1、第二章2.22.2.2第2课时A级基础巩固一、选择题1直线l：2xy20过椭圆左焦点F和一个顶点B，则该椭圆的离心率为(B)ABCD解析直线l：2xy20中，令x0，得y2；令y0，得x1.直线l：2xy20过椭圆左焦点F1和一个顶点B，椭圆左焦点F1(1,0)，顶点B(0,2)c1，b2，a，该椭圆的离心率为e.故选B2AB为过椭圆1中心的弦，F(c,0)为椭圆的左焦点，则AFB的面积最大值是(B)Ab2BbcCabDac解析SABFSAOFSBOF|OF|yAyB|，当A、B为短轴两个端点时，|yAyB|最大，最大值为2b.ABF面积的最大值为bc.3已知以F1(2,0)、F2(2,0)为
2、焦点的椭圆与直线xy40有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为(C)A3B2C2D4解析设椭圆方程mx2ny21(mn0)消x得(3mn)y28my16m10192m24(16m1)(3mn)0整理得3mn16mn即16又c2，焦点在x轴上4由解得m，n，长轴长为2.4已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若AF1B的周长为4，则C的方程为(A)A1By21C1D1解析根据条件可知，且4a4，a，c1，b，椭圆的方程为1.5如果AB是椭圆1(ab0)的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则kABkOM的值
3、为(C)Ae1B1eCe21D1e26(2017全国文，12)设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点若C上存在点M满足AMB120，则m的取值范围是(A)A(0,19，)B(0，9，)C(0,14，)D(0，4，)解析方法1：设焦点在x轴上，点M(x，y)过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则N(x,0)故tanAMBtan(AMNBMN).又tanAMBtan120，且由1可得x23，则.解得|y|.又0|y|，即0，结合0m3解得0m1.对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m9.则m的取值范围是(0,19，)故选A方法2：当0m3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足AMB120，则tan60，即
4、，解得03时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足AMB120，则tan60，即，解得m9.故m的取值范围为(0,19，)故选A二、填空题7若过椭圆1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是_x2y40_.解析设弦两端点A(x1，y1)、B(x2，y2)，则1，1，两式相减并把x1x24，y1y22代入得，所求直线方程为y1(x2)，即x2y40.8直线ykx1(kR)与椭圆1恒有公共点，则m的取值范围为_1,5，)(5，)_.解析将ykx1代入椭圆方程，消去y并整理，得(m5k2)x210kx55m0.由m0,5k20，知m5k20，故100k24(m5k2)(55m)0对kR恒
5、成立即5k21m对kR恒成立，故1m0，m1.又m5，m的取值范围是m1且m5.三、解答题9设椭圆C：1(ab0)过点(0,4)，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标解析(1)将点(0,4)代入椭圆C的方程，得1，b4，又e，则，1，a5，椭圆C的方程为1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y(x3)，设直线与椭圆C的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，将直线方程y(x3)代入椭圆方程得1，即x23x80，由韦达定理得x1x23，所以线段AB中点的横坐标为，纵坐标为(3)，即所截线段的中点坐标为(，)10椭圆E经过点A(2,3)
6、，对称轴为坐标轴，离心率e，焦点F1、F2在x轴上，过左焦点F1与A作直线交椭圆E于B.(1)求椭圆E的方程；(2)求ABF2的面积解析(1)设椭圆E的方程为1(ab0)，根据题意得解之得a216，b212.所以椭圆E的方程为1.(2)由(1)知，F1(2,0)，F2(2,0)，AF2x轴所以直线AB的斜率为，其方程为y(x2)由得7y212y270.已知y13，由y1y2得y2，SABF2c|y1y2|2.B级素养提升一、选择题1已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(C)A(0,1)B(0，C(0，)D，1)解析依题意得，cb，即c2b2，c2a
7、2c2,2c2a2，故离心率e，又0e1，0eb0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为(A)ABCD解析由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bxay2ab0与圆相切，圆心到直线的距离da，解得ab，e.二、填空题5椭圆1的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A、B.当FAB的周长最大时，FAB的面积是_3_.解析如图，当直线xm，过右焦点(1,0)时，FAB的周长最大，由，解得y，|AB|3.S323.6如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1(ab0)的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90
8、，则该椭圆的离心率是_.解析由题意可得B(a，)，C(a，)，F(c,0)，则由BFC90得(ca，)(ca，)c2a2b20，化简得ca，则离心率e.三、解答题7已知过点A(1,1)的直线l与椭圆1交于点B、C，当直线l绕点A(1，1)旋转时，求弦BC中点M的轨迹方程解析设直线l与椭圆的交点B(x1，y1)，C(x2，y2)，弦BC的中点M(x，y)，则，得()()0，(x1x2)(x1x2)2(y1y2)(y1y2)0.当x1x2时，式可化为(x1x2)2(y1y2)0.x，y，2x22y0，化简得x22y2x2y0.当x1x2时，点M(x，y)是线段BC中点，x1，y0，显然适合上式综上
9、所述，所求弦中点M的轨迹方程是x22y2x2y0.8(2019天津理，18)设椭圆1(ab0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上，若|ON|OF|(O为原点)，且OPMN，求直线PB的斜率解析(1)解：设椭圆的半焦距为c，依题意，2b4，又a2b2c2，可得a，b2，c1.所以，椭圆的方程为1.(2)解：由题意，设P(xP，yP)(xP0)，M(xM,0)设直线PB的斜率为k(k0)，又B(0,2)，则直线PB的方程为ykx2，与椭圆方程联立整理得(45k2)x220kx0，可得xP，代入ykx2得yP，进而直线OP的斜率为.在ykx2中，令y0，得xM.由题意得N(0，1)，所以直线MN的斜率为.由OPMN，得1，化简得k2，从而k.所以，直线PB的斜率为或.
