1、 河北省衡水中学2015届高三上学期四调考试数学（文）试题【试卷综述】突出考查数学主干知识 试卷长度、题型比例配置与考试说明一致，全卷重点考查中学数学主干知识和方法；侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。全面考查了考试说明中要求的内容，在全面考查的前提下，高中数学的主干知识如函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向.本试卷分第1卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间为120分钟。第I卷（选择题 共60分）【题文】一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
2、题目要求的）【题文】1设集合的范围是 【知识点】集合 A1【答案】【解析】B 解析： 由子集的概念可知，故选B【思路点拨】根据子集的概念可知集合中元素的取值范围.【题文】2已知空间直线L不在平面a内，则“直线L上有两个点到平面口的距离相等”是的 A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D非充分非必要条件【知识点】充分条件与必要条件 A2【答案】【解析】B解析：直线不在平面内分为直线与平面平行与相交两种情况，有两个点到平面的距离相等，则直线与平面也是平行或相交，所是是，必要不充分条件.B为正确选项. 【思路点拨】根据条件与结论之间的关系可知正确结果.【题文】3某几何体的三视图如图所示，则
3、该几何体的体积为 C200 D 240【知识点】三视图 G2【答案】【解析】C 解析：由三视图可知几何体为底面是等腰梯形的四棱柱，所以它的体积为，所以正确选项为C. 【思路点拨】由三视图可知几何体的形状，再根据几何体的直观图求出体积.【题文】4已知函数，则下列结论中正确的是 A函数的最小正周期为 B函数的最大值为1 C将函数的图像向右平移的图像 D将函数的图像向左平移的图像【知识点】函数y=Asin（x+）的图象变换 C4【答案】【解析】C 解析：，f（x）=cosx，g（x）=sinxf（x）g（x）=sinxcosx=sin2x，T=，排除A，排除B；将f（x）的图象向左平移个单位后得到y
4、=cos（x+）=sinxg（x），排除D；将f（x）的图象向右平移个单位后得到y=cos（x）=sinx=g（x），故选C 【思路点拨】先将函数f（x），g（x）根据诱导公式进行化简，再求出f（x）g（x）的解析式，进而得到f（x）g（x）的最小正周期和最大值可排除A，B；再依据三角函数平移变换法则对C，D进行验证即可【题文】5直线分割成的两段圆弧长之比为 A1：1 B1：2 C1：3 D1：4【知识点】直线与圆 H4【答案】【解析】B 解析：因为圆心到直线的距离为，所以劣弧所对的圆心角为，优弧所对的圆心角为，所以两段的弧长之比与圆心角之比相等为，所以B正确.【思路点拨】根据直线与圆的位置关
5、系可求出圆心角的大小.【题文】6已知的最小值是 A4 B3 C2 D1【知识点】基本不等式 E6【答案】【解析】A 解析： 因为由对数的运算可知，所以，能取等号，所以A正确.【思路点拨】根据对数的运算求出x,y的关系，再根据基本不等式求出最小值.【题文】7椭圆的一个焦点为F1若椭圆上存在一个点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF，相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为 【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质 H5【答案】【解析】D 解析：设线段PF的中点为M，另一个焦点F，由题意知，OM=b，又OM是FPF的中位线，OM=PF=b，PF=2b，由椭圆的定义知 PF=2aPF=2a2b，又 MF=
6、PF=（2a2b）=ab，又OF=c，直角三角形OMF中，由勾股定理得：（ab）2+b2=c2，又a2b2=c2，可得2a=3b，故有4a2=9b2=9（a2c2），由此可求得离心率 e=，故选：D 【思路点拨】设线段PF的中点为M，另一个焦点F，利用OM是FPF的中位线，以及椭圆的定义求出直角三角形OMF的三边之长，使用勾股定理求离心率【题文】8已知等差数列项和为时为递增数列，则实数的取值范围为 【知识点】数列的函数特性 D1【答案】【解析】D 解析：an=2n+，a1=2+，Sn=n2+（+1）n，又因为nN由二次函数的性质和nN可知7.5即可满足数列Sn为递增数列，解不等式可得16故选：
7、D 【思路点拨】Sn=n2+（+1）n，利用函数的单调性，列不等式即可求解【题文】9已知双曲线的一条渐近线与函数的图像相切，则双曲线的离心率等于 【知识点】双曲线的简单性质 H6【答案】【解析】D 解析：设切点（m，n），则n=m，n=1+lnm+ln2，y=1+lnx+ln2，y=，=，n=1，m=，=2，e=故选：D 【思路点拨】设切点（m，n），则n=m，n=1+lnm+ln2，求导数，利用渐近线与函数y=1+lnx+ln2的图象相切，求出=2，即可求出双曲线的离心率【题文】10已知实数x、y满足不等式组的取值范围是 【知识点】简单的线性规则 E5【答案】【解析】B 解析：作出不等式组对
8、应的可行域如图，为三角形AOB及其内部其中B（1，0），A（0，2）作直线：ax+by=0a0，b0，直线ax+by=0经过2，4象限，那么z=ax+by最优解为B（1，0）或A（0，2）ax+by1将B（1，0）代入，a1，即A（0，2）代入得2b1，b0a+b,即a+b的取值范围是（0，故选：B 【思路点拨】画出不等式组表示的平面区域，判断出区域的形状，求出a，b的范围，进一步求出a+b的范围【题文】11抛物线的焦点为F，M足抛物线C上的点，若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为的值为 A2 B4 C6 D8【知识点】抛物线的简单性质 H7【答案】【解析】D 解析：OF
9、M的外接圆与抛物线C的准线相切，OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径圆面积为36，圆的半径为6，又圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，+=6，p=8，故选：D 【思路点拨】根据OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值【题文】12定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则【知识点】导数的运算 B11【答案】【解析】A 解析：因为x（0，），所以sinx0，cosx0由f（x）tanx，得f（x）cosxsinx即sinxf（x）cosx0令g（x）=x（0，），则所以函数g（x）=在x（0，）上为增函数，则，即，所以，即故选
10、A 【思路点拨】把给出的等式变形得到f（x）sinxf（x）cosx0，由此联想构造辅助函数g（x）=，由其导函数的符号得到其在（0，）上为增函数，则，整理后即可得到答案第卷（非选择题共90分）【题文】二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）【题文】13函数的所有零点之和为_【知识点】函数的零点 B9【答案】【解析】4 解析： 由题意可知函数的零点就是的根，由图像可知是周期为2的函数，与交点有四个，根据周期性可知四个根的和为4.【思路点拨】根据函数的图象可得到交点的性质.【题文】14意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，其中从第三个数起，
11、每一个数都等于他前面两个数的和该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性，比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割06180339887人们称该数列为 “斐波那契数列”，若把该数列的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列，在数列中第2014项的值是 。【知识点】数列的性质 D1【答案】【解析】3 解析：1,1,2,3,5,8,13 除以4 得的余数分别为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0， 即新数列 是周期为6的周期数列， 所以第2014项的值是3.【思路点拨】根据数列的性质，可找出新数列的特点.【题文】15如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A，
12、D分别在x轴，y轴正半轴上移动，则的最大值是 。【知识点】向量在几何中的应用 F3【答案】【解析】2 解析：如图令OAD=，由于AD=1故0A=cos，OD=sin，如图BAX=，AB=1，故xB=cos+cos（）=cos+sin，yB=sin（）=cos故=（cos+sin，cos）同理可求得C（sin，cos+sin），即=（sin，cos+sin），=（cos+sin，cos）（sin，cos+sin）=1+sin2，的最大值是2故答案是 2 【思路点拨】令OAD=，由边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内
13、积即可【题文】16方程的曲线即为函数的图像，对于函数，下列命题中正确的是 （请写出所有正确命题的序号） 函数在R上是单调递减函数； 函数的值域是R； 函数的图像不经过第一象限5 函数的图像关于直线对称5 函数至少存在一个零点【知识点】命题的真假判断与应用 A2【答案】【解析】 解析：不妨取=1，对于，当x0且y0时，方程为，此时方程不成立当x0且y0时，方程为，此时y=3当x0且y0时，方程为，此时y=3当x0且y0时，方程为，即y=3因此作出函数的图象，如图所示由图象可知函数在R上单调递减，所以成立，不正确由F（x）=4f（x）+3x=0得f（x）=因为双曲线和的渐近线为y=，所以函数y=f
14、（x）与直线y=无公共点，因此F（x）=4f（x）+3x不存在零点，可得不正确故答案为：【思路点拨】不妨取=1，根据x、y的正负去绝对值，将方程化简，得到相应函数在各个区间上的表达式，由此作出函数的图象，再由图象可知函数在R上单调递减，且函数的值域为R，所以成立，不正确由F（x）=4f（x）+3x=0得f（x）=因为双曲线和的渐近线为y=，即可得出结论【题文】三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【题文】17（本小题满分12分）在ABC中，角A,B,C的对边分别为ab，b,c，且 （1）求角A的值； （2）若角的面积【知识点】正弦定理 C8【答案】【解析】(1) (2) 解析：
15、（1）由正弦定理，得，化简得cosA=，A=；（2）B=，C=AB=，可知ABC为等腰三角形，在AMC中，由余弦定理，得AM2=AC2+MC22ACMCcos120，即7=，解得b=2，ABC的面积S=b2sinC=【思路点拨】（1）利用正弦定理化边为角可求得cosA=，从而可得A；（2）易求角C，可知ABC为等腰三角形，在AMC中利用余弦定理可求b，再由三角形面积公式可求结果；【题文】18（本小题满分12分）数列的前n项和为，且，数列为等差数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）若对任意的恒成立，求实数k的取值范围【知识点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式 D2 D3
16、D4【答案】【解析】(1) (2) 解析： （1）由an+1=2Sn+1得an=2Sn1+1，得an+1an=2（SnSn1），an+1=3an（n2）又a2=3，a1=1也满足上式，an=3n1；（3分）b5b3=2d=6d=3bn=3+（n3）3=3n6；（6分）（2），对nN*恒成立，对nN*恒成立，（8分）令，当n3时，cncn1，当n4时，cncn1，（10分），所以实数k的取值范围是（12分）【思路点拨】（1）仿写一个等式，两式相减得到数列an的递推关系，判断出数列an是等比数列；利用等差数列及等比数列的通项公式分别求出数列an，bn的通项公式（2）利用等比数列的前n项和公式求出S
17、n，分离出参数k，构造新数列cn，利用后一项减去前一项，判断出数列cn的单调性，求出它的最大值，求出k的范围【题文】19（本小题满分12分）如图，正三棱柱（底面为正三角形，侧棱垂直于底面）ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1 （1）求证：Al C平面AB1D； （2）求点C到平面AB1D的距离【知识点】直线与平面平行；点到平面的距离 G4 G11【答案】【解析】(1)略（2） 解析： （1）取C1B1的中点E，连接A1E，ED，则B1EDC，B1E=DC四边形B1DCE为平行四边形，于是有B1DEC，又A1EAD，B1DAD=D，A1EEC=E，平面A1EC平面AB1D，A
18、1C平面A1EC，A1C平面AB1D（2）由三棱柱为正三棱柱【思路点拨】（1）依题意，取C1B1的中点E，连接A1E，ED，易证平面A1EC平面AB1D，利用面面平行的性质即可证得A1C平面AB1D(2)由等体积法可求出距离.【题文】20（本小题满分12分） 设函数 （1）若函数只有一个零点，求m的取值范围； （2）若对任意恒成立，求m的取值范围【知识点】函数零点的判定定理；函数恒成立问题 B9【答案】【解析】(1) m，或m (2) m 解析：（1）函数f（x）=lnx+，g（x）=f（x）=，若g（x）只有一个零点，则h（x）=x3+3x3m只有一个零点，h（x）=3x2+3=0时，x=1
19、，故当x=1时，h（x）取极小值3m2，当x=1时，h（x）取极大值3m+2，若h（x）=x3+3x3m只有一个零点，则3m20，或3m+20，解得：m，或m（2）若对于任意ba0，1恒成立，则f（x）=1在（0，+）上恒成立，即x2x+m0在（0，+）上恒成立，由y=x2x+m的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，故0，解得：m 【思路点拨】（1）由函数f（x）=lnx+，求出函数g（x）=f（x）的解析式，进而根据函数g（x）=f（x）只有一个零点，求得m的取值范围；（2）若对于任意ba0，1恒成立，则f（x）=1在（0，+）上恒成立，即x2x+m0在（0，+）上恒成立，结合二次
20、函数的图象和性质，可得m的取值范围【题文】21（本小题满分12分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F（l，0），点P是点F关于y轴的对称点，过点P的直线交抛物线于A，B两点 （1）试问在x轴上是否存在不同于点P的一点T，使得TA，TB与z轴所在的直线所成的锐角相等，若存在，求出定点T的坐标，若不存在，说明理由； （2）若AOB的面积为的夹角，【知识点】直线与圆锥曲线 H8【答案】【解析】(1) 存在T（1，0）(2) 解析：（1）由题意知：抛物线方程为：y2=4x且P（1，0）（1分）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l的方程为x=my1，代入y2=4x得y24my+4=0，=16
21、m2160，得m21，（2分）假设存在T（a，0）满足题意，则kAT+kBT=08m4m（1+a）=0，a=1，存在T（1，0）（6分）（2）SABC=|OF|y1y2|=|y1y2|=|y1y2|=5（7分）设直线OA，OB的倾斜角分别为，AOB=kOA=tan，kOB=tan（9分）设=|，tan=|tan（）|=|=|=1 【思路点拨】（1）由题意知：抛物线方程为：y2=4x且P（1，0）设直线l的方程为x=my1，将抛物线C的方程y2=4x与直线l的方程联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理求得kAT+kBT，设点T（t，0）存在，由TA，TB与x轴所成的锐角相等可得k
22、TA+kTB=0，利用韦达定理，即可求得a=1（2）根据三角形的面积公式得SABC=|OF|y1y2|=|y1y2|=，从而有|y1y2|=5，再设直线OA，OB的倾斜角分别为，AOB=，利用斜率公式得出kOA和kOB，设=|，再利用夹角公式，即可求出答案 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号。【题文】22（本小题满分10分）如图，CD为ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BCAE=DCAF，B、E、F、C四点共圆（1）证明：CA是BC外接圆的直径；（2）若DB=BE=EA，求过B、E、F、C四
23、点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值【知识点】与圆有关的比例线段 N1【答案】【解析】(1)略(2) 解析： （1）证明：BCAE=DCAF，（1分）又 DC为圆的切线DCB=EAF（2分）AFECBD（3分）AFE=CBD（4分）又B，E，F，C四点共圆AFE=CBE（5分）CBD=CBE=90CA是ABC外接圆的直径（6分）（）解：连结CE，CBE=90CE为B，E，F，C所共圆的直径（7分）DB=BE，且BCDECD=CE（8分）DC为圆的切线，AC为该圆的直径ACDC（9分）设DB=BE=EA=a，在RtACD中，CD2=BDDA=3a2，AC2=ABAD=6a2，即，过B、E、F、C
24、四点的圆的半径与ABC外接圆半径的比值为面积比为半径比的平方【思路点拨】（1）由已知条件得AFECBD，从而AFE=CBD，又B，E，F，C四点共圆，得CBD=CBE=90，由此能证明CA是ABC外接圆的直径（）连结CE，由CE为B，E，F，C所共圆的直径，得CD=CE，由切线性质得ACDC，由此能求出过B、E、F、C四点的圆的半径与ABC外接圆半径的比值【题文】23（本小题满分10分）已知函数 （1）当 （2）若的取值范围【知识点】绝对值不等式 N4【答案】【解析】（1）（2） 解析：(1) 时，不等式为，当时，不等式为，当时，不等式化为，不等式必成立，综上，不等式的解集为.(2)当时，由此得，当时，的最小值为7，所以a的取值范围是 【思路点拨】由绝对值不等式可直接求解，注意不等式中等号成立的条件即可.