1、函数的单调性与最值学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题（本大题共7小题，共35.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知是R上的奇函数，当，且时，当时，不等式的解集为()A. B. C. D. 2. 若函数在为单调增函数，则实数a的取值范围是()A. B. C. D. 3. 已知定义域为R的函数满足，且当时，则当时，的最小值为A. B. C. D. 4. 如果函数在区间上单调递减，那么mn的最大值为()A. 16B. 18C. 25D. 5. 定义在R上的函数满足，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数t的最大值为()A. B. C. D. 6. 己知函数，且，则 a
2、 ， b ， c 的大小为()A. B. C. D. 7. 切比雪夫在用直线逼近曲线的研究中定义偏差E：对任意的，函数的最大值为E，即把使E取得最小值时的直线叫切比雪夫直线，已知，有同学估算出了切比雪夫直线中x的系数，在这个前提下，b的值为()A. B. 1C. D. 二、多选题（本大题共1小题，共5.0分。在每小题有多项符合题目要求）8. 若函数在上的最大值为M，最小值为m，则()A. B. C. D. 三、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 已知函数为上的增函数，若，则实数a的取值范围是_.10. 已知函数，则_；若在既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围为_11. 若函数在区间
3、上是增函数，则实数a的取值范围是_.12. 已知，函数在区间上的最大值是5，则a的取值范围是_.13. 已知函数，a为常数若对于任意，且，都有，则实数a的取值范围是_.14. 已知函数，若、，使得，则实数a的取值范围为_.四、解答题（本大题共2小题，共24.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15. 本小题分若是定义在上的增函数，且.求的值；若，解不等式16. 本小题分已知奇函数，函数的最大值为求实数a的值；求；令，若存在实数，当函数的定义域为时，值域也为，求实数，的值答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查抽象函数，函数的奇偶性、对称性、周期性，不等式解集，是中档题.由已知
4、可判断函数为奇函数，图象关于直线对称，周期为4，由此可解.【解答】解：当，且时，在区间上是增函数，是R上的奇函数，且在区间上是增函数.时，当时，的图象关于直线对称，且在区间上是减函数.又，即函数的周期为是区间上的减函数，且综上所述，不等式的解集为故选：2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了三角函数的性质，三角函数的单调性，属于中档题先看时，已知条件不成立，再看时，求出函数的导数，结合三角函数的性质求出a的范围即可【解答】解：当时，函数在上先递增再单调递减，结论不成立当时，若在为单调增函数，则在恒成立，因为当时，所以不等式两边同时除以得故在恒成立，而在的最大值是1，故，故选：3.【答案】D
5、【解析】【分析】本题主要考查二次函数求最值及函数解析式的求法，属于中档题.由题意，易得时，有，对区间进行拆分，考虑和两种情况，分别求出对应的解析式，再根据二次函数的性质求得函数的最值即可.【解答】解：由题意，当时，在中，令，即得，所以符合式，即得时，有，下面分两种情况进行考虑：当时，因为当时，所以，又，所以，所以，即得，由二次函数性质可知，当时，函数取得最小值为；当时，有，所以，又，所以，由二次函数性质可知，当时，函数取得最小值为所以故最小值为故选：4.【答案】B【解析】【分析】本题综合考查了二次函数和基本不等式的运用，利用导数研究函数的单调性，题目有一定的难度函数在区间上单调递减，则，故在上
6、恒成立故只须在两个端点处，即可，结合基本不等式求出mn的最大值【解答】解：函数在区间上单调递减，即在上恒成立只须在两个端点处，即可，由得，当且仅当，时取得最大值，由的，所以，当且仅当，时取等号，因为，故选5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数单调性的应用，考查函数的对称性，考查等价转化思想与运算能力，属于较难题根据，可得图象关于对称，又当时，可判断函数在上是减函数，可得对任意上恒成立，进行求解即可.【解答】解：，函数关于直线对称，当时，当时，为减函数，且；当时，为减函数，且；在上是减函数，在是增函数，若不等式对任意上恒成立，由对称性可得对任意上恒成立，而，则对任意上恒成立，令，则，即，
7、即，解得，实数t的最大值为，故选：6.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性、对数函数的性质，属于难题.判断出函数为偶函数，利用导数求出时，的单调性，即可求出结果.【解答】解：因为的定义域为R，且，为偶函数，当时，所以在为增函数，又，所以，则，又，则故选：7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了最值的求法，利用了分类讨论的思想，属于拔高题.根据题意，分别讨论在、时，E的最值，即可得出结论.【解答】解：由题意，则配方又到与距离相等均为，则只考虑的值即可，即，又在上单增，即时，即时，即则当即时，当即时，当即时，综上时，E取得最小值故选8.【答案】AC【解析】【分析
8、】本题考查绝对值函数，求函数的最值问题，属于中档题.令，根据函数的单调性求函数的最大值和最小值即可求解【解答】解：令，由，在上单调递增，可得在上单调递增，所以的最小值为；最大值为，所以，故选9.【答案】【解析】【分析】本题主要考查函数单调性的应用，属于中档题.利用函数的定义域和单调性将不等式进行转化，进而求解即可【解答】解：在为单调递增函数，即解得，或，故答案为：10.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了分段函数，以及函数的最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.由分段函数解析式，可先求出，从而求出即可，若在既有最大值又有最小值，则，解不等式组即可.【解答】解：由，可得，当时，若在既有最
9、大值又有最小值，必须满足：，解得：，故实数a的取值范围为：故答案为；11.【答案】【解析】【分析】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键若函数在区间上是增函数，则内外函数的单调性相反，且真数在区间上恒为正，进而得到答案【解答】解：令，则当时，为减函数，此时的图象是开口朝上，且以直线为对称轴的抛物线，在区间上为增函数，不满足要求；当时，为增函数，则在区间上为增函数，且时，函数值大于0，即，解得：，综上所述，12.【答案】【解析】【分析】本题考查函数的最值，考查绝对值不等式，考查转化与化归思想，属于中档题由题可知，即，所以，然后解绝对值不等式可得，根据函
10、数的性质可知，所以，即可得解.【解答】解：由题可知，即，所以，又因为，所以，所以，又因为，在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，解得，故答案为13.【答案】【解析】【分析】考查恒成立问题，函数的单调性问题，利用了构造函数法构造函数，利用的单调性求出【解答】解：对于任意，且，都有，即令，即，只需在单调递增即可.当时，图象恒过点，当时，当时，要使在递增，则当时，的对称轴，即，当时，的对称轴，即，故故答案为：14.【答案】【解析】【分析】根据函数的单调性解得关于a的不等式，解出即可本题考查了函数的单调性，最值问题，考查分类讨论思想，转化思想，属于拔高题【解答】解：设F、G分别为函数与定义在区间上上
11、的值域，则，当时，单调递增，当时，单调递减，、使得或，设，可得在上递增，在上递减，所以，所以解得式，式，综上：，故答案为：15.【答案】解：由，令，则有；令，则，因为得，所以原不等式变为，即为，又是定义在上的增函数，所以，解得，即原不等式的解集为【解析】本题考查函数的单调性，利用赋值法解决抽象函数问题，属于中档题.问采用赋值法求出的值；问首先由分析出，再根据函数的单调性将原不等式转化为一元二次不等式，求解即可得出结果16.【答案】解：依题意，解得，经检验符合题设，故实数a的值为1；由有，可得函数为增函数，又由，有，由，当，即时，；当，即时，；当，即时，综上，由知，可得，必有，由函数在区间单调递增，有如下三种情况：当时，有，解得，符合题意；当时，有，解得，舍去；当时，有，解得，舍去；综上，【解析】本题考查奇函数的运用，以及二次函数的最值问题，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于较难题由直接解出a的值即可；整理出对称轴，再由二次函数的性质分类讨论求解即可；由可得，再分，建立关于，的方程组，解出即可得出答案
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