1、11.3二项分布与正态分布探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.条件概率、相互独立事件及二项分布(1)了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题.(2)利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义2019课标,15,5分独立事件概率的求解互斥事件2019课标,18,12分独立事件概率的求解互斥事件2018课标,20,12分二项分布的均值应用利用期望进行决策、导数2018课标,8,5分 二项分布 2017课标,19,12分正态分布、二项分布的概念和性质概率的计算以及数学期望2.正
2、态分布2016课标,18,12 分条件概率的计算离散型随机变量的均值2015课标,4,5分相互独立事件的概率分析解读本节主要命题点:(1)相互独立事件的概率,条件概率;(2)二项分布的概念、特征和相关计算;(3)正态分布的应用,一般以解答题的形式出现.解题时注意对相关概念的理解和相关公式的应用.本节在高考中一般以选择题、解答题形式出现,难度在中等以下,分值约为5分或12分.主要考查学生的数据分析能力.破考点 练考向【考点集训】考点一条件概率、相互独立事件及二项分布1.(2020届辽宁沈阳铁路实验中学10月月考,7)已知箱中共有6个球,其中红球、黄球、蓝球各2个,每次从该箱中取1个球(每球取到的
3、机会均等),取出后放回箱中,连续取三次.设事件A=“第一次取到的球和第二次取到的球颜色不相同”,事件B=“三次取到的球颜色都不相同”,则P(B|A)=()A.16B.13C.23D.1答案B2.(2019广东东莞模拟,5)假设东莞市市民使用移动支付的概率都为p,且每位市民使用支付方式都相互独立,已知X是其中10位市民使用移动支付的人数,且EX=6,则p的值为()A.0.4B.0.5C.0.6D.0.8答案C3.(2020届河南百校联盟9月联合检测,15)中国诗词大会是央视首档全民参与的诗词节目,节目以“赏中华诗词,寻文化基因,品生活之美”为宗旨.每一期的比赛包含以下环节:“个人追逐赛”“攻擂资
4、格争夺赛”和“擂主争霸赛”,其中“擂主争霸赛”由“攻擂资格争夺赛”获胜者与上一场擂主进行比拼.“擂主争霸赛”共有九道抢答题,抢到并答对者得一分,答错则对方得一分,率先获得五分者即为该场擂主.在中国诗词大会的某一期节目中,若进行“擂主争霸赛”的甲乙两位选手每道抢答题得到一分的概率都是0.5,则抢答完七道题后甲成为擂主的概率为.答案15128考点二正态分布1.(2018广西柳州高级中学、南宁第二中学第二次联考,3)甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布N(1,12),N(2,22),其正态分布的密度曲线如图所示,则下列说法错误的是()A.甲类水果的平均质量1=0.4 kgB.甲类水果的
5、质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D.乙类水果的质量服从正态分布的参数2=1.99答案D2.(2020届百校联盟TOP20 9月联考,15)若随机变量服从正态分布N(9,16),则P(-313)=.参考数据:若N(,2),则P(-+)=0.682 7,P(-2+2)=0.954 5,P(-3+3)=0.997 3.答案0.84炼技法 提能力【方法集训】方法1独立重复试验及二项分布问题的求解方法(2020届四川内江威远中学第一次月考,7)设随机变量B(2,p),B(4,p),若P(1)=59,则P(2)的值为()A.1127B.3281C.6581
6、D.1681答案A方法2正态分布及其应用方法1.(2020届四川成都外国语学校10月阶段性检测,18)苹果可按果径M(最大横切面直径,单位:mm)分为五个等级:M80时为1级,75M80时为2级,70M75时为3级,65M70时为4级,M65时为5级.不同果径的苹果,按照不同外观指标又分为特级果、一级果、二级果.某果园采摘苹果10 000个,果径M均在60,85内,从中随机抽取2 000个苹果进行统计分析,得到如图1所示的频率分布直方图,图2为抽取的样本中果径在80以上的苹果的等级分布统计图.(1)假设M服从正态分布N(,2),其中的近似值为果径的样本平均数x(同一组数据用该区间的中点值代替)
7、,2=35.4,试估计采摘的10 000个苹果中,果径M位于区间(59.85,77.7)的苹果个数;(2)已知该果园2019年共收获果径在80以上的苹果800 kg,且售价为特级果12元/kg,一级果10元/kg,二级果9元/kg.设该果园售出这800 kg苹果的收入为X,以频率估计概率,求X的数学期望.附:若随机变量Z服从正态分布N(,2),则P(-Z+)=0.682 7,P(-2Z+2)=0.954 5,35.45.95.解析(1)x=62.50.15+67.50.25+72.50.3+77.50.2+82.50.1=71.75,=71.75,=35.45.95.P(59.85M77.7)
8、=P(-2M+)=12P(-2M+2)+P(-M+)=0.818 6.故10 000个苹果中,果径M在(59.85,77.7)中的苹果个数约8 186个.(2)由图2知,M80的苹果中,特级、一级、二级的概率分别为0.2,0.5,0.3,则X的分布列为X9 6008 0007 200P0.20.50.3E(X)=9 6000.2+8 0000.5+7 2000.3=8 080.2.(2020届河南洛阳尖子生第一次联考,19)“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的习俗.2019年春节前夕,A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标值,所得频率分布直方图如下:(1)求
9、所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值表示);(2)由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(,2),利用该正态分布,求Z落在(14.55,38.45)内的概率;将频率视为概率,若某人从该市某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X,求X的分布列和数学期望.附:计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差=142.7511.95,若N(,2),则P(-+)0.682 7,P(-2+2)=0.954 5.解析(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的平均数x=50
10、.1+150.2+250.3+350.25+450.15=26.5.(4分)(2)Z服从正态分布N(,2),且=26.5,11.95,(6分)P(14.55Z38.45)=P(26.5-11.95Z26.5+11.95)=0.682 7,Z落在(14.55,38.45)内的概率是0.682 7.(8分)根据题意得XB4,12,P(X=0)=C40124=116;P(X=1)=C41124=14;P(X=2)=C42124=38;P(X=3)=C43124=14;P(X=4)=C44124=116.(10分)X的分布列为X01234P116143814116E(X)=412=2.(12分)【五年
11、高考】A组统一命题课标卷题组考点一条件概率、相互独立事件及二项分布1.(2018课标,8,5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)P(X=6),则p=()A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3答案B2.(2019课标,15,5分)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以41获胜的概率是.答案0.18
12、3.(2017课标,13,5分)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则DX=.答案1.96考点二正态分布(2017课标,19,12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(-3,+3)之外的零件数,求P(X1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(-3,+3)之外的零件,就认为这条生产
13、线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性;(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得x=116i=116xi=9.97,s=116i=116(xi-x)2=116(i=116xi2-16x2)0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,16.用样本平均数x作为的估计值,用样本标准差s作为的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查.剔除(-3,
14、+3)之外的数据,用剩下的数据估计和(精确到0.01).附:若随机变量Z服从正态分布N(,2),则P(-3Z+3)=0.997 4.0.997 4160.959 2,0.0080.09.解析(1)抽取的一个零件的尺寸在(-3,+3)之内的概率为0.997 4,从而零件的尺寸在(-3,+3)之外的概率为0.002 6,故XB(16,0.002 6).因此P(X1)=1-P(X=0)=1-0.997 4160.040 8.X的数学期望为EX=160.002 6=0.041 6.(2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(-3,+3)之外的概率只有0.002 6,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸
15、在(-3,+3)之外的零件的概率只有0.040 8,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ii)由x=9.97,s0.212,得的估计值为=9.97,的估计值为=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(-3,+3)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.剔除(-3,+3)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为115(169.97-9.22)=10.02,因此的估计值为10.02.i=116xi2=160.2122+169.9721 591.134,剔除(-3,+
16、3)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为115(1 591.134-9.222-1510.022)0.008,因此的估计值为0.0080.09.思路分析(1)利用正态分布、二项分布的性质可求出P(X1)及X的数学期望;(2)(i)先说明出现尺寸在(-3,+3)之外的零件的概率,再说明监控生产过程方法的合理性;(ii)利用给出的数据可计算出区间(-3,+3),从而剔除(-3,+3)之外的数据,再利用剩余数据估计和.规律总结(1)正态分布:若变量X服从正态分布N(,2),则为样本的均值,正态曲线的对称轴为直线x=;为样本数据的标准差,体现了数据的稳定性.(2)二项分布:若变量XB(n,p),则
17、X的期望EX=np,方差DX=np(1-p).B组自主命题省(区、市)卷题组考点一条件概率、相互独立事件及二项分布1.(2015广东,13,5分)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p=.答案132.(2019天津,16,13分)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”
18、,求事件M发生的概率.解析本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力,重点考查数学建模、数学运算的核心素养.(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为23,故XB3,23,从而P(X=k)=C3k23k133-k,k=0,1,2,3.所以,随机变量X的分布列为X0123P1272949827随机变量X的数学期望E(X)=323=2.(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y,则YB3,23,且M=X=3,Y=1X=2,Y=0.由题意知事件X=3,Y=1
19、与X=2,Y=0互斥,且事件X=3与Y=1,事件X=2与Y=0均相互独立,从而由(1)知P(M)=P(X=3,Y=1X=2,Y=0)=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=82729+49127=20243.思路分析(1)观察关键词“均”“互不影响”“相互独立”,判断XB(n,p),从而利用二项分布求出分布列与期望.(2)先将“天数恰好多2”用数学语言表示,即X=3,Y=1或X=2,Y=0.从而利用互斥与相互独立事件的概率计算公式求解.考点二正态分布1.(2015湖北,4,5分)设XN(1,12),YN(2,22),这两个正态分布密度曲
20、线如图所示.下列结论中正确的是()A.P(Y2)P(Y1)B.P(X2)P(X1)C.对任意正数t,P(Xt)P(Yt)D.对任意正数t,P(Xt)P(Yt)答案C2.(2015山东,8,5分)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附:若随机变量服从正态分布N(,2),则P(-+)=68.26%,P(-2D4D2=D5D3D6.4.(2017天津,16,13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为12,13,14.(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的
21、个数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.解析本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,事件的相互独立性,互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=1-121-131-14=14,P(X=1)=121-131-14+1-12131-14+1-121-1314=1124,P(X=2)=1-121314+121-1314+12131-14=14,P(X=3)=121314=124.所以,随机变量X的分布列为X0123P1411241412
22、4随机变量X的数学期望E(X)=014+11124+214+3124=1312.(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)=141124+112414=1148.所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.技巧点拨解决随机变量分布列问题的关键是正确求出随机变量可以取哪些值以及取各个值时对应的概率,只有正确理解随机变量取值的意义才能解决这个问题,理解随机变量取值的意义是解决这类问题的必要前提.5.(2016课标,18,12分)某险种的基本保
23、费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:一年内出险次数012345概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.解析(1)设A表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=0.2+0
24、.2+0.1+0.05=0.55.(3分)(2)设B表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)=P(AB)P(A)=P(B)P(A)=0.150.55=311.因此所求概率为311.(7分)(3)记续保人本年度的保费为X元,则X的分布列为X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05EX=0.85a0.30+a0.15+1.25a0.20+1.5a0.20+1.75a0.10+2a0.05=1.23a.因此续保人
25、本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.(12分)思路分析(1)将本年度保费高于基本保费a对应的所有事件的概率相加即可;(2)利用条件概率公式求解;(3)求出续保人本年度保费的期望与基本保费的比值即可.6.(2016北京,16,13分)A,B,C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时):A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.5(1)试估计C班的学生人数;(2)从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独
26、立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;(3)再从A,B,C三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时).这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为1,表格中数据的平均数记为0,试判断0和1的大小.(结论不要求证明)解析(1)由题意知,抽出的20名学生中,来自C班的学生有8名.根据分层抽样方法,C班的学生人数估计为100820=40.(2)设事件Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人”,i=1,2,5,事件Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人”, j=1,2,8.由题意可知,P(Ai)=15,i=1,2,5;P(Cj)=18, j=1,2,8.
27、P(AiCj)=P(Ai)P(Cj)=1518=140,i=1,2,5, j=1,2,8.设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知,E=A1C1A1C2A2C1A2C2A2C3A3C1A3C2A3C3A4C1A4C2A4C3A5C1A5C2A5C3A5C4.因此P(E)=P(A1C1)+P(A1C2)+P(A2C1)+P(A2C2)+P(A2C3)+P(A3C1)+P(A3C2)+P(A3C3)+P(A4C1)+P(A4C2)+P(A4C3)+P(A5C1)+P(A5C2)+P(A5C3)+P(A5C4)=15140=38.(3)110 000)=0.5+0.2=0.7,由二项
28、分布知,3天中至少有1天最大获利超过10 000元的概率为1-(1-0.7)3=1-0.33=0.973.9.(2014大纲全国,20,12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.解析记Ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2,B表示事件:甲需使用设备,C表示事件:丁需使用设备,D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备.(1)D=A1BC+A2B+A2BC,P(B)=0.6,P(C)=0.4
29、,P(Ai)=C2i0.52,i=0,1,2,(3分)所以P(D)=P(A1BC+A2B+A2BC)=P(A1BC)+P(A2B)+P(A2BC)=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P(B)P(C)=0.31.(6分)(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,则P(X=0)=P(BA0C)=P(B)P(A0)P(C)=(1-0.6)0.52(1-0.4)=0.06,P(X=1)=P(BA0C+BA0C+BA1C)=P(B)P(A0)P(C)+P(B)P(A0)P(C)+P(B)P(A1)P(C)=0.60.52(1-0.4)+(1-0.6)0.520.4+(1-0.6)2
30、0.52(1-0.4)=0.25,P(X=4)=P(A2BC)=P(A2)P(B)P(C)=0.520.60.4=0.06,P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25,P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,(10分)数学期望EX=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)=0.25+20.38+30.25+40.06=2.(12分)10.(2013课标,19,12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.
31、如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为12,且各件产品是不是优质品相互独立.(1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.解析(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品都是优质品为事
32、件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)=416116+11612=364.(2)X可能的取值为400,500,800,并且P(X=400)=1-416-116=1116,P(X=500)=116,P(X=800)=14.所以X的分布列为X400500800P111611614EX=4001116+500116+80014=506.25.思路分析(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1
33、,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件全是优质品为事件B1,第二次取出的1件是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)(A2B2)且A1B1与A2B2互斥,进而求解.(2)X可能的取值为400,500,800,分别求其对应的概率,进而可得分布列、期望. 考点二正态分布(2014课标,18,12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数 x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z
34、服从正态分布N(,2),其中近似为样本平均数 x,2近似为样本方差s2.(i)利用该正态分布,求P(187.8Z212.2);(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用(i)的结果,求EX.附:15012.2.若ZN(,2),则P(-Z +)=0.682 6,P(-2Z +2)=0.954 4.解析(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x=1700.02+1800.09+1900.22+2000.33+2100.24+2200.08+2300.02=200,s2=(-30)20.02+
35、(-20)20.09+(-10)20.22+00.33+1020.24+2020.08+3020.02=150.(2)(i)由(1)知,ZN(200,150),从而P(187.8Z212.2)=P(200-12.2Z0),试卷满分150分,统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15,则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为()A.150B.200C.300D.400答案C6.(2019河南郑州二模,7)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(-2,4)的密度曲线)的点的个数的估计值为()(附:XN(,2),则P(-X+)=0
36、.682 7,P(-2X+2)=0.954 5)A.906B.2 718C.340D.3 413答案C7.(2018山东济南外国语学校12月月考,4)“石头、剪刀、布”又称“猜丁壳”,是一种流行多年的猜拳游戏,起源于中国,然后传到日本、朝鲜等地,随着亚欧贸易的不断发展,它传到了欧洲,到了近代逐渐风靡世界.其游戏规则是:出拳之前双方齐喊口令,然后在语音刚落时同时出拳,握紧的拳头代表“石头”,食指和中指伸出代表“剪刀”,五指伸开代表“布”.“石头”胜“剪刀”,“剪刀”胜“布”,而“布”又胜“石头”.若所出的拳相同,则为和局.小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛,则小军和
37、大明比赛至第四局小军胜出的概率是()A.127B.227C.281D.881答案B二、填空题(每小题5分,共10分)8.(2020届云南名校高考适应性月考,14)甲队和乙队进行乒乓球决赛,采取七局四胜制(当一队赢得四局胜利时,该队获胜,决赛结束),根据前期比赛成绩,甲队每局取胜的概率为0.8,且各局比赛结果相互独立,则甲队以41获胜的概率是.答案1 0243 1259.(2020届湖北宜昌部分示范高中教学协作体9月月考,16)在一段线路中有4个自动控制的常用开关A、B、C、D,如图连接在一起,假定在2019年9月份开关A,D能够闭合的概率都是0.7,开关B,C能够闭合的概率都是0.8,则在9月
38、份这段线路能正常工作的概率为.答案0.967 6三、解答题(共35分)10.(2020届山西太原五中第二次诊断,20)十九大以来,某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求,带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏,新农村建设取得巨大进步,农民年收入也逐年增加.为了更好地制订2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划,该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图:(1)根据频率分布直方图,估计50位农民的年平均收入x(单位:千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示);(2)由频率分布直方图,可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布
39、N(,2),其中近似为年平均收入x,2近似为样本方差s2,经计算得s2=6.92.利用该正态分布,求:(i)在2019年脱贫攻坚工作中,若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准,则最低年收入大约为多少千元?(ii)为了调研“精准扶贫,不落一人”的政策要求落实情况,扶贫办随机走访了1 000位农民.若每个农民的年收入相互独立,问:这1 000位农民中,年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少?附:参考数据与公式6.922.63,若XN(,2),则P(-X+)=0.682 7;P(-2X+2)=0.954 5;P(-3-)=12+0.682 720
40、.841 4,当-=17.40-2.63=14.77时,满足题意,即最低年收入大约为14.77千元.(ii)由P(X12.14)=P(X-2)=0.5+0.954 520.977 3,得每位农民的年收入不少于12.14千元的概率为0.977 3.记1 000位农民中,年收入不少于12.14千元的人数为,则B(103,p),其中p=0.977 3,于是恰好有k位农民的年收入不少于12.14千元的概率是P(=k)=C103kpk(1-p)103-k,从而由P(=k)P(=k-1)=(1 001-k)pk(1-p)1,得k1 001p,而1 001p=978.277 3,所以当0k978时,P(=k
41、-1)P(=k),由此可知,在所走访的1 000位农民中,年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978.11.(2020届百校联盟TOP20 9月联考,22)某游戏公司对今年新开发的一些游戏进行评测,为了了解玩家对游戏的体验感,研究人员随机调查了300名玩家,对他们的游戏体验感进行测评,并将所得数据统计如图所示,其中a-b=0.016.(1)求这300名玩家测评分数的平均数;(2)由于该公司近年来生产的游戏体验感较差,公司计划聘请3位游戏专家对游戏进行初测,如果3人中有2人或3人认为游戏需要改进,则公司将回收该款游戏进行改进;若3人中仅1人认为游戏需要改进,则公司将另外聘请2位专家二测,二
42、测时,2人中至少有1人认为游戏需要改进的话,公司则将对该款游戏进行回收改进.已知该公司每款游戏被每位专家认为需要改进的概率为p(0p0,g(p)在0,13上单调递增,当p13,1时,g(p)110,故所需的最高费用将超过预算.(12分)12.(2020届江西抚州临川第一次联考,20)抚州不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化,更有着许多旅游景点.每年来抚州参观旅游的人数不胜数.其中,名人园与梦岛被称为抚州的两张名片,为合理配置旅游资源,现对已游览名人园景点的游客进行随机问卷调查.若不去梦岛记1分,若继续去梦岛记2分.每位游客去梦岛的概率均为23,且游客之间的选择意愿相互独立.(1)从游客中随机
43、抽取3人,记总得分为随机变量X,求X的分布列与数学期望;(2)若从游客中随机抽取m人,记总分恰为m分的概率为Am,求数列Am的前6项和;(3)在对所有游客进行随机问卷调查的过程中,记已调查过的累计得分恰为n分的概率为Bn,探讨Bn与Bn-1之间的关系,并求数列Bn的通项公式.解析本题考查了n次独立重复试验,离散型随机变量的分布列、期望,等比数列求和,由递推关系式求通项公式,属于难题.(1)X可能的取值为3,4,5,6,P(X=3)=133=127,P(X=4)=C3123132=627,P(X=5)=C3223213=1227,P(X=6)=233=827,故X的分布列为X3456P12762
44、71227827所以E(X)=3127+4627+51227+6827=5.(2)总分恰为m分的概率Am=13m,故S6=131-1361-13=364729.(3)已调查过的累计得分恰为n分的概率为Bn,得不到n分的情况只有先得n-1分,再得2分,这种情况的概率为23Bn-1,而B1=13,故1-Bn=23Bn-1,即Bn=-23Bn-1+1,可得Bn-35=-23Bn-1-35,又B1-35=-415,所以Bn-35=-415-23n-1,所以Bn=35+25-23n.思路分析(1)根据n次独立重复试验模型可求解;(2)总分恰为m分的概率Am=13m,求前6项和即可;(3)已调查过的累计得分恰为n分的概率为Bn,得不到n分的情况只有先得n-1分,再得2分,这种情况的概率为23Bn-1,可得递推关系Bn=-23Bn-1+1,构造等比数列求解即可.