1、甘肃省永昌县第一高级中学2020-2021学年第一学期期末试题高二数学（理科）一、选择题：本题共12小題，毎小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是（ ）A. 所取的3个球中至少有一个白球B. 所取的3个球中恰有2个白球1个黑球C. 所取的3个球都是黑球D. 所取的3个球中恰有1个白球2个黑球【答案】B【解析】【分析】根据互斥事件的定义即可判断【详解】将事件的结果分为三类：白，白，黑；白，黑，黑；黑，黑，黑.事件包含：白，黑，黑；黑，黑，黑.根据互斥
2、事件的定义可知，只有事件“所取的3个球中恰有2个白球1个黑球”与事件互斥故选：B2. 已知直线平分圆，且与直线垂直，则直线的方程是（）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意可知直线过圆心，斜率为，即可得到直线的方程【详解】因为直线平分圆，且与直线垂直，所以直线过圆心，斜率为，即直线的方程是故选：D3. 已知空间向量，则“”是“”的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据向量垂直的点积运算得到x的值，进而得到结果.【详解】，或-3.故x=1是的充分不必要条件.故答案为B.【点睛】这个题目考查了向量垂直的
3、坐标表示，也考查了充分必要条件的判断，题目基础. 判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系4. 以原点为圆心，且截直线3x4y150所得的弦长为8的圆的方程是（ ）A. x2y25B. x2y216C. x2y24D. x2y225【答案】D【解析】【分析】先求弦心距
4、，再求半径，可得圆的方程【详解】解：弦心距是：，弦长为8，所以半径是所求圆的方程是：故选：5. 以下说法中正确的是（ ），；若为真命题，则为真命题；的否定是，使；“若，则”的逆否命题为真命题.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用配方法可判断；根据真值表可判断；根据含有一个量词的命题的否定可判断；根据互为逆否命题的两个命题同真同假可判断.【详解】对，因为，故正确；对，因为为真命题，根据真值表可知，,至少有一个为真命题，当,中有一个为假时，为假命题，故错误；对，的否定是，故正确；对，取，此时，但，所以原命题为假命题，则其逆否命题也为假命题,故错误.故选：B6. 如果执行下面的程序
5、框图，输入，那么输出的等于A. 720B. 360C. 240D. 120【答案】B【解析】【分析】【详解】试题分析：程序在执行过程中，的值依次为；，此时不满足，输出故选：B.考点：程序框图.7. 若命题“时，”是假命题，则的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据全称命题是假命题，得到命题的否定是真命题，利用参数分离法进行求解即可【详解】解：若命题“，时，”是假命题，则命题“，时，”是真命题,则，设，当时，,则.故选：D8. 为比较甲乙两地某月12时的气温状况，选取该月5天中12时的气温数据（单位:）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论:甲地该月12时的平均气温低于
6、乙地该月12时的平均气温；甲地该月12时的平均气温高于乙地该月12时的平均气温；甲地该月12时的气温的标准差小于乙地该月12时的气温的标准差；甲地该月12时的气温的标准差大于乙地该月12时的气温的标准差.其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由茎叶图的数据计算甲乙两地的平均气温以及标准差，即可判断.【详解】由茎叶图得，甲地该月12时的平均气温甲地该月12时的气温的标准差乙地该月12时的平均气温乙地该月12时的气温的标准差甲地该月12时的平均气温低于乙地该月12时的平均气温甲地该月12时的气温的标准差大于乙地该月12时的气温的标准差故选：C
7、【点睛】本题主要考查了平均数，标准差的计算，属于基础题.9. 在区间上随机取一个数，则的值介于到1的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，由余弦函数的图象和性质，求出的值介于到1的的取值范围，由几何概型的概率公式计算可得答案【详解】解：根据题意，区间，上，若，则有，则的值介于到1的概率，故选：10. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为正三角形，AB4，AA16，若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BEB1E，C1FCC1，则异面直线A1E与AF所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】以为原点，为轴，在平面中过作的垂
8、线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值【详解】解：以为原点，为轴，在平面中过作的垂线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，分别是棱，上的点，且，0，0，0，0，设异面直线与所成的角为，则异面直线与所成角的余弦值为；故选：D11. 某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100 名学生的数学成绩，发现都在内现将这100名学生的成绩按照，分组后，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）A. 频率分布直方图中a的值为B. 样本数据低于130分的频率为C. 总体的中位数（
9、保留1位小数）估计为分D. 总体分布在的频数一定与总体分布在的频数相等【答案】C【解析】【分析】对于A:由频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1，列出等式可求得a的值，进而作出判断；对于B：先计算高于130分的频率，然后再用1减去于高于130分的频率即可得到低于130分的频率，进而作出判断；对于C：先计算的频率和的频率，再求出总体的中位数，进而作出判断；对于D：根据样本分布在的频数一定与样本分布在的频数相等，总体分布在的频数不一定与总体分布在的频数相等作出判断即可.【详解】由频率分布直方图得：，解得，故A错误；样本数据低于130分的频率为：，故B错误；的频率为：，的频率为：，总体的中位数保留1
10、位小数估计为：分，故C正确；样本分布在的频数一定与样本分布在的频数相等，总体分布在的频数不一定与总体分布在的频数相等，故D错误.故选：C.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于基础题.12. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的k的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】解：因为曲线y1 (|x|2)与直线yk(x2)4有两个交点时，那么结合图像可知参数k的取值范围是，选A二.填空题(每小题5分， 共20分)13. 若满足约束条件，则的最小值为_【答案】6【解析】【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得
11、答案【详解】由约束条件作出可行域如图阴影所示，化目标函数z2x+y为y2x+z，由图可知，当直线y2x+z过A时直线在y轴上的截距最小，z最小，联立 得A（2,2），故z的最小值为6故答案为6【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题14. 总体由编号为01，02，03，49，50的50个个体组成，利用随机数表(以下摘取了随机数表中第31行和第32行)选取5个个体，选取方法是从随机数表第31行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出的第4个个体的编号为_.6667406714640571958611056509687683203790571600116614
12、908445117573880590522741148622981222080752749580【答案】09【解析】【分析】根据随机数表的读取方法即可得到【详解】根据题意可知，选出的符合题意的号码依次为：14，05，11，09，20故答案为：09【点睛】本题主要考查随机数表的读取方法的理解，属于容易题，易错点是：注意对选中的重复数字的排除15. 用秦九韶算法求多项式,当时的数值 _ .【答案】【解析】，则，故答案为.16. 若下面程序中输入的n值为，则输出的值为_.【答案】【解析】【分析】根据程序框图的算法功能可知，该程序是计算的值，再根据裂项相消法即可求出【详解】根据程序框图的算法功能可知，
13、该程序是计算的值所以故答案为：【点睛】本题主要考查程序框图的算法功能的理解以及数列求和，属于基础题常见的数列求和方法有：公式法，裂项相消法，分组求和法，倒序相加求和法，并项求和法，错位相减法等，根据数列的特征选择对应的方法是解题的关键三、解答题：本大题共6个大题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知圆，直线.（1）当为何值时，直线与圆相切.（2）当直线与圆相交于、两点，且时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）将圆的方程化为标准形式，得出圆的圆心坐标和半径长，利用圆心到直线的距离等于半径，可计算出实数的值；（2）利用弦长的一半、半径长和弦心距
14、满足勾股定理可求得弦心距，利用点到直线的距离公式可求得实数的值，进而可得出直线的方程.【详解】（1）圆的标准方程为，圆心的坐标为，半径长为，当直线与圆相切时，则，解得；（2）由题意知，圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式可得，整理得，解得或.因此，直线的方程为或.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查利用直线与圆相切求参数以及根据弦长求直线方程，解答的核心就是圆心到直线的距离的计算，考查计算能力，属于中等题.18. 新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动开学后，某校采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查
15、已知该校高一年级共有学生660人，抽取的样本中高二年级有50人，高三年级有45人下表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间（单位：h）的频率分布表分组频数频率50.1080.16x0.1412y100.20z合计501（1）求该校学生总数；（2）求频率分布表中实数x，y，z的值；（3）已知日睡眠时间在区间6，6.5)的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从中任选2人进行面谈，则选中的2人恰好为一男一女的概率【答案】（1）1800人；（2）7,0.24,8；（3）.【解析】【分析】（1）根据高一年级学生抽样比列出方程求解；（2）根据频率、频数与总数的关系计算；（3）列举出5名高二学生中任
16、选2人的所有可能结果，再确定2人中恰好为一男一女的可能，利用古典概型概率公式进行求解.【详解】（1）设该校学生总数为n，由题意，解得n1800，所以该校学生总数为1800人（2）由题意，解得x7，（3）记“选中的2人恰好为一男一女”为事件A，记5名高二学生中女生为F1，F2，男生为M1，M2，M3，从中任选2人有以下情况：(F1，F2)，(F1，M1)，(F1，M2)，(F1，M3)，(F2，M1)，(F2，M2)，(F2，M3)，(M1，M2)，(M1，M3)，(M2，M3)，基本事件共有10个，它们是等可能的，事件A包含的基本事件有6个，故P(A)，所以选中的2人恰好为一男一女的概率为【点
17、睛】本题考查分层抽样、频率分布表、古典概型的概率计算，属于基础题.19. 在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，平面，.（1）若是线段的中点，求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】【详解】（1），由于，因此连接，由于，在平行四边形中，是线段的中点，则，且，因此，且，所以四边形为平行四边形，又平面，平面，平面；（2），又平面，、两两垂直分别以、所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则、，故，又，.设平面的法向量，则，取，得，所以，设平面的法向量，则，取，得，所以，所以故二面角的余弦值为.考点：1直线与平面平行；2.利用空间向量法求
18、二面角20. 据了解，温带大陆性气候，干燥，日照时间长，昼夜温差大，有利于植物糖分积累.某课题研究组欲研究昼夜温差大小（x/）与某植物糖积累指数（y/GI）之间的关系，得到如下数据：组数第一组第二组 第三组第四组第五组第六组昼夜温差x/1011131286某植物糖积累指数y/GI202430281815该课题研究组确定的研究方案是先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验，假设这剩下的2组数据恰好是第一组与第六组数据.（1）求y关于x的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的差的绝对值均不超过2.58，则认为得到的线性回归方程是理想的，
19、试问（1）中所得线性回归方程是否理想？参考公式：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计.【答案】（1）；（2）是.【解析】【分析】（1）根据数据求出与的值，即可求出关于的线性回归方程；（2）分别计算出1月份和6月份对应的预测值，与检验数据作差取绝对值，再与2.58进行比较即可得到结论【详解】解：（1）由表中2月至5月份的数据，得，故有，即关于的线性回归方程为；（2）由，当时，当时，则该小组所得线性回归方程是理想的21. 已知命题在时，不等式恒成立，命题函数是区间上的减函数，若命题“”是真命题，求实数的取值范围【答案】【解析】【分析】利用复合命题真假的判断方法求解实数a的取值范围是解决本题的关键
20、首先要确定出命题p，q为真的字母a的取值范围，利用恒成立问题的分离变量方法得出命题p为真的a的范围；利用复合函数单调性的方法得出命题q为真的a的范围，注意对数函数定义域的意识【详解】时，不等式恒成立在上恒成立令则在上是减函数 即若命题真，则又函数是区间上的减函数，即若命题真，则若命题“”是真命题，则有真假或假真或均为真命题 若真假，则有若假真，则有若均为真命题，不存在综上可得的取值范围是.【点睛】本题考查复合命题真假与简单命题真假之间的关系，或形式的命题为真只要二者都不为假命题即可，因此要分三种情况进行确定首先要确定出这两个简单命题分别为真的a的范围，这是解决本题的突破口，考查学生的转化与化归
21、能力22. 如图，在四棱锥中，平面，四边形满足，点为中点，点为边上的动点，且.（1）求证：平面.（2）求证：平面平面.（3）是否存在实数，使得二面角余弦值为？若存在，试求出实数的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，且或.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量垂直，证得平面.（2）根据平面和平面的法向量垂直，证得平面平面.（3）设出点的坐标，利用二面角的余弦值为列方程，解方程求得，进而求得的值.【详解】（1）因为平面，所以，而，所以两两垂直.以为空间坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示.则，由于，所以平面，所以是平面的法向量.由于，所以平面（2）设平面法向量为，则，令，则.设平面的法向量为，则，令，则.所以，所以平面平面.（3）设，依题意可知平面的法向量为，设平面的法向量为，则，令，则.因为二面角的余弦值为，所以，即，解得或.所以存在符合题意，且，或.【点睛】本小题主要考查线面平行、面面垂直的证明，考查二面角的探究性问题的求解，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
