1、11.4空间中的垂直关系11.4.1直线与平面垂直学 习 目 标核 心 素 养1.了解直线与平面垂直的定义(重点)2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直(重点)3.掌握线面垂直的性质定理，并能应用(重点)4.灵活运用直线与平面垂直的判定定理和性质定理处理空间垂直问题(难点)1.通过直线与平面垂直的定义学习，培养直观想象的数学核心素养.2.借助线面垂直的判定定理与性质定理，提升逻辑推理、数学抽象的数学核心素养.1直线与直线所成的角一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a，b平行或重合的直线a，b，则a与b所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的
2、大小规定空间中两条平行直线所成角的大小为0，两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角特别地，空间中两条直线l，m所成角的大小为90时，称l与m垂直，记作lm.2直线与平面垂直的定义文字语言图形语言符号语言如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直，直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足lm，lm.3.直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直l思考：一条直线与一个平面内两条平行直线垂直，那么这条直线与这个平面是什么位置关系？提示相交或平行或直线在平面内4直线与平面垂直的
3、性质定理文字语言如果两条直线垂直于同一个平面，那么两条直线平行符号语言lm图形语言文字语言如果两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面符号语言m5.直线与平面所成的角(1)斜线：与平面相交，但不和平面垂直，图中直线PA(2)斜足：斜线和平面的交点，图中点A(3)射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面上的射影为直线AO.(4)直线与平面所成的角：定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0的角(5)取值范
4、围：090.1在正方体ABCDA1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面的个数是 ()A1B2C3D6B正方体ABCDA1B1C1D1的六个面中与AA1垂直的平面是平面ABCD与平面A1B1C1D1.2直线l平面，直线m，则l与m不可能()A平行B相交C异面D垂直A由直线与平面垂直的定义可知，lm，l与m可能相交或异面，但不可能平行3如图所示，若斜线段AB是它在平面上的射影BO的2倍，则AB与平面所成的角是()A60B45C30D120A由题意知，在RtABO中，AOB90，BOAB，所以ABO60.4如图，设O为平行四边形ABCD对角线的交点，P为平面ABCD外一点，且有PAPC，PBP
5、D，则PO与平面ABCD的关系是_垂直因为PAPC，所以POAC，又PBPD，所以POBD.所以PO平面ABCD.线面垂直的定义及线线角、线面角的求解【例1】(1)下列说法中正确的个数是()如果直线l与平面内的两条相交直线都垂直，则l；如果直线l与平面内的任意一条直线垂直，则l；如果直线l不垂直于，则内没有与l垂直的直线；如果直线l不垂直于，则内也可以有无数条直线与l垂直A0B1C2D3(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角的大小为()A30B45C60D90(3)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1B1C1D1所成的角为()A30
6、B45C60D135(1)D(2)C(3)B(1)由直线和平面垂直的判定定理知正确；由直线与平面垂直的定义知，正确；当l与不垂直时，l可能与内的无数条直线垂直，故不对；正确(2)因为A1BD1C，所以异面直线A1B与AD1所成的角为AD1C，因为AD1C为等边三角形，所以AD1C60.(3)在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1平面A1B1C1D1，BC1在平面A1B1C1D1中的射影为B1C1，所以BC1B1即为直线BC1与平面A1B1C1D1所成的角，在等腰直角三角形BB1C1中BC1B145.1理解线面垂直判定定理要注意的两个问题(1)要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该
7、平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可(2)空间直线与直线垂直包括相交垂直和异面垂直两种情况，所以在平面内的这两条直线是否与已知直线有交点，是无关紧要的2求异面直线所成的角的步骤(1)找出(或作出)适合题设的角用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线(2)求转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角(3)结论设由(2)所求得的角的大小为.若090，则为所求；若90180，则180为所求3求斜线与平面所成角的步骤(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂
8、线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算(1)下列说法中错误的个数是()若直线m平面，直线lm，则l；若直线l和平面内的无数条直线垂直，则直线l与平面必相交；过平面外一点有且只有一条直线和平面垂直；过直线a外一点有且只有一个平面和直线a垂直A0B1C2D3(2)如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，PAAB，则直线PB与平面ABC所成的角等于_(1)C(2)45(1)错误若直线m平面，直线lm，则l与平行、相交或l在内都有可能；错误若
9、直线l和平面内的无数条直线垂直，则直线l与平面平行、相交或l在内都有可能；正确(2)因为PA平面ABC，所以PBA为PB与平面ABC所成的角，又PAAB，所以PBA45.线面垂直判定定理的应用【例2】如图，PA平面ABCD，底面ABCD为矩形，AEPB于E，AFPC于F.(1)求证：PC平面AEF；(2)设平面AEF交PD于G，求证：AGPD.思路探究PA平面ABCD，ABCD为矩形，AEPB，AFPC直线与平面垂直的判定定理；若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的所有直线证明(1)因为PA平面ABCD，BC平面ABCD，所以PABC.又ABBC，PAABA，所以BC平面PAB，AE平
10、面PAB，所以AEBC.又AEPB，PBBCB，所以AE平面PBC，PC平面PBC，所以AEPC.又因为PCAF，AEAFA，所以PC平面AEF.(2)由(1)知PC平面AEF，所以PCAG，同理CD平面PAD，AG平面PAD，所以CDAG，PCCDC，所以AG平面PCD，PD平面PCD，所以AGPD.1若本例中，底面ABCD是菱形，H是线段AC上任意一点，其他条件不变，求证：BDFH.证明因为四边形ABCD是菱形，所以BDAC，又PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以BDPA，因为PA平面PAC，AC平面PAC，且PAACA，所以BD平面PAC，FH平面PAC，所以BDFH.2若本例中PA
11、AD，G是PD的中点，其他条件不变，求证：PC平面AFG.证明因为PA平面ABCD，DC平面ABCD，所以DCPA, 又因为ABCD是矩形，所以DCAD，又PAADA，所以DC平面PAD，又AG平面PAD，所以AGDC，因为PAAD，G是PD的中点，所以AGPD，又DCPDD，所以AG平面PCD，所以PCAG，又因为PCAF，AGAFA，所以PC平面AFG.证线面垂直的方法1线线垂直证明线面垂直(1)定义法(不常用)；(2)判定定理最常用(有时作辅助线)2平行转化法(利用推论)(1)ab，ab；(2)，aa.线面垂直性质定理的应用探究问题将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起
12、放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)观察折痕AD与桌面的位置关系1折痕AD与桌面一定垂直吗？提示不一定2当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？提示当ADBD且ADCD时，折痕AD与桌面垂直【例3】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN平面A1DC，求证：MNAD1.思路探究两直线垂直于同一平面两直线平行证明因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1A1D.又因为CD平面ADD1A1，所以CDAD1.因为A1DCDD，所以AD1平面A1DC.又因为MN平面A1DC，所以MNAD1.本例中条件不变，求证：M是AB中点证明连接ON，在A1DC中，A1
13、OOD，A1NNC.所以ONCDAB，所以ONAM.又因为由本例可知MNOA，所以四边形AMNO为平行四边形，所以ONAM.因为ONAB，所以AMAB，所以M是AB的中点平行关系与垂直关系之间的相互转化1直线和平面垂直的判定方法：(1)利用线面垂直的定义；(2)利用线面垂直的判定定理；(3)利用下面两个结论：若ab，a，则b；若，a，则a.2求线面角的常用方法：(1)直接法(一作(或找)二证三计算)；(2)转移法(找过点与面平行的线或面)3重视线线垂直和线面垂直的互相转化在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互
14、相转化1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行()(2)垂直于同一平面的两条直线互相平行()(3)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直()解析由线面垂直的定义和性质可知(1)、(2)、(3)均正确答案(1)(2)(3)2在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A相交B平行C异面D相交或平行B圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知B正确3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中AB1与平面ADD1A1所成的角等于_，AB1与平面DCC1D1所成的角等于_450B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角，即45；AB1与平面DCC1D1平行，即所成的角为0.4.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB2，BC2，E，F分别是AD，PC的中点证明：PC平面BEF.证明如图，连接PE，EC，在RtPAE和RtCDE中，PAABCD，AEDE，PECE，即PEC是等腰三角形又F是PC的中点，EFPC.又BP2BC，F是PC的中点，BFPC.又BFEFF，PC平面BEF.