1、第4讲二次函数与幂函数考纲解读1.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质，能利用二次函数、二次方程与二次不等式之间的关系解决简单问题(重点、难点)2掌握幂函数的图象和性质，结合函数yx，yx2，yx3，y，yx的图象，了解它们的变化情况(重点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容预测2021年高考对二次函数可能会直接考查，也可能会与其他知识相结合进行考查，考查三个二次之间的关系、函数最值的求解、图象的判断等在解答题中也可能会涉及二次函数幂函数的考查常与其他知识结合，比较大小、图象及性质的应用为重点命题方向对应学生用书P0201.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f
2、(x)ax2bxc(a0)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)图象定义域RR值域单调性在x上单调递减；在x上单调递增在x上单调递增；在x上单调递减对称性函数的图象关于直线x对称2.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数(2)常见的五种幂函数的图象(3)常见的五种幂函数的性质函数特征性质yxyx2yx3yxyx1定义域RRR0，)x|xR，且x0值域R0，)R0，)y|yR，且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇续表函数特征性质y
3、xyx2yx3yxyx1单调性增在(，0上减，在0，)上增增增在(，0)上减，在(0，)上减定点(0,0)，(1,1)(1,1)1.概念辨析(1)函数y2x是幂函数()(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点()(3)二次函数yax2bxc(xR)不可能是偶函数()(4)在yax2bxc(a0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小()答案(1)(2)(3)(4)2.小题热身(1)若a0，则0.5a,5a,0.2a的大小关系是()A.0.2a5a0.5a B5a0.5a0.2aC.0.5a0.2a5a D5a0.2a0.5a答案B解析因为a0，所以函数yxa在(0
4、，)上是减函数，又0.20.50.5a5a，即5a0.5a0.2a.(2)已知幂函数yf(x)的图象过点(2，)，则函数的解析式为_答案f(x)x解析设f(x)x，因为函数f(x)的图象过点(2，)，所以2，即22，所以，所以f(x)x.(3)若二次函数y2x24xt的图象的顶点在x轴上，则t的值是_答案2解析y2x24xt2(x22x)t2(x1)21t2(x1)22t.因为此函数的图象的顶点(1,2t)在x轴上，所以2t0，所以t2.(4)函数f(x)x22x(0x3)的值域是_答案3,1解析因为f(x)x22x(x1)21，所以f(x)在0,1上单调递增，在1,3上单调递减，又f(0)0
5、，f(1)1，f(3)3，所以函数f(x)的值域为3，1.对应学生用书P021题型 一求二次函数的解析式已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式解解法一：(利用二次函数的一般式)设f(x)ax2bxc(a0)由题意得解得故所求二次函数的解析式为f(x)4x24x7.解法二：(利用二次函数的顶点式)设f(x)a(xm)2n(a0)f(2)f(1)，抛物线的对称轴为x.m，又根据题意函数f(x)有最大值8，n8，yf(x)a28.f(2)1，a281，解得a4，f(x)4284x24x7.解法三：(利用两根式)由已知f(x)10的两根为x12
6、，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)(a0)，即f(x)ax2ax2a1.又函数f(x)有最大值8，即8.解得a4或a0(舍去)，故所求函数解析式为f(x)4x24x7.条件探究1将本例中的“f(2)1，f(1)1”改为“与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(2,0)”，其他条件不变，试确定f(x)的解析式解设f(x)ax(x2)因为函数f(x)的最大值为8，所以a0.解得a1，b3，c2.所以f(x)x23x2.2如图是二次函数yf(x)的图象，若|OC|OB|3|OA|，且ABC的面积S6，求这个二次函数的解析式解设二次函数解析式为yax2bxc(a0)，因为|OB|OC|3|OA|
7、，所以|AB|OA|OB|4|OA|，且4|OA|3|OA|6，得|OA|1，所以A(1,0)，B(3,0)，C(0,3)将三点坐标代入方程，得解得a1，b2，c3.所以二次函数解析式为yx22x3.题型 二二次函数的图象与性质角度1二次函数的图象1如图是二次函数yax2bxc图象的一部分，图象过点A(3,0)，对称轴为直线x1.给出下面四个结论：b24ac；2ab1；abc0；5a0，即b24ac，正确；二次函数的图象的对称轴为直线x1，即1,2ab0，错误；结合图象知，当x1时，y0，即abc0，错误；由对称轴为直线x1知，b2a，又函数的图象开口向下，a0，5a2a，即5ab，正确.角度
8、2二次函数的单调性2.(2019河南中原名校联考)已知函数f(x)2ax24(a3)x5在区间(，3)上是减函数，则a的取值范围是()A. B.C. D.答案D解析因为函数f(x)2ax24(a3)x5在区间(，3)上是减函数，当a0时，a须满足解得0a；当a0时，f(x)12x5在(，3)上是减函数综上可知，a的取值范围是.角度3二次函数的最值3.已知f(x)4x24ax4aa2在0,1内的最大值为5，则a的值为()A. B1或C.1或 D5或答案D解析f(x)424a，对称轴为直线x.当1，即a2时，f(x)在0,1上递增，f(x)maxf(1)4a2.令4a25，得a1(舍去)当01，即
9、0af(2mmt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是()A.(，)B.(，0)C.(，0)(，)D.(，)(，)答案A解析当xf(2mmt2)对任意实数t恒成立，知4t2mmt2对任意实数t恒成立，即mt24t2m0对任意实数t恒成立，故有解得m(，).5.当x(1,3)时，若不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是_答案(，5解析设f(x)x2mx4.因为x(1,3)时，不等式x2mx40)在区间A上单调递减(单调递增)，则A，即区间A一定在函数图象对称轴的左侧(右侧)如举例说明2.3.二次函数最值问题的解法抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结
10、合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成如举例说明3.4.与二次函数有关的不等式恒成立的条件(1)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是(2)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是如举例说明4.(3)af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.(4)f(x)ax2bxc0)在(m，n)上恒成立如举例说明5.(5)f(x)ax2bxc0(a0，则一次函数yaxb为增函数，二次函数yax2bxc的图象开口向上，故可排除A；若a0，b0，从而0，而二次函数图象的对称轴在y轴的右侧，故排除B，选C.2.二次函数f(x)ax2bxc(xR)的最小值为f(1)，则f(
11、)，f，f()的大小关系是()A.f()ff()B.ff()f()C.f()f()fD.f()f()f答案D解析因为二次函数f(x)ax2bxc(xR)的最小值为f(1)，所以函数的图象开口向上，对称轴为直线x1，因为|1|1|，所以f()f()f.3.(2019陕西西安模拟)已知函数f(x)x24x，xm,5的值域是5,4，则实数m的取值范围是()A.(，1) B(1,2C.1,2 D2,5答案C解析f(x)x24x(x2)24，当x2时，f(2)4，由f(x)x24x5，解得x5或x1，要使函数在m,5上的值域是5,4，则1m2.4.已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1,1上恒小
12、于零，则实数a的取值范围为_答案解析2ax22x30在1,1上恒成立当x0时，30，成立；当x0时，a2，因为(，11，)，当x1时，右边取最小值，acba BabcdC.dcab Dabdc答案B解析观察图象联想yx2，yx，yx1在第一象限内的图象，可知c0，d0,0b12d，所以cd.综上知abcd.2.若(2m1)(m2m1)，则实数m的取值范围是()A. B.C.(1,2) D.答案D解析因为函数yx在0，)上是增函数，且(2m1)(m2m1)，所以解得m1010图象特殊点过点(0,0)，(1,1)过点(0,0)，(1,1)过点(1,1)凹凸性下凸上凸下凸单调性递增递增递减举例举例说
13、明1中，yxa举例说明1中，yxb举例说明1中，yxc，yxd3.幂函数单调性的应用(1)依据当0时，幂函数f(x)x在(0，)上单调递增；当0时，幂函数f(x)x在(0，)上单调递减(2)两类应用比较大小；解不等式，如举例说明2. 1.已知幂函数f(x)(n22n2)xn23n(nZ)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则n的值为()A.3 B1 C2 D1或2答案B解析由于f(x)为幂函数，所以n22n21，解得n1或n3，经检验只有n1符合题意，故选B.2.若幂函数f(x)x(m，nN*，m，n互质)的图象如图，则 ()Am，n是奇数，且1C.m是偶数，n是奇数，且1D.m是奇数
14、，n是偶数，且1答案C解析由图象可知，函数f(x)为偶函数，所以m是偶数，n是奇数函数图象在第一象限部分上凸，所以1.3.已知a2，b3，c25，则()A.bac BabcC.bca Dcab答案A解析因为a24，c255，而函数yx在(0，)上单调递增，所以345，即ba.2.幂函数yxm24m(mZ)的图象如图所示，则m的值可以为()A.0 B1C.2 D3答案C解析由图象知，m24m0，则二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是()答案D解析由A中图象知，a0，c0，0，所以b0矛盾；由B中图象知，a0，0，所以b0，与abc0矛盾；由C中图象知，a0，c0，0，与abc0矛盾；由D中图
15、象知，a0，c0，所以b0成立.5.(2019吉林省实验中学模拟)已知点(2,8)在幂函数f(x)xn的图象上，设af，bf(ln )，cf，则a，b，c的大小关系为()A.acb Babc Cbca Dbac答案A解析由点(2,8)在幂函数f(x)xn的图象上，可得2n8，解得n3，所以f(x)x3.所以f(x)在R上是增函数因为01ln ，所以fff(ln )，即acb.6.已知a，b，cR，函数f(x)ax2bxc.若f(1)f(3)f(4)，则()A.a0,4ab0 Ba0,4ab0C.a0,2ab0 Da0,2ab0答案B解析因为f(1)f(3)，则直线x2为对称轴，故2，则4ab0
16、，又f(3)f(4)，所以f(x)在(2，)上为减函数，所以函数f(x)的图象开口向下，所以a0.7.(2020百色市摸底)已知函数f(x)x2xc，若f(0)0，f(p)0时，图象开口向上，所以当x2时取得最大值，即f(2)4a4a14，解得a；当a0，若a，bR，且ab0，则f(a)f(b)的值()A.恒大于0 B恒小于0C.等于0 D无法判断答案A解析对任意的x1，x2(0，)，且x1x2，满足0，幂函数f(x)在(0，)上是增函数，解得m2，则f(x)x2015.函数f(x)x2015在R上是奇函数，且为增函数，由ab0，得ab，f(a)f(b)f(b)，f(a)f(b)0.故选A.2
17、.已知二次函数f(x)ax2bxc是偶函数，若对任意实数x1，x2都有f，则f(x)的图象可能是()答案C解析二次函数f(x)ax2bxc是偶函数，则b0，图象关于y轴对称，所以排除A，D；对任意实数x1，x2都有f，所以函数f(x)为上凸函数，结合二次函数的性质可得实数a0，即排除B.故选C.3.已知函数f(x)x22x1，如果使f(x)kx对任意实数x(1，m都成立的m的最大值是5，则实数k_.答案解析设g(x)x2(2k)x1.设不等式g(x)0的解集为axb.则(2k)240，解得k4或k0，又因为函数f(x)x22x1，且f(x)kx对任意实数x(1，m恒成立；所以(1，ma，b，所
18、以a1，bm，所以g(1)4k4，m的最大值为b，所以有b5.即x5是方程g(x)0的一个根，代入x5，解得k.4.已知函数f(x)ax22ax2b(a0)，若f(x)在区间2,3上有最大值5，最小值2.(1)求a，b的值；(2)若b0时，f(x)在2,3上为增函数，故当a0时，a1，b0，当a0时，a1，b3.(2)b1，a1，b0，即f(x)x22x2.g(x)x22x2mxx2(2m)x2，g(x)在2,4上单调，2或4.m2或m6.故m的取值范围为(，26，).5.若二次函数f(x)x2bxc满足f(2)f(2)，且方程f(x)0的一个根为1.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若对任意的x，4m2f(x)f(x1)44m2恒成立，求实数m的取值范围解(1)因为f(2)f(2)且f(1)0，所以所以b0，c1，所以f(x)x21.(2)由题意知4m2(x21)(x1)214m240在x上恒成立，整理得m2在x上恒成立，令g(x)2，因为x，所以(0,2，当2时，函数g(x)取得最大值，所以m2，解得m或m.