1、课堂导学三点剖析一,利用综合法证明不等式【例1】 (1)若a0,b0,求证:a+b.思路分析:主要利用不等式和a2+b22ab.证明:由a2+b22ab,2(a2+b2)a2+b2+2ab,即2(a2+b2)(a+b)2.=a+b.(2)设a,b,c都是正数，求证:(a+b+c).思路分析:主要利用不等式.证明:由不等式a2+b2.同理,（a+b+c）各个击破类题演练1已知a,b,c(0,+),且a,b,c成等比数列,求证:a2+b2+c2(a-b+c)2.证明:左边-右边=2(ab+bc-ac).a,b,c成等比数列,b2=ac.又a,b,c(0,+),0b=0.2(ab+bc-ac)=2(
2、ab+bc-b2)=2b(a+c-b)0,a2+b2+c2(a-b+c)2.变式提升1若a,b,c是正数，能确定与的大小吗？解析:+(b+c)4a,+(c+a)4b,+(a+b)4c,+2(a+b+c),即.二、用综合法证明条件不等式【例2】 已知a,b,c0,且abc=1,求证:+.证明：a,b,c0,且abc=1,+,+,+.2(+)2().+.温馨提示在证明含有条件的不等式时,用好条件往往是证题的关键,在本题中抓住了abc=1这一关键,从而与要证的不等式建立了联系.类题演练2已知a,b,c是正数,且a+b+c=1,求证:(-1)(-1)(-1)8.证明:(-1)(-1)(-1)=8.变式
3、提升2(1)已知a,b是正数,且a+b=1.求证:(ax+by)(ay+bx)xy.(2)若x+3y-1=0,求证:2x+8y.证明:(1)左边=(a2+b2)xy+ab(x2+y2)=(a+b)2-2abxy+ab(x2+y2)=(1-2ab)xy+ab(x2+y2)=xy+ab(x-y)2,a0,b0,(x-y)20,左边xy=右边.因此不等式成立.(2)2x+23y.三、与函数,数列,解析几何等知识相结合的不等式证明问题【例3】 数列xn由下列条件确定:x1=a0,xn+1=(xn+),nN.(1)证明对n2,总有xn;(2)证明对n2,总有xnxn+1.证明：(1)由x1=a0及xn+
4、1=(xn+),可归纳证明xn0,从而有xn+1=(xn+)(nN)(均值不等式的应用综合法),所以,当n2时,xn成立.(2)证法一:当n2时,因为xn0,xn+1=(xn+),所以xn+1-xn=(xn+)-xn=0,故当n2时,xnxn+1成立.证法二:当n2时,因为xn0,xn+1=(xn+),所以=1,故当n2时,xnxn+1成立.温馨提示 涉及不等式证明的问题是高考的一个热点,它往往与其他章节的知识如函数,数列,导数,解析几何等知识结合,尤其是函数和数列.类题演练3已知a0,函数f(x)=ax-bx2.(1)当b0时,若对任意xR都有f(x)1,证明a;(2)当00,b0,a.(2)解析:因为a0,00,0b1时,对任意x0,1,|f(x)|1的充要条件是ab+1.变式提升3已知a,b,c为ABC的三边,求证:a2+b2+c22(ab+bc+ca).证法一:由余弦定理得a2+b2+c2=(b2+c2-2bccosA)+(c2+a2-2accosB)+(a2+b2-2abcosC),a2+b2+c2=2bccosA+2accosB+2abcosC.cosA1,cosB1,cosC1,a2+b2+c22(ab+bc+ca).证法二:|a-c|b,|b-c|a,|a-b|c,(a-c)2b2,(b-c)2a2,(a-b)2c2.上述三式相加即得证.
