1、课后导练基础达标1.等式12+22+32+n2=(5n2-7n+4)()A.n为任何正整数时都成立B.仅当n=1,2,3时成立C.当n=4时成立,n=5时不成立D.仅当n=4时不成立解析:当n=1时,左=1=右,成立;当n=2时,左=5=右,成立;当n=3时,左=14=右,成立;当n=4时,左=3028=右,不成立.故答案为B.答案:B2.平面内原有k条直线,它们的交点个数记为f(k),则增加一条直线它们的交点个数最多为()A.f(k)+1B.f(k)+kC.f(k)+k+1D.kf(k)解析:每增加一条直线,它必与其他直线各有一个交点,已有k条.所以增加k个交点,交点为f(k)+k.答案:B
2、3.平面上有k(k3)条直线,其中有k-1条直线互相平行,剩下一条与它们不平行,则这k条直线将平面分成区域的个数为()A.kB.k+2C.2kD.2k+2解析:k-1条平行线将平面分为k部分,与其相交一条又将每部分一分为二.答案:C4.用数学归纳法证明“当n是非负整数时55n+1+45n+2+35n能被11整除”的第一步应写成:当n=_时,55n+1+45n+2+35n=_=_,能被11整除.解析:n为非负整数,n0且nN.n0=0.代入得51+42+30=22.答案:051+42+30225.设凸k边形的内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+ _.解析:由内角和公式
3、(n-2),得f(k+1)-f(k)=(k-1)+(k-2)=.答案:6.用数学归纳法证明1+2+22+23+25n-1(nN*)是31的倍数时,从“n=k到n=k+1”需添的项是_.解析:当n=k时,1+2+22+25k-1,当n=k+1时,1+2+22+25k-1+25k+25(k+1)-1,增加项为25k+25k+1+25k+4.答案:25k+25k+1+25k+47.设f(n)=+(nN*),那么f(n+1)-f(n)等于_.解析:f(n)= +,f(n+1)=+,f(n+1)-f(n)=+-=-.答案:-8.证明12-22+32-42+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1).证
4、明:(1)当n=1时,左边=12-22=-3,右边=-1(21+1)=-3,等式成立.(2)假设当n=k时,等式成立,即12-22+32-42+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1),则当n=k+1时,12-22+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2=-(k-1)2(k+1)+1.由(1)(2)可知,对任何nN*,等式成立.9.已知数列an满足a1=,且前n项和Sn满足:Sn=n2an,求an的通项公式,并给出证明.解:由已知a1=,Sn=n2an,a1+a2=4a2,a2=a1=,a1+a2+a3=9a3.a3=.
5、同理a4=.猜想:an=.下面用数学归纳法加以证明:(1)当n=1时,a1=,而=,公式成立.(2)假设当n=k时,公式成立,即ak=.当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)2ak+1-k2ak.ak+1=ak=,即当n=k+1时,公式也成立.由(1)(2)可知,对任何nN*公式都成立.综合运用10.设有通过一点的k个平面,其中任何三个或三个以上的平面不共有一条直线,这k个平面将空间分成f(k)个部分,则k+1个平面将空间分成f(k+1)=f(k)+ _个部分.答案:2k11.平面上原有k个圆,它们的交点个数记为f(k),则增加第k+1个圆后,交点个数最多增加_个.答案:2k12
6、.设数列an满足a1=2,an+1=2an+2,用数学归纳法证明an=42n-1-2的第二步中,设n=k时结论成立,即ak=42k-1-2,那么当n=k+1时, _.解析:ak+1=2ak+2=2(42k-1-2)+2=42k-2=42(k+1)-1-2.答案:42(k+1)-1-213.设an=(2n+1)(3n+2),求它的前n项和Sn,并用数学归纳法证明结论.解:S1=a1=15;S2=a1+a2=55;S3=a1+a2+a3=132.猜想Sn=(4n3+13n2+13n).证明:(1)n=1时显然成立.(2)假设n=k时成立,即Sk=(4k3+13k2+13k),则Sk+1=Sk+ak
7、+1=(4k3+13k2+13k)+(2k+3)(3k+5)=(4k3+13k2+13k)+6k2+19k+15=(4k3+25k2+51k+30)=4(k+1)3+13(k+1)2+13(k+1).当n=k+1时也成立.由(1)(2)知,Sn=(4n3+13n2+13n)对任意nN*成立.拓展探究14.用数学归纳法证明nN时,(2cosx-1)(2cos2x-1)(2cos2n-1x-1)=.证明:(1)当n=1时,左式=2cosx-1,右式=2cosx-1,即左式=右式.等式成立.(2)假设当n=k时等式成立,即(2cosx-1)(2cos2x-1)(2cos2k-1x-1)=.当n=k+1时,左式=(2cosx-1)(2cos2x-1)(2cos2k-1x-1)(2cos2kx-1)= (2cos2kx-1)=.n=k+1时等式成立.由(1)(2)可知,对nN时等式成立.