1、推理与证明经典问题回顾主讲教师：丁益祥 北京陈经纶中学数学特级教师开篇语数学解题离不开推理与证明这里的推理主要指合情推理和演绎推理，证明主要指直接证明、间接证明以及利用数学归纳法证明 合情推理有归纳推理和类比推理纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理；演绎推理是一般到特殊的推理反证法是间接证明的主要形式，证明的思路是：通过否定结论，导出矛盾，进而说明原结论正确 开心自测题一：设等差数列的前项和为，则，成等差数列类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则， ， ，成等比数列 题二：设是1，2，7的一个排列，求证：乘积为偶数考点梳理1合情推理的两种形式（1）归纳推理：由某类事物的部
2、些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。归纳推理是由特殊到一般的推理。（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和已知其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理。 类比推理是由特殊到特殊的推理。根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳或类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理。2演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理。演绎推理是一般到特殊的推理。演绎推理的“三段论”模式：（）大前提已知的一般原理；（）小前提所研究的特殊情况；（）结论根据一般
3、原理，对特殊情况作出的判断。3直接证明与间接证明（）综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法 （）分析法：从要证明的结寻求使结论成立的充分条件，直到把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等等）为止。这种证明方法叫做分析法。 （）反证命题不成立的前提下，经过正确的推理，最后得出矛盾，从而说明假设错误，进而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法。数学归纳法数学归纳法证明问题的三个步骤：（）（归纳奠基）证明（验证）当取第一个值时命题成立；（）（归纳递推）假设当时命题成立，证明当时命题
4、也成立。（）（结论）断定命题对从开始的所有正整数都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。金题精讲题一：在平面几何里，有勾股定理：“设”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，在立体几何中，可得类似的结论是_.题二：观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第个等式为 .题三：设函数（），观察：，根据以上事实，由归纳推理可得：当且时， 题四：若规定的子集为的第个子集，其中，则（1）是的第_个子集；（2）的第211个子集是_题五：若均为实数，且，求证中至少有一个大于0名师寄语归纳和类比是合情推理的主要问题特别是在某些选择题和填空题的求解中起着十分重要的作用，它深刻地揭示了特殊与特殊的关系、特殊与一般的思想因此，高三复习中要善于运用归纳和类比进行推理，逐步学会发现，学会创造演绎推理是一种必然性推式是“三段论”运用演绎推理证明问题时，应注意只有在大前提、小前提和推理过程都正确的前提下，得出的结论才一定正确反证法是一种间接的证明一般地，欲证命题的结论是以“最多”“至少”“唯一”等形式或以“不可能”“不存在”等否定形式给出时，常用反证法；当一个命题从正面证明有困难时，不妨想想反证法 开心自测题一： 题二：略金题精讲题一：题二：题三：题四：（1）是的第5个子集；（2）的第211个子集是题五：略
