1、2.5.2 椭圆的几何性质课标解读课标要求素养要求1.掌握椭圆的简单几何性质.2.通过对椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想.3.了解椭圆的简单应用.1.直观想象能依据椭圆的方程和图形研究其几何性质.2.数学运算能利用椭圆的简单几何性质求椭圆的方程，或根据椭圆的方程求其简单几何性质.第1课时椭圆的几何性质自主学习必备知识教材研习教材原句焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2+y2b2=1(ab0)y2a2+x2b2=1(ab0)图形焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)焦距|F1F2|=2c范围 -axa且-byb -bxb且-aya对称性对称轴： x
2、轴和y轴，对称中心：(0,0) 顶点A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)轴长长轴长|A1A2|= 2a，短轴长|B1B2|= 2b离心率e=ca,e (0,1) ，当e越趋近于1时，椭圆越扁，当e越趋近于0时，椭圆越接近于圆自主思考1.椭圆上的点到焦点的距离的最大值和最小值分别是什么？答案：提示椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a+c，最小值为a-c .2.若椭圆的长轴长和短轴长已经确定，则椭圆的标准方程是否能够确定？答案：提示不确定，因为椭圆的焦点位置不确定.3.在a不变的情况下，随c的变化，椭圆的
3、形状如何变化？若c不变，随a的变化，椭圆的形状又如何变化呢？答案：提示a不变，c越小，椭圆越圆；c越大，椭圆越扁.c不变，a越大，椭圆越圆；a越小，椭圆越扁.名师点睛椭圆几何性质的应用（1）椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定椭圆的扁圆程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点.（2）明确a,b的几何意义，a是半长轴长，b是半短轴长，不要与长轴长、短轴长混淆.（3）椭圆的范围决定了椭圆的大小，它位于四条直线x=a，y=b围成的矩形内，即-axa，-byb .椭圆的范围在解决与椭圆有关的最值、参数的取值范围问题时，常常涉及.（4）如图，若椭圆的
4、标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0)，则椭圆与x轴的交点A1,A2到焦点F2的距离分别最大和最小，且|A1F2|=a+c,|A2F2|=a-c .（5）如图所示的椭圆中，a=|F2B2|，b=|OB2|，c=|OF2|，e=ca=|OF2|F2B2|=cosOF2B2 .互动探究关键能力探究点一椭圆的几何性质自测自评1.（2021山东济南高二月考）若点A(1,m)在椭圆C：x24+y22=1的内部，则实数m的取值范围是( )A.(-6,6) B.(-62,62)C.(-,-62)(62,+) D.(-32,32)答案：B解析：由题意得124+m221，解得m(-62,62)，所以m的取值
5、范围是(-62,62) .2.（多选）嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，其近月点与月球表面的距离为100千米，远月点与月球表面的距离为400千米，已知月球的直径约为3 476千米，对于该椭圆，下述四个结论正确的是( )A.焦距约为300千米B.长轴长约为3 976千米C.两焦点坐标约为(150,0) D.离心率约为75994答案：A ; B ; D解析：设该椭圆的半长轴长为a千米，半焦距为c千米.依题意可得月球半径约为123476=1738（千米），易知a-c=10
6、0+1738=1838，a+c=400+1738=2138，2a=1838+2138=3976，a=1988，c=2138-1988=150，椭圆的焦距约为1502=300（千米），长轴长约为3 976千米，离心率约为1501988=75994，可得结论A、B、D正确，没有给坐标系，焦点坐标不确定，结论C错误.3.求椭圆m2x2+4m2y2=1(m0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.答案：由已知得x21m2+y214m2=1(m0)，0m24m2,1m214m2 .椭圆的焦点在x轴上，半长轴长a=1m，半短轴长b=12m，半焦距c=a2-b2=32m，椭圆的长轴长2a=2m，短轴
7、长2b=1m，焦点坐标为(-32m,0),(32m,0)，顶点坐标为(1m,0),(-1m,0),(0,-12m),(0,12m)，离心率e=ca=32m1m=32 .解题感悟若所给的椭圆方程不是标准方程，则先把其化为标准方程，然后分清焦点的位置，求出a,b,c，再求相应的性质.探究点二根据椭圆的几何性质求椭圆的方程精讲精练例（1）已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为35，直线2x+y+10=0过椭圆的左顶点，则椭圆方程为( )A.x25+y24=1 B.x225+y29=1C.x216+y29=1 D.x225+y216=1（2）（2020山东淄博高二期中）阿基米德出生于希腊西
8、西里岛叙拉古，享有“力学之父”的美称，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率、椭圆的半长轴长、椭圆的半短轴长三者的乘积.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的面积为8，直线l过椭圆C的两个顶点，且椭圆的中心到直线l的距离为43417，则椭圆C的方程为( )A.x216+y24=1 B.x220+y214=1C.x264+y2=1 D.x232+y22=1答案：（1）D（2）D解析：（1）易知直线2x+y+10=0与x轴的交点为(-5,0)，由题意得椭圆的左顶点为(-5,0).所以椭圆的半长轴长a=5，由椭圆的离心率为35，知c=3 .则b=4，所以椭
9、圆的方程为x225+y216=1 .（2）依题意，8=ab，故ab=8 ，不妨设直线l：xa+yb=1，即bx+ay-ab=0，则椭圆的中心到直线l的距离为aba2+b2=43417，解得a2+b2=34 ，联立，解得a=42，b=2，故椭圆C的方程为x232+y22=1 .变式把本例（1）的条件改为“椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3 ”，求椭圆的标准方程.答案：由题意得a2c,a-c=3,a=23,c=3,b2=a2-c2=9 .所求椭圆的标准方程为x212+y29=1或x29+y212=1 .解题感悟在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标
10、轴，从而确定方程的形式，若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程（组）确定a,b .迁移应用1.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的长轴长是短轴长的2倍，焦距等于23，则椭圆C的方程为( )A.x24+y2=1 B.x26+y23=1C.x24+y22=1 D.x24+y23=1答案：A解析：由长轴长是短轴长的2倍，得2a=4b，即a=2b，焦距等于23，所以2c=23，即c=3 .由a2=b2+c2，解得b=1，a=2，所以椭圆的标准方程为x24+y2=1 .探究点三椭圆几何性质的应用精讲精练例（1）（2020山东济南月考）2020年3月9日，我国在西昌卫星发射中心用长
11、征三号运载火箭，成功发射北斗系统第54颗导航卫星.第54颗导航卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R，若其近地点、远地点离地面的距离大约分别是115R，13R，则第54颗导航卫星的运行轨道（椭圆）的离心率是( )A.25 B.15 C.23 D.19（2）已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率是12，则b2+13a的最小值为( )A.33 B.1 C.233 D.2答案：（1）D（2）A解析：（1）以运行轨道的中心为原点，长轴所在直线为x轴，短轴所在直线为y轴建立平面直角坐标系（图略），令地心F2为椭圆的右焦点，设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0)，则地
12、心F2的坐标为(c,0)，由题意，得a-c=R+115R,a+c=R+13R，解得2a=125R,2c=415R，所以e=ca=19 .（2）由题意可得，ca=12，即c=12a，b2=a2-c2=3a24，则b2+13a=3a24+13a=a4+13a2a413a=33，当且仅当a4=13a，即a=233时取等号，b2+13a的最小值为33 .解题感悟求椭圆离心率的方法：直接求出a和c，再求e=ca，也可利用e=1-b2a2求解.若a和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到a和c的齐次等式，然后整理成ca的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e的方程，进而求解.迁移应用1.（2021山东
13、聊城高二期末）某些首饰，如手镯，项链吊坠等都是椭圆形状，这种形状给人以美的享受，在数学中，我们把这种椭圆叫做“黄金椭圆”，其离心率e=5-12 .设黄金椭圆的半长轴长，半短轴长，半焦距分别为a,b,c，则a,b,c满足的关系是( )A.2b=a+c B.b2=acC.a=b+c D.2b=ac答案：B解析：椭圆为黄金椭圆，e=ca=5-12，c=5-12a，b2=a2-c2=a2-(5-12a)2=5-12a2=ac，故选B.2.（2021山东东营广饶一中期末）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左，右焦点分别为F1,F2，D为y轴上一点，DF1F2为正三角形，若DF1,DF2的中点
14、恰好在椭圆C上，则椭圆C的离心率是( )A.3-1 B.2-3C.2-1 D.2-2答案：A解析：因为DF1F2为正三角形，所以|DF1|=|F1F2|=2c，取线段DF1的中点M，连接MF2，如图.易知MF2DF1，MF2F1=30，所以|MF1|+|MF2|=c+3c=2a，即ca=23+1=3-1，所以椭圆C的离心率e=3-1 .评价检测素养提升1.椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于12，且它的一个顶点为(0,23)，则椭圆C的标准方程为( )A.x24+y22=1 B.x24+y23=1C.x212+y29=1 D.x216+y212=1答案：D2.（多选）（2021山东聊城
15、高二月考）已知椭圆C：16x2+4y2=1，则下列结论正确的是( )A.长轴长为12B.焦距为34C.焦点坐标为(0,34)D.离心率为32答案：C ; D3.（2020山师附中高二月考）某同学数星星的时候，突然想到了哈雷彗星，信息技术老师给他找了一幅哈雷彗星的图片和其轨道图片，地理老师告诉他哈雷彗星近日点距离太阳约0.6A.U.，将于2023年12月9日出现的远日点距离太阳约35A.U.（A.U.是天文单位，天文学中计量天体之间距离的一种单位，其数值取地球和太阳之间的平均距离，1A.U.=149597870千米），若将太阳看成一个质点，哈雷彗星的轨迹可以近似看成以太阳为一个焦点的椭圆，则该椭圆的离心率约是( )A.1.03B.0.97C.0.83D.0.77答案：B