1、2020级高一年级第二学期皖八联盟统测数学考生注意：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟2请将各题答案填写在答题卡上3本试卷主要考试内容：必修第二册第六章至第八章第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若复数（a为实数）为纯虚数，则（ ）A B C D2在中，已知，则（ ）A3 B2 C D3下列判断正确的是（ ）A空间中任意三点确定一个平面 B垂直同一个平面的两条直线互相垂直C一个西瓜切3刀最多可切成8块 D垂直同一个平面的两个平面互相平行4已知向量，若，则（ ）A20 B12 C5
2、 D05已知O为复平面内的原点，复数在复平面内对应的点分别为A，B，则的取值范围是（ ）A B C D6已知的是两个不共线的向量，若A，B，C三点共线，则（ ）A B C D7如图，在直三棱柱中，点O为的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）A2 B3 C D8的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知，则（ A B C D9已知正四棱锥的所有棱长均为，E，F分别是的中点，则（ ）A B C D310某几何体由圆锥挖去一个圆柱而得，且圆柱的上底面与圆锥内接，如图所示，已知该圆锥的底面半径，圆柱的底面半径，且圆锥侧面展开图的圆心角为，则该几何体的体积为（ ）A B C D11若向量满足，且当时
3、，的最小值为，则（ ）A B C6 D12如图，正方体的棱长为2，M为棱的中点，N为棱上的点，且，现有下列结论：当时，平面；存在，使得平面；当时，点C到平面的距离为；对任意，直线与都是异面直线其中所有正确结论的编号为（ ）A B C D第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上13复数的共轭复数是_14已知向量与的夹角为，且，则_15在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且的面积为，则内切圆的面积为_16在长方体中，则以点A为球心，半径的球的球面与长方体表面的交线的总长度为_三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1
4、7（10分）已知复数满足（1）求；（2）若复数的虚部为1，且是实数，求18（12分）如图，已知，且（1）求；（2）设与交于点P，求的值19（12分）如图，正四棱锥的每个侧面均为等边三角形（1）证明：平面（2）若四棱锥的体积为，求该四棱锥的表面积20（12分）如图，缉私艇在A处通过卫星发现正东方相距的P处有一艘走私船，走私船正以的速度往它的东北方向的公海逃窜，此时距离公海缉私艇立即以的速度追缉（1）为了尽快将走私船截获，缉私艇应该往哪个方向进行追缉？（2）缉私艇能否在该走私船进入公海前将其截获？21（12分）如图，在正方体中，M为棱的中点（1）试作出平面与平面的交线l，并说明理由；（2）用平面去
5、截正方体，所得两部分几何体的体积分别为，求的值22（12分）如图,在平面四边形中，（1）设，证明：为定值（2）若，记的面积为，的面积为，求S的最大值2020级高一年级第二学期皖八联盟统测数学参考答案1A 因为为纯虚数，所以，则2B 由正弦定理，得3C 空间中任意三点不一定可确定一个平面，垂直同一个平面的两条直线互相平行，垂直同一个平面的两个平面未必互相平行，一个西瓜切3刀等价于一个正方体被三个平面切割，按照如图所示的方法切割可得最多块数，故C正确，其余选项均错误4C 由可得，解得，所以，则5B 因为，所以A的坐标为，又B的坐标为，所以6B 因为A，B，C三点共线，所以，即，则解得7A 如图，连
6、接，设与的交点为E，连接，易得点E为的中点，又因为点O为的中点，所以，且，所以即异面直线与所成角在直三棱柱中，又因为，所以平面，从而平面，可得因为，所以，所以8C 因为，所以，即，又，则，从而，又，故9A 如图，设正方形的中心为O，连接，则平面，设的中点为H，连接，则，所以在中，所以由余弦定理可得，所以10C 因为圆锥侧面展开图的圆心角为，所以，则，圆锥的高，设圆柱的高为，则，解得，所以该几何体的体积为11D 由向量的减法法则可得，当向量与垂直时，取得最小值，则，解得，则，故12D 若平面，如图，连接，记交于S，交于T，连接，则，又T为的中点，故S也为的中点延长交的延长线于Q，可知，即，故错误
7、若平面，则，这是不可能的，故错误利用等体积法求得点C到平面的距离为，故正确连接（图略），平面，点平面，点平面，利用异面直线的判定定理“过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不过该点的直线异面”，故正确13 ，故复数的共轭复数是142 因为，所以15 由，可得，结合化简可得，因为，所以，则，因为，所以又，所以，因为，所以，故内切圆的半径，内切圆的面积16 交线由四段弧构成如图，其中两段（前侧面和下底面）弧是以A为圆心，半径为，圆心角为的圆弧；另两段（上底面和后侧面）弧是分别以和D为圆心，半径为1，圆心角为的圆弧17解：（1） 4分（2）设，则， 6分因为是实数，所以，解得， 8分所以 10分18
8、解：（1），则 5分（2）等于向量和的夹角， 7分， 9分则 12分19（1）证明：在正四棱锥中，底面为正方形，则， 2分因为平面平面，所以平面 4分（2）解：设底面，O为垂足，则O为正方形的中心， 5分取的中点E，连接因为底面，所以 6分设，则， 7分则， 8分所以四棱锥的体积， 10分解得，从而该四棱维的表面积 12分20解：（1）假设t小时后缉私艇在点M处将走私船截获在中，解得，则，即缉私艇应该往东偏北方向追缉 6分（2）在中，根据余弦定理得，化简得，解得，此时走私船前进了所以缉私艇可以在该走私船进入公海前将其截获 12分【用正弦定理利用也可以求解】21解：（1）作法：如图，连接，在平面
9、内过M作，交于N，则直线即平面与平面的交线l 3分理由：因为平面平面，又平面平面，平面平面，所以因此，在平面内过M作，而，即，则直线即所求作的交线l 6分（2）由（1）知在三角形中，M为棱的中点，所以N为棱的中点在正方形中，延长交的延长线于点P（图略），所以B为棱的中点由于N为棱的中点，所以延长交的延长线于点P，所以几何体是三棱台 8分设正方体的棱长为a，则的面积的面积，所以三棱台的体积， 10分另一个几何体的体积，因为用平面去截正方体，所得两部分几何体的体积分别为，所以，所以 12分22（1）证明：设，则在中，因为，所以 1分在中，由余弦定理得， 2分即， 3分则，即， 4分故为定值 5分（2）解：在中，则，即 7分 8分， 10分当时，S取得最大值 12分