1、1描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象2图象变换(1)平移变换(2)对称变换yf(x)关于x轴对称 yf(x)；yf(x)关于y轴对称 yf(x)；yf(x)关于原点对称yf(x)；yax(a0 且 a1)关于yx对称ylogax(a0 且 a1)yf(x)保留x轴上方图象将x轴下方图象翻折上去y|f(x)|.yf(x)保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称的图象yf(|x|)(3)伸缩变换yf(x)a1，横坐标缩短为原来的 1a倍，纵坐标不变0a1，纵坐标伸长为原来
2、的a倍，横坐标不变0a0 且 a1)的图象相同()(3)函数 yf(x)与 yf(x)的图象关于原点对称()(4)若函数 yf(x)满足 f(1x)f(1x)，则函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称()(5)将函数 yf(x)的图象向右平移 1 个单位得到函数 yf(x1)的图象()1函数 f(x)2x4sin x，x2，2 的图象大致是_(填序号)答案 解析 因为函数 f(x)是奇函数，所以排除、.f(x)24cos xx2，2，令 f(x)24cos x0 x2，2，得 x3，所以正确2函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象与曲线 yex 关于 y 轴对称，则 f(x)
3、的解析式为_答案 f(x)ex1解析 与 yex 图象关于 y 轴对称的函数为 yex.依题意，f(x)图象向右平移一个单位，得 yex 的图象f(x)的图象由 yex 的图象向左平移一个单位得到f(x)e(x1)ex1.3已知函数 f(x)e|ln x|，则函数 yf(x1)的大致图象为_(填序号)答案 解析 当 x1 时，f(x)eln xx，其图象为一条直线；当 0 x1 时，f(x)eln x1x.函数 yf(x1)的图象为函数 yf(x)图象向左平移 1 个单位长度后得到的故正确4若关于 x 的方程|x|ax 只有一个解，则实数 a 的取值范围是_答案(0，)解析 由题意 a|x|x
4、，令 y|x|x2x，x0，0，x0.5已知函数 f(x)log2xx0，2xx0，且关于 x 的方程 f(x)a0 有两个实根，则实数 a 的范围是_答案(0,1解析 当 x0 时，02x1，所以由图象可知要使方程 f(x)a0 有两个实根，即函数 yf(x)与 ya 的图象有两个交点，所以由图象可知 0a1.题型一 作函数的图象例 1 作出下列函数的图象：(1)y|lg x|；(2)yx2x1；(3)yx22|x|1.解(1)y|lg x|lg x，x1，lg x，0 x1，作出图象如图 1.(2)因 y1 3x1，先作出 y3x的图象，将其图象向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位
5、，即得 yx2x1的图象，如图 2.(3)yx22x1 x0，x22x1 x0.图象如图 3.引申探究作函数 y|x22x1|的图象解 yx22x1 x1 2或x1 2，x22x1 1 2x0)的函数是图象变换的基础；(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换规律，可以帮助我们简化作图过程 作出下列函数的图象(1)y|x2|(x1)；(2)yx2x3.解(1)当 x2，即 x20 时，y(x2)(x1)x2x2(x12)294；当 x2，即 x20 时，y(x2)(x1)x2x2(x12)294.yx12294，x2，x12294，x2.这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)(
6、2)yx2x31 1x3，该函数图象可由函数 y1x向左平移 3 个单位，再向上平移 1 个单位得到，如下图所示题型二 识图与辨图例 2(1)(2015课标全国改编)如图，长方形 ABCD 的边 AB2，BC1，O是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC，CD 与 DA 运动，记BOPx.将动点 P 到 A，B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x)，则 yf(x)的图象大致为_(填序号)(2)已知定义在区间0,2上的函数 yf(x)的图象如图所示，则 yf(2x)的图象为_(填序号)答案(1)(2)解析(1)当点 P 沿着边 BC 运动，即 0 x4时，在 RtPOB 中，PBOBtanPO
7、Btan x，在 RtPAB 中，PA AB2PB2 4tan2x，则 f(x)PAPB 4tan2xtan x，它不是关于 x 的一次函数，图象不是线段，故排除和；当点 P 与点 C 重合，即 x4时，由上得 f 4 4tan24tan4 51，又当点 P 与边 CD的中点重合，即 x2时，PAO 与PBO 是全等的腰长为 1 的等腰直角三角形，故 f 2 PAPB 2 22 2，知 f 2 f 4，故又可排除.综上，故正确(2)方法一 由 yf(x)的图象知，f(x)x0 x1，11x2.当 x0,2时，2x0,2，所以 f(2x)10 x1，2x1x2，故 yf(2x)10 x1，x21
8、x2.图象应为.方法二 当 x0 时，f(2x)f(2)1；当 x1 时，f(2x)f(1)1.观察各图，可知正确思维升华 函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象(1)现有四个函数：yxsin x；yxcos x；yx|cos x|；yx2x 的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号正确排序是_(2)如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆
9、上的定点，P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线 OA，终边为射线 OP，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M，将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x)，则 yf(x)在0，的图象大致为_(填序号)答案(1)(2)解析(1)由于函数 yxsin x 是偶函数，由图象知，函数对应第一个图象；函数 yxcos x是奇函数，且当 x 时，y1.若 a，b，c 互不相等，且 f(a)f(b)f(c)，则 abc的取值范围是_答案(1)(1，54)(2)(2,2 016)解析(1)方程解的个数可转化为函数 yx2|x|的图象与直线 y1a 交点的个数，如图：易知141a0，1a5
10、4.(2)作出函数的图象，直线 ym 交函数图象如图，不妨设 abc，由正弦曲线的对称性，可得 A(a，m)与 B(b，m)关于直线 x12对称，因此 ab1，当直线 ym1 时，由 log2 015x1，解得 x2 015.若满足 f(a)f(b)f(c)，且 a，b，c 互不相等，由 abc 可得 1c2 015，因此可得 2abc2 016，即 abc(2,2 016)思维升华(1)利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应法则(2)利用函数的图象可解决某些方
11、程和不等式的求解问题，方程 f(x)g(x)的根就是函数 f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式 f(x)0 的解集；(5)求当 x1,5)时函数的值域解(1)f(4)0，4|m4|0，即 m4.(2)f(x)x|4x|xx4x224，x4，xx4x224，x0 的解集为x|0 x4(5)f(5)54，由图象知，函数在1,5)上的值域为0,5)3高考中的函数图象及应用问题一、已知函数解析式确定函数图象典例 函数 f(x)2xsin x 的部分图象可能是_思维点拨 根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和特征点确定函数图象解析 方法一 f(x)2xsin xf(x)，f(x)为奇函数，排除、
12、，又 0 x0，排除，故正确方法二 f(x)2cos x0，f(x)为增函数，故正确答案 温馨提醒(1)确定函数的图象，要从函数的性质出发，利用数形结合的思想(2)对于给出图象的选择性题目，可以结合函数的某一性质或特殊点进行排除二、函数图象的变换问题典例 若函数 yf(x)的图象如图所示，则函数 yf(x1)的图象大致为_(填序号)思维点拨 从 yf(x)的图象可先得到 yf(x)的图象，再得 yf(x1)的图象解析 要想由 yf(x)的图象得到 yf(x1)的图象，需要先将 yf(x)的图象关于 x 轴对称得到 yf(x)的图象，然后再向左平移一个单位得到 yf(x1)的图象，根据上述步骤可
13、知正确答案 温馨提醒(1)对图象的变换问题，从 f(x)到 f(axb)，可以先进行平移变换，也可以先进行伸缩变换，要注意变换过程中两者的区别(2)图象变换也可利用特征点的变换进行确定三、函数图象的应用典例(1)已知函数 f(x)x|x|2x，则下列有关 f(x)的性质正确的是_f(x)是偶函数，递增区间是(0，)；f(x)是偶函数，递减区间是(，1)；f(x)是奇函数，递减区间是(1,1)；f(x)是奇函数，递增区间是(，0)(2)设函数 f(x)|xa|，g(x)x1，对于任意的 xR，不等式 f(x)g(x)恒成立，则实数 a 的取值范围是_思维点拨(1)画出函数 f(x)的图象观察(2
14、)利用函数 f(x)，g(x)图象的位置确定 a 的范围解析(1)将函数 f(x)x|x|2x 去掉绝对值得 f(x)x22x，x0，x22x，x0，画出函数 f(x)的图象，如图，观察得到，f(x)为奇函数，递减区间是(1,1)(2)如图，作出函数 f(x)|xa|与 g(x)x1 的图象，观察图象可知：当且仅当a1，即 a1 时，不等式 f(x)g(x)恒成立，因此 a 的取值范围是1，)答案(1)(2)1，)温馨提醒(1)本题求解利用了数形结合的思想，数形结合的思想包括“以形助数”或“以数辅形”两个方面，本题属于“以形助数”，是指把某些抽象的问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，
15、解释数学问题的本质(2)利用函数图象也可以确定不等式解的情况，解题时可对方程或不等式适当变形，选择合适的函数进行作图方法与技巧1列表描点法是作函数图象的辅助手段，要作函数图象首先要明确函数图象的位置和形状：(1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等；(2)可通过函数图象的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等2合理处理识图题与用图题(1)识图对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系(2)用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，
16、它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法常用函数图象研究含参数的方程或不等式解集的情况失误与防范1函数图象平移的方向和大小：函数图象的每次变换都针对自变量“x”而言，如从 f(2x)的图象到 f(2x1)的图象是向右平移12个单位2当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用.A 组 专项基础训练(时间：40 分钟)1函数 y21x 的大致图象为_答案 解析 y21x 12x1，因为 0121，所以 y 12x1 为减函数，取 x0，则 y2，故正确2为了得到函数 y2x31 的图象，只需把函数 y2x的图象上所有的点向_平移_个单位长度，
17、再向_平移_个单位长度答案 右 3 下 1解析 y2x向右平移3个单位长度y2x3向下平移1个单位长度 y2x31.3已知 f(x)2x1x0，x0 x1，则下列函数的图象正确的为_(填序号)答案 解析 先在坐标平面内画出函数 yf(x)的图象，再将函数 yf(x)的图象向右平移 1 个单位长度即可得到 yf(x1)的图象，因此正确；作函数 yf(x)的图象关于 y 轴的对称图形，即可得到 yf(x)的图象，因此正确；yf(x)的值域是0,2，因此 y|f(x)|的图象与 yf(x)的图象重合，正确；yf(|x|)的定义域是1,1，且是一个偶函数，当 0 x1 时，yf(|x|)x，相应这部分
18、图象不是一条线段，因此不正确综上所述，正确4已知函数 f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程 f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是_答案(12，1)解析 先作出函数 f(x)|x2|1 的图象，如图所示，当直线 g(x)kx 与直线 AB 平行时斜率为 1，当直线 g(x)kx 过 A 点时斜率为12，故 f(x)g(x)有两个不相等的实根时，k 的范围为(12，1)5(2015北京改编)如图，函数 f(x)的图象为折线 ACB，则不等式 f(x)log2(x1)的解集是_答案 x|1x1解析 令 g(x)ylog2(x1)，作出函数 g(x)的图象如图.由xy2，y
19、log2x1，得x1，y1.结合图象知不等式 f(x)log2(x1)的解集为x|10 时，函数 2logg xfx 有意义，由函数 f(x)的图象知满足 f(x)0 的 x(2,87用 mina，b，c表示 a，b，c 三个数中的最小值设 f(x)min2x，x2,10 x(x0)，则 f(x)的最大值为_答案 6解析 f(x)min2x，x2,10 x(x0)的图象如图令 x210 x，得 x4.当 x4 时，f(x)取最大值，f(4)6.8已知定义在 R 上的函数 f(x)lg|x|，x0，1，x0，关于 x 的方程 f(x)c(c 为常数)恰有三个不同的实数根 x1，x2，x3，则 x
20、1x2x3_.答案 0解析 方程 f(x)c 有三个不同的实数根等价于 yf(x)与 yc 的图象有三个交点，画出函数f(x)的图象(图略)，易知 c1，且方程 f(x)c 的一根为 0，令 lg|x|1，解得 x10 或 10，故方程 f(x)c 的另两根为10 和 10，x1x2x30.9已知函数 f(x)x1x.(1)画出 f(x)的草图；(2)指出 f(x)的单调区间解(1)f(x)x1x1 1x1，函数 f(x)的图象是由反比例函数 y1x的图象向左平移 1 个单位后，再向上平移 1 个单位得到的，图象如图所示(2)由图象可以看出，函数 f(x)有两个单调递增区间：(，1)，(1，)
21、10已知函数 f(x)|x24x3|.(1)求函数 f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合 Mm|使方程 f(x)m 有四个不相等的实根解 f(x)x221，x，13，x221，x1，3，作出函数图象如图(1)函数的增区间为1,2，3，)；函数的减区间为(，1，2,3(2)在同一坐标系中作出 yf(x)和 ym 的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图)由图知 0m1，Mm|0m0，b0，c0；a0，c0；a0，c0；a0，b0，c0，c0，b0.令 f(x)0，得 xba，结合图象知ba0，a1，fx0 或x1，fx0.由图可知符合条件的解集为(，0(1,214已知 f(x)是定
22、义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x0,3)时，f(x)|x22x12|.若函数 yf(x)a 在区间3,4上有 10 个零点(互不相同)，则实数 a 的取值范围是_答案(0，12)解析 先画出 yx22x12在区间0,3)上的图象，再将 x 轴下方的图象对称到 x 轴上方，利用周期为 3，将图象平移至区间3,4内，即得 f(x)在区间3,4上的图象如图所示，其中 f(3)f(0)f(3)0.5，f(2)f(1)f(4)0.5.函数 yf(x)a 在区间3,4上有 10 个零点(互不相同)等价于 yf(x)的图象与直线 ya 有10 个不同的交点，由图象可得 a0，12.15给出下列命题：
23、在区间(0，)上，函数 yx1，12，yxy(x1)2，yx3 中有三个是增函数；若 logm3logn30，则 0nm1；若函数 f(x)是奇函数，则 f(x1)的图象关于点(1,0)对称；若函数 f(x)3x2x3，则方程 f(x)0 有两个实数根，其中正确的命题是_答案 解析 对于，在区间(0，)上，只有12，yxyx3 是增函数，所以错误对于，由logm3logn30，可得1log3m 1log3n0，即 log3nlog3m0，所以 0nm1，所以正确易知正确对于，方程 f(x)0 即为 3x2x30，变形得 3x2x3，令 y13x，y22x3，在同一坐标系中作出这两个函数的图象，如图由图象可知，两个函数图象有两个交点，所以正确