由kN*可得k4.15已知数列an中，an1(nN*，aR且a0)(1)若a7，求数列an中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的nN*，都有ana6成立，求a的取值范围解(1)an1(nN*，aR，且a0)，又a7，an1(nN*)结合函数f(x)1的单调性，可知1a1a2a3a4，a5a6a7an1(nN*)数列an中的最大项为a52，最小项为a40.(2)an11，已知对任意的nN*，都有ana6成立，结合函数f(x)1的单调性，可知56，即10a8.