1、真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华第1讲 等差数列、等比数列 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华高考定位 等差数列与等比数列是最重要也是最基本的数列模型，与数列相关的命题绝大部分最终都要归结到这两个模型中来求解；同时数列问题又是以运算为主导，其概念、性质都是建立在准确运算的基础上，因此要特别注意运算能力的提升，保证每一步运算正确 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华真 题 感 悟 解析 an为等差数列，a1a52a3，a1a3a53a33，得 a31，S55（a1a5）25a35.故选 A.1.(2015全国卷)设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3
2、a53，则S5()A.5B.7C.9D.11 A真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华2.(2015全国卷)已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和.若S84S4，则a10()A.172B.192C.10D.12解析 由 S84S4 知，a5a6a7a83(a1a2a3a4)，又 d1，a112，a101291192.B真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华3.(2015全国卷)已知等比数列an满足 a114，a3a54(a41)，则 a2()A.2B.1C.12D.18解析 由an为等比数列，得 a3a5a24，所以 a244(a41)，解得 a42，设等比数列
3、an的公比为 q，则a4a1q3，得 214q3，解得 q2，所以 a2a1q12.选 C.C真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华4.(2015全国卷)在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和.若Sn126，则n_.解析 由 an12an 知，数列an是以 a12 为首项，公比 q2的等比数列，由 Sn2（12n）12126，解得 n6.答案 6 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华考 点 整 合 1.an 与 Sn 的关系：Sna1a2an，anS1，n1，SnSn1，n2.2.等差数列(1)通项公式：ana1(n1)d，(2)求和公式：Snn（a1a
4、n）2na1n（n1）2d，(3)性质：若 m，n，p，qN*，且 mnpq，则 amanapaq；anam(nm)d；Sm，S2mSm，S3mS2m，成等差数列.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华3.等比数列(1)通项公式：ana1qn1(q0)；(2)求和公式：q1，Snna1；q1，Sna1（1qn）1qa1anq1q；(3)性质：若 m，n，p，qN*，且 mnpq，则 amanapaq；anamqnm；Sm，S2mSm，S3mS2m，(Sm0)成等比数列.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【例 11】已知等差数列an满足：a12，且 a1，a2，a5 成等
5、比数列.(1)求数列an的通项公式；(2)记 Sn 为数列an的前 n 项和，是否存在正整数 n，使得 Sn60n800？若存在，求 n 的最小值；若不存在，说明理由.热点一 等差、等比数列的有关运算 微题型1 等差、等比数列的基本运算真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华解(1)设数列an的公差为 d，依题意，2，2d，24d 成等比数列，故有(2d)22(24d)，化简得 d24d0，解得 d0 或 d4.当 d0 时，an2；当 d4 时，an2(n1)44n2，从而得数列an的通项公式为 an2 或 an4n2.(2)当 an2 时，Sn2n.显然 2n60n800 成立.当
6、 an4n2 时，Snn2（4n2）22n2.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华令2n260n800，即n230n4000，解得n40或n60n800成立，n的最小值为41.综上，当an2时，不存在满足题意的n；当an4n2时，存在满足题意的n，其最小值为41.探究提高 等差、等比数列的基本运算是利用通项公式、求和公式求解首项a1和公差d(公比q)，在列方程组求解时，要注意整体计算，以减少计算量.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华微题型2 等差、等比数列的性质运算【例 12】(1)(2015榆林模拟)在等差数列an中，a12 015，其前 n 项和为 Sn，若S12
7、12S10102，则 S2 015 的值为()A.2 014B.2 015C.2 014D.2 015(2)(2015广东卷)若三个正数 a，b，c 成等比数列，其中 a52 6，c52 6，则 b_.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华解析(1)根据等差数列的性质，得数列Snn 也是等差数列，由已知可得S11 a12 015，公差 d1.故S2 0152 0152 015(2 0151)11，S2 0152 015.(2)三个正数 a，b，c 成等比数列，b2ac(52 6)(52 6)1.b 为正数，b1.答案(1)D(2)1 探究提高 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采
8、用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【训练 1】(1)(2015成都模拟)设 Sn 是等比数列an的前 n 项和，若S4S23，则S6S4()A.2B.73C.310D.1 或 2(2)在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n8时Sn取得最大值，则d的取值范围为_.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华解析(1)由 S2，S4S2，S6S4成等比数列知：(S4S2)2S2(S6S4)，不妨设 S21，S43，则求得 S67.S6S473.(2)由题意知 a80，a90，即a17d0，a18d0，解得：1d7
9、8.答案(1)B(2)1，78真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【例 2】已知数列an满足 a11，an13an1.(1)证明：an12 是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明：1a1 1a2 1an32.热点二 等差、等比数列的判定与证明 证明(1)由 an13an1，得 an1123an12.又 a11232，所以an12 是首项为32，公比为 3 的等比数列.所以an123n2，因此an的通项公式为 an3n12.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(2)由(1)知 1an23n 1.因为当 n1 时，3n123n1，所以23n1223n1 13n1.于是
10、1a1 1a2 1an113 13n1321 13n 32.所以 1a1 1a2 1an32.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华探究提高 判断和证明数列是等差(比)数列的三种方法(1)定义法：对于 n1 的任意自然数，验证 an1an或an1an 为同一常数.(2)通项公式法：若 ana1(n1)dam(nm)d 或 anknb(nN*)，则an为等差数列；若 ana1qn1amqnm 或 anpqknb(nN*)，则an为等比数列.(3)中项公式法：若 2anan1an1(nN*，n2)，则an为等差数列；若 a2nan1an1(nN*，n2)，则an为等比数列.真题感悟考点整
11、合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【训练 2】(2015石家庄模拟)已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足an2SnSn10(n2，nN*)，a112.(1)求证：1Sn 是等差数列；(2)求数列an的通项公式.(1)证明 由 an2SnSn10(n2，nN*)，得 SnSn12SnSn10，所以 1Sn 1Sn12(n2，nN*)，又 1S1 1a12，故1Sn 是首项为 2，公差为 2 的等差数列.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(2)解 由(1)知，1Sn2n，故 Sn 12n，anSnSn1 12n12（n1）12n（n1）(n2，nN*)，所以 an12，n1，1
12、2n（n1），n2.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华1.在等差(比)数列中，a1，d(q)，n，an，Sn五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个.解这类问题时，一般是转化为首项a1和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算.2.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华3.应用关系式 anS1，n1，SnSn1，n2时，一定要注意分 n1，n2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.4.三个数 a，b，c 成等差数列的充要条件是 bac2，但三个数 a，b，c 成等比数列的充要条件是 b2ac(a、b、c 不为零).