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2016-2017学年高一人教A版数学必修一:第一章 集合与函数的概念 复习 练习 WORD版含答案.doc

1、第一章 集合与函数的概念一、集合1集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性2常用数集及其记法表示自然数集,或表示正整数集,表示整数集,表示有理数集,表示实数集3集合与元素间的关系对象与集合的关系是,或者,两者必居其一4集合的表示法自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合描述法:|具有的性质,其中为集合的代表元素图示法:用数轴或韦恩图来表示集合5集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集 含有无限个元素的集合叫做无限集不含有任何元素的集合叫做空集(),例如6子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集(或)A中的任一元素都属于B(1

2、)AA(2)(3)若且,则(4)若且,则或真子集AB(或BA),且B中至少有一元素不属于A(1)(A为非空子集)(2)若且,则集合相等A中的任一元素都属于B,B中的任一元素都属于A(1)AB(2)BA7已知集合有个元素,则它有个子集,它有个真子集,它有个非空子集,它有非空真子集8交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集且(1)(2)(3),并集或(1)(2)(3),补集 B A B C D例1设集合,则下列图形能表示A与B关系的是( )答案:A解析:简单列举两个集合的一些元素,易知BA,故答案选A另解:由,易知BA,故答案选A例2若集合,且,求实数的值解:由,因此,(i)若时,得,此时,;(

3、ii)若时,得 若,满足,解得故所求实数的值为或或点评:在考察“”这一关系时,不要忘记“” ,因为时存在 从而需要分情况讨论 题中讨论的主线是依据待定的元素进行例3已知集合Aa,a+b,a+2b,Ba,ax,ax2 若AB,求实数x的值解:若a+ax22ax0, 所以a(x1)20,即a0或x1 当a0时,集合B中的元素均为0,故舍去;当x1时,集合B中的元素均相同,故舍去若2ax2axa0因为a0,所以2x2x10, 即(x1)(2x+1)0 又x1,所以只有经检验,此时AB成立 综上所述例4已知集合,且,求实数m的取值范围-2 4 m xB A 4 m x解:由,可得在数轴上表示集合A与集

4、合B,如右图所示:由图形可知,点评:研究不等式所表示的集合问题,常常由集合之间的关系,得到各端点之间的关系,特别要注意是否含端点的问题例5已知全集,求, ,并比较它们的关系 解:由,则由,则,由,则,由计算结果可以知道,另解:作出Venn图,如右图所示,由图形可以直接观察出结果点评:可用Venn图研究与,在理解的基础上记住此结论,有助于今后迅速解决一些集合问题训练1设集合Ax|2x5,Bx|m1x2m1(1)若BA,求实数m的取值范围;(2)当xZ时,求A的非空真子集个数;(3)当xR时,不存在元素x使xA与xB同时成立,求实数m的取值范围解: (1)当m12m1,即m2时,B,满足BA当m1

5、2m1,即m2时,要使BA成立,只需,即2m3综上,当BA时,m的取值范围是m|m3(2)当xZ时,A2,1,0,1,2,3,4,5,集合A的非空真子集个数为282254(3)xR,且Ax|2x5,Bx|m1x2m1,又不存在元素x使xA与xB同时成立,当B,即m12m1,得m2时,符合题意;当B,即m12m1,得m2时,或,解得m4综上,所求m的取值范围是m|m2或m4二、【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法1含绝对值的不等式的解法不等式解集把看成一个整体,化成,型不等式来求解2一元二次不等式的解法判别式二次函数的图象一元二次方程的根(其中无实根的解集或R的解集三、函数的概念与

6、性质1函数的概念(1)函数的概念,函数三要素(定义域、值域和对应法则,当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时,函数才是同一函数)(2)区间: 闭区间x|axba,b, 开区间x|axb(a,b);半开半闭区间x|axb, x|axb; ,例1 求下列函数的定义域:(1);(2)解:(1)由,解得且,所以原函数定义域为(2)由,解得且,所以原函数定义域为例2 求下列函数的值域:(1);(2)解:(1),所以值域为(2)令,则 ,根据二次函数的图像和性质得原函数的值域是例3 (1)已知函数,求的表达式 ;(2)已知函数满足,求的表达式解:(1)设,解得,所以,即(2)把中的替换成得,然后把和当作未

7、知数联立方程求解得点评:此题解法中突出了换元法的思想 这类问题的函数式没有直接给出,称为抽象函数的研究,常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等例4 已知函数(1)求的值; (2)计算:解:(1)由(2)原式点评:对规律的发现,能使我们实施巧算 正确探索出前一问的结论,是解答后一问的关键2函数的表示法(1)函数有三种表示方法:解析法(用数学表达式表示两个变量之间的对应关系,优点:简明,给自变量可求函数值);图象法(用图象表示两个变量的对应关系,优点:直观形象,反应变化趋势);列表法(列出表格表示两个变量之间的对应关系,优点:不需计算就可看出函数值)(2)分段函数的表示法与意义(一个函数,不同范

8、围的x,对应法则不同)(3)一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射记作“” 判别一个对应是否映射的关键:A中任意,B中唯一;对应法则f例1已知f(x) ,求ff(0)的值解: , f(0) 又 1, f()()3+()32+,即ff(0)例2 (1)画出函数的图象;(2)用表示不超过x的最大整数,例如,当时,作出函数的图象 解:(1),所以,函数的图象如右图所示 (2)由题意当时,则,图像如右图点评:含有绝对值的函数式,可以采用分零点讨论去绝对值的方法,将函

9、数式化为分段函数,然后根据定义域的分段情况,选择相应的解析式作出函数图象3函数的单调性和最大(小)值(1)增函数:设函数yf(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数 仿照增函数的定义可定义减函数(2)如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数,就说f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫f(x)的单调区间在单调区间上,增函数的图象是从左向右是上升的(如图1),减函数的图象从左向右是下降的(如图2)由此,可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势,得到函数的单调区间及单调

10、性(3)判断单调性的步骤:设x、x给定区间,且xx计算f(x)f(x) 判断符号下结论(4)最大值:设函数的定义域为I,如果存在实数M满足:对于任意的xI,都有M或(M);存在x0I,使得 M 那么,称M是函数的最大(小)值 (5)最值的求法:单调法:一些函数的单调性,比较容易观察出来,或者可以先证明出函数的单调性,再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值图象法:先作出其函数图象后,然后观察图象得到函数的最大值或最小值(6)对勾函数:形如,如图,在上单调增,在上单调减,值域为 例1 求下列函数的单调区间:(1);(2); (3) 解:(1),其图象如右 由图可知,函数在上是增函数,在上是减函数

11、(2),其图象如右由图可知,函数在、上是增函数,在、上是减函数(3) , 把的图象沿x轴方向向左平移2个单位,再沿y轴向上平移3个单位,得到的图象,如图所示由图象得在上单调递增,在上单调递增例2 已知函数的最小值为,写出的表达式解:,所以对称轴为固定,而区间t,t+1是变动的,因此有(1)当t+1,即t时,h(t)f(t+1) ;(2)当时,;(3)当t t+1,即时, 综上可知 4函数的奇偶性(1)奇函数:,图形关于原点对称;偶函数:,图象关于y轴对称(2)判别方法:先考察定义域是否关于原点对称,再用比较法、计算和差、比商法等判别与的关系例1 已知是偶函数,时,求时的解析式解:当时,又由于是偶函数,则,所以,当时,例2 设函数是定义在R上的奇函数,且在区间上是减函数,实数a满足不等式,求实数a的取值范围解: 在区间上是减函数, 的图象在y轴左侧递减又 是奇函数, 的图象关于原点中心对称,则在y轴右侧同样递减又 ,解得, 所以的图象在R上递减 , ,解得本章整合

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